Forme exponentielle dun nombre complexe
Démonstration. Soit z = rei? et z = r ei? des formes exponentielles de z et de z . • ¯z = rei? = r × ei? = re?i? d'où : arg(¯z) ? ?? = ? arg
NOMBRES COMPLEXES (Partie 1)
Définition : On appelle forme algébrique d'un nombre complexe l'écriture 1) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle :.
I- FORME EXPONENTIELLE DUN NOMBRE COMPLEXE
Démonstration : Nous savons que nous pouvons écrire le nombre complexe de module 1 et dont un argument vaut ? (. ) de la
Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
Propriété 1 : Soient A et B deux points d'affixes respectives zA et zB. Alors le vecteur. ???. AB a comme affixe zB ? zA. Démonstration :.
Nombres complexes (partie II) 1. Nombres complexes de module 1
2. Forme trigonométrique et exponentielle. Soit un nombre complexe non nul. Le nombre complexe a pour module 1 par con- séquent il existe tel que.
Compléments sur les complexes
Cette expression est la forme exponentielle du complexe z. On a alors : r =
Nombres complexes
Sep 19 2012 Cette écriture est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z. Démonstration. C'est une application immédiate du théorème du ...
Forme trigonométrique dun nombre complexe. Applications Niveau
- Démonstration -. Exercice: Montrer que les points A(-2i) B(-2-5i) et C(4+4i) sont alignés. 4°) Equations du Second degré dans C a) Equation du type az2+bz+c
NOMBRES COMPLEXES (Partie 3)
Démonstrations aux programmes : Forme exponentielle d'un nombre complexe ... 1) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle :.
6. Nombres complexes et polynômes
6.1.5 Forme exponentielle d'un nombre complexe d'après la démonstration du résultat précédent ? =
[PDF] I- FORME EXPONENTIELLE DUN NOMBRE COMPLEXE
Démonstration : Dans le plan rapporté à un repère orthonormal ; on considère le point A d'affixe a le point M d'affixe z et le point M' d'affixe z'
[PDF] NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 1/2 - maths et tiques
Définition : Tout nombre complexe non nul de module et d'argument s'écrit sous sa forme exponentielle = Méthode : Passer de la forme
[PDF] C3 : Nombres complexes : formes exponentielles et trigonométriques
Tout nombre complexe de module non nul r et d'argument ? s'écrit z = rei? Cette écriture est la forme exponentielle de z Exercice 12 On donne z1 =1+ i et
[PDF] Compléments sur les complexes - CPGE Brizeux
Cette expression est la forme exponentielle du complexe z On a alors : r = z et ? = Arg(z) Démonstration Soit z
[PDF] Lexponentielle complexe
Cette présentation met l'exponentielle sur le devant de la scène Le cosinus le sinus et le nombre ? ne sont définis qu'ensuite à partir de celle-ci Pour
[PDF] Chapitre 4 Nombres complexes et exponentielle complexe
La preuve des propriétés énoncées ci-dessus est laissée au lecteur 4 2 Argument et forme polaire d'un nombre complexe Proposition et Définition 4 2 On
[PDF] Nombres complexes Table des matières
Dans la suite on notera ei? le complexe cos? + isin? Tout nombre complexe z non nul s'écrit sous la forme exponentielle z = rei? avec r >
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Un nombre complexe est formé de deux nombres réels Or deux nombres réels forment un couple de coordonnées Ainsi si le plan est muni d'un repère
Module Argument Forme exponentielle dun nombre complexe
Comment déterminer le module l'argument d'un nombre complexe expliqué en vidéo trouver la forme exponentielle et trigonométrique applications en
[PDF] Nombres complexes (partie II)
Soit un nombre complexe de module 1 Son image est un Les formes exponentielles de et sont à connaître Forme algébrique Démonstration On a
Comment déterminer la forme exponentielle d'un nombre complexe ?
Notation exponentielle d'un nombre complexe
Cette fonction vérifie la propriété suivante : pour tous réels ? et ?', f(? + ?') = f(?)f(?'). Cela se vérifie aisément. Admettons que la fonction f soit dérivable. Sa dérivée est : f '(x) = -sin ? + icos ? et donc f'(0) = i.Comment calculer le module d'un nombre complexe sous forme exponentielle ?
