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Nombres complexes : forme algébrique

Table des matières

I Ensemble des nombres complexes3

I.1 Nombre i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3

I.2 Forme algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.3 Affixe d"un point ou d"un vecteur du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II Opérations sur lesnombres complexes4

II.1 Addition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4

II.2 Soustraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II.3 Multiplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.4 Conjugué d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.5 Inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 6

II.6 Quotient de deux nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III Conjugué, module et opérations6

III.1 Module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 6

III.2 Conjugué et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III.3 Modules et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

IV Équationsdu second degré9

V Forme trigonométriqued"un nombre complexe10

V.1 Rappel sur les coordonnées polaires d"un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

V.2 Argument d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

V.3 Forme trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

V.4 Propriétés :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

V.5 Forme exponentielledes nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1

Introduction historique

En Italie, au XVIesiécle, deux découvertes mathématiques vont être faites : la résolution des équations du

troisiéme et du quatriéme degré et l"invention des nombres complexes. Alors que de nombreux mathéma-

ticiens n"osent pas encore utiliser les nombres négatifs, Cardan et ses élèves écrivent des symboles tels que?

-a, oùaest un nombre réel strictement positif; ils décrivent les règles permettant de calculer en utilisant

ces nouveaux nombres appelés nombres " impossibles».

L"équation du troisième degréx3+ax=b(1 ) fut résolue à la Renaissance de la manière suivante.

Si l"on posex=u+v, l"équation enxs"écrit comme une relation entreuetv: (u+v)3+a(u+v)=b, soitu3+v3+(3uv+a)(u+v)=b.

Si l"on impose àuvd"être égal à-a

3, on aura alors à chercheruetvtels que :

uv=-a

3u3+v3=bou???u

3v3=-?a3?

3 u

3+v3=b

Ainsiu3etv3ont-ils pour sommebet pour produit-?a

3? 3. On les obtient donc comme solutionsde l"équation du second degré : X

2-bX-?a

3? 3=0.

Par conséquent, sib2+4?a

3?

3>0, on obtient :

u 3=b+? b2+4?a3? 3

2;v3=b-?

b2+4?a3? 3 2 et x=u+v=3????b 2+? ?b 2? 2 +?a3?

3+3????

b 2-? ?b 2? 2 +?a3? 3 Cette formule porte le nom de Cardan, qui la publia en 1545.

1. Si?b

2? 2 +?a3?

3est positif, on démontre que l"équation (1) n"admet qu"une racine réelle, donnée par la

formule (2).

2. Si?b

2? 2 +?a3?

3<0,la formuledeCardann"aplusdesens. (car ellecontientlaracinecarrée d"un nombre

négatif.

Cependant, on peut démontrer que, dans ce cas, l"équation (1) admet trois racines dansR. (en étudiant

la fonctionx?→x3+ax-b). Le mathématicienBombelli étudia l"exemple de l"équation :x3-15x=4 (donca=-15 ;b=4).

La formule de Cardan s"écrit ici :

x=3?

2+?4-54+3?2-?4-53=3?2+?-121+3?2-?-121

Bombelli eut l"audace de traiter ces expressions en utilisant les règles de calcul ordinaire.

Par exemple, si l"on remarque que :

2+? -1?

Page 2/

13 et que, de même?

2-?-1?

3=2-?-121 ,on obtient bien une solutionde l"équation initialeen écrivant

alors : x=2+? -1+2-?-1=4. en apparence " impossibles». Bombelli alla jusqu"à considérer l"ensemble des combinaisons linéaires de 1, - 1.? -1 et-?-1 à co-

efficients positifs et définit des opérations qui sont cellesque nous utilisons aujourd"hui, en posant

i=? -1, (notation du mathématiciensuisse Euler, XVIIIe siécle).

Dés 1629, Girard pensa que toute équation de degré n admettait n racines, ce qui laisse supposer que

l"ensemble des nombres complexesest un cadre adéquat à la résolutiondes équations.Gauss ne donna

la démonstrationde cette conjecture qu"un siècle plus tard( 1799).

¿ la fin du XVIIIe siècle, les nombres complexes sont fréquemment utilisés, mais leur statut mathéma-

tique ne sera clarifié qu"au XlX esiècle par Gauss, puis par Cauchy.

I Ensemble des nombres complexes

Remarque

:lanotation?-1n"estpaspossible,carondevraitavoir?-12=