Module d'un nombre complexe
1Soit z l'affixe de M. 2Si z = a+ib, le module de z vaut z = ? a²+b²3z×z' = z × z' 4zB - zA = AB.5zM - zA = r ? AM = r ? M appartient au cercle de centre A et de rayon r.6zM - zA = zM - zB ? AM = BM ? M appartient à la médiatrice de [AB]7z × z_ = z²Comment comparer deux nombres complexes ?
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Le conjugué de z est le complexe ¯z défini par ¯z = a ? ib. On utilise fréquemment les propriétés z = ¯z ? z ? R, et z = ?¯z ? z ? iR (c'est `a dire z imaginaire pur).- b. Donnons les formes exponentielle et trigonométrique 1 - i: Le module de 1 - i est: 1 - i = 12 + 12 => 1 - i = 2. = 2 2 2 - i 2 2 .
Compléments sur les complexes
Notations :dans ce chapitre, le plan est muni d"un repère orthonormé directe(O;~u;~v).1 Nombres complexes de module 1
1.1 EnsembleUDéfinition
On appelleUl"ensemble des nombres complexes dont le module est 1.U=fz2C=jzj= 1g
Exemples :
1.j1 + 2ij=p56= 1donc1 + 2i62U.
2.2U;2U;2U;2U:
3.j=1+ip3
22U. En effet,
Géométriquement,Ucorrespond
On en déduit immédiatement :Proposition
Soitz2U,M(z)son image dans le plan complexe.
Il ex iste2Rtel quez= cos+isin.
-estun argumentdez, c"est une mesure de!u ;!OMSi l"on ra joutela condition 2];]alorsdevient
unique, c"estl"argument principaldez, on le noteArg(z).Exemples :
1 = 1 + 0i= cos(0) + sin(0)i et donc Arg(1) =.
Arg(i) = ;Arg(1) = ;Arg(i) =.
j=donc Arg(j) =.PropositionUest stable par produit :Démonstration
SoitExercice
Montrer quef:R!U
7!cos+isinvérifie :8(;)2R2; f()f() =f(+).Cettepropriété fonctionnelleest celle de
1Définition
Soit2R. On appelleexponentielledeile nombreei=
Les propriétés calculatoires deexpdécoulant de sa propriété fonctionnelle, l"exponentielle complexe
possède les mêmes :PropositionSoit(;)2R2et soitn2Z. On a :
i.eiei=ii.1e i=iii.(ei)n=iv.eie i=Exercice
Démontrez la proposition précédente.(C"est sans difficulté mais formateur pour la rédaction).1.2 Formules d"Euler et de Moivre
Proposition
Formules d"Euler
Soit2R. On a :
cos=ei+ei2 etsin=eiei2iDémonstrationPar exemple, pourProposition
Formule de Moivre
Soit2R. On a :
ein=ein()(cos+isin)n= cos(n) +isin(n)1.3 Application : linéarisation d"expressions trigonométriques
Il s"agit de tranformer une expression de la formecosn(x)(ousinnx) en une somme decos(kx)et de sin(kx).Méthode
Pour linéariser une expression trigonométrique : 1. on utilise la form uled"Euler p ourexprimer l"expression trigonométrique à l"aide de l"exponentielle complexe; 2. on dév eloppela puissance grâc eà la form uledu binôme de Newton ; 3. on utilise les propriétés de l"exp onentiellepuis on regroup eles termes " qui se res- semblent »; 4. on utilise E ulerfaire apparaître des expressions trigonométriques à la place des exp o- nentielles complexes.2Exemple :Pourx2R, linéarisonscos3x.
Finalement,8x2R;cos(x)3=14
cos(3x) +34 cosx.Remarque :L"expression initiale est réelle donc il ne doit plus rester de partie imaginaire non nulle
à la fin.
On peut faire le "contraire". Par exemple, exprimonssin(3x)en fonction de puissances decosxet sinx:8x2R;sin(3x) =Im(e3ix) =Im(eix)3=Im(cosx+isinx)3. Après calculs, il vient :8x2R;sin(3x) = 3cos2xsinxsin3(x).2 Forme exponentielle d"un nombre complexe non nul
Théorème
Soitzun complexe non nul.
zpeut être écrit de façon uniquesous la formez=reiavecr >0et2];[. Cette expression est laforme exponentielledu complexez.On a alors :r=jzjet=Arg(z).Démonstration
Soitz2C.
Le complexezjzja pour module 1. Donc, il existe2Rtel quezjzj=ei()z=jzjei. Graphiquement :Ceci prouve l"existence de la forme exponentielle. L"unicité tient à l"unicité du module ainsi qu"à l"unicité de l"argument principal. 3 Remarque :en pratique, sir;;etsont des réels (avecretstrictement positifs) alors rei=ei()=r=+k2(avec un certaink2Z)Cela signifie que deux complexeszetz0sont égaux si, et seulement si, leurs modules et leurs arguments
principaux sont égaux.Méthode
Pour trouver la forme exponentielle d"un complexe non nulzdont on a la forme algébrique et dont l"argument n"est pas évident : 1. on c alculele mo dulede z; 2. on fa ctorisela forme algébrique de zparjzj; 3. on iden tifiecosetsin(avec=Arg(z)); 4. si est un angle remarquable on donne sa valeur, sinon on l"exprime en fonction de Arccos(ouArcsin).Attention :on n"a pas toujours=Arccos(cos)! Il faut regarder dans quel quadrant se trouveM(z). 5.La forme exp onentiellede zestjzjei.Exemples :
1.Donner la forme exp onentiellede 1 +i.
2.Donner la forme exp onentiellede z=p3i1.
3.Donner la forme exp onentiellede z=37i.
Remarque :l"écriture intermédiairez=jzj(cos+isin)est laforme trigonométriquedez.Proposition (Propriétés des arguments)Soitzetz0deux complexes non nuls. On a :
i.Arg1z =ii.Arg(zz0) =iii.Argzz 0= 4Démonstration
Pour chaque point, il s"agit d"exploiter l"unicité de la forme exponentielle d"un complexe.Par exemple pour i. :
Remarque :il y a une (petite) erreur dans l"énoncé de la propriété. En effet,Méthode
Technique de l"angle moitiépour factorisercosacosb(ousinasinb): 1. on écrit la quan titéétudiée comme la partie réelle (o uimaginaire) d"un es ommed"ex- ponentielles complexes; 2. on fa itin tervenirl"angle moitié a+b2 et on écrita=a+b2 +ab2 etb=a+b2 ab2 3. on factor isepar eia+b2 4. on utilise la form uled"Eul erp ourla paren thèse; 5. on c onclut.Exemple :soit(a;b)2R2. Transformonscosa+ cosbavec la technique de l"angle moitié.3 Racinesn-ièmes de l"unitéDéfinition
Soitnun entier naturel non nul. On appelleracinen-ième de l"unitéles solutions de l"équa- tionzn= 1.Théorème
Soitn2N. Il y a exactementnracinesn-ièmes de l"unité.De plus, si on note=ei2n
, ces racines sont :1; ; 2; :::;n1.5Démonstration
On travaille avec la forme exponentielle : soitz=reiavecr >0.Proposition Soitn2N. La somme des racinesn-èmes de l"unité vautDémonstrationSoitn2Net=ei2n
. On a :Proposition Soitn2N. Dans le plan complexe, les points dont les affixes sont les racinesn-ièmes de l"unitésont les sommets d"un polygône régulier àncôtés inscrits dans le cercle trigonométrique.Démonstration
Il suffit de
Retour sur les équations du second degré :la difficulté principale dans la résolution d"une équa-
tion du second degré est le calcul d"une racine carrée du discriminant en utilisant la forme algébrique.
C"est beaucoup plus facile si on utilise la forme exponentielle. Par exemple, trouvons une racine carrée de = 7e0;3i. Remarque :toute manipulation des complexes avec des produits (et donc des puissances ou des quo-tients) sera beaucoup plus simple avec la forme exponentielle qu"avec la forme algébrique. Au contraire,
si on doit faire des sommes (ou des différences), la forme algébrique est plus simple à manipuler que la
forme exponentielle. 64 Exponentielle complexe
Remarque :nous disposons de deux exponentielles : exet eixpourx2R. Dans les paragraphesprécédents, on a parlé d"exponentielle complexealors qu"on n"a pas encore donné de sens à ezpour
z2Cn(R[iR).Définition Soitz=a+ibavec(a;b)2R2. On définit l"exponentielle dezde la façon suivante :PropositionSoitzetz0deux complexes.
i. e z+z0= ;ii. ez=ez0()DémonstrationOn ne traite que ii. :
5 Nombres complexes et géométrie
5.1 Repérage du plan
SoitM(z)un point du plan complexe.Mest parfaitement défini parz, qui peut être connu sous plusieurs formes : algébrique ou exponentielle. Ces deux formes du nombre complexezcorrespondent à deux systèmes de coordonnées du pointM.DéfinitionSoitM(z)un point du plan complexe.
Le couple(Re(z);Im(z))constitue
lescoordonnées cartésiennesde M.Le couple(jzj;Arg(z))constitue les
coordonnées polairesdeM. Remarque :Il y a un problème dans la définition. En effet,5.2 Retour sur l"affixe complexe d"un vecteur, applications.
Soit~wun vecteur du plan. On définit l"affixe de~wcomme étant l"affixe du pointMtel que!OM=~w. Mest unique donc~west parfaitement défini par son affixe complexe.SoitA(a)etB(b)deux points, l"affixe de!ABestba.
(Il s"agit juste d"appliquer la relation de Chasles : !AB=!AO+!OB ce qui, du point de vue des affixes complexes correspond àa+b). 7Proposition
Soit~wun vecteur du plan, soitzwson affixe complexe. i.jzwj=k!wkii. Arg(zw)est une mesure de(~u; ~w)Proposition Soit!w(zw)et!q(zq)deux vecteurs non nuls. Une mesure de l"angle(!w;!q)estArgzqz w .Démonstration z qz wexiste car les vecteurs sont non nuls (ce qui impliquezw6= 0). On a, d"après les propriétés de l"argument :Arg(zqz w) =Arg(zq)Arg(zw)(à2près).C"est donc une mesure de
!u;!q)(!u;!w) = (!u;!q) + (!w;!u) = (!w;!u) + (!u;!q) = (!w;!q)Ce qui prouve le résultat annoncé.
Ce dernier résultat a deux applications très utiles :Proposition (Caractériser l"alignement à l"aide des complexes) SoitA(a);B(b)etC(c)trois points distincts du plan. SoitZ=baca.Les propositions suivantes sont équivalentes :
i. les p ointsA;BetCsont alignés; ii.Arg(Z)2 f0;g. iii.Zest réel; iv.Im(Z) = 0.Démonstration Il suffit d"utiliser la propriété précédente avec les vecteurs!ABet!AC.Proposition (Caractériser l"orthogonalité à l"aide des complexes) SoitA(a);B(b)etC(c)trois points distincts du plan. SoitZ=baca.Les propositions suivantes sont équivalentes :
i. les triangle ABCest rectangle enA; ii. iii. iv.5.3 Transformations du plan
On notePle plan complexe.Définition
Unetransformation du planest
8Proposition
Soit!q(zq)un vecteur du plan.
La translation de vecteur!qest l"application :M(z)7!M0( ).Démonstration SoitM(z)etM0son image par la translation de vecteur!q.On a :Définition
SoitAun point du plan,kun réel non nul.
L"homothétie de centreAet de rapportkest la transformation du plan qui, à tout point Massocie l"unique pointM0vérifiant!AM0=k!AM.Proposition SoitA(zA)un point du plan complexe,kun réel non nul. L"homothétie de centreAet de rapportkest la transformation :M(z)7!M0( ).Démonstration SoitM(z)etM0son image par l"homothétie de centreAet de rapportkOn a :
Remarques :
a) une homothétie de rapp ortk2Rmultiplie les longueurs par et les surfaces par . b)une symétrie cen tralede cen treAest une homothétie dont le centre estAet dont le rapport estProposition
Soit2R. La rotation de centreOest l"application du plan complexeM(z)7!M0( ). 9quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] comment avoir une bonne note en philo explication de texte
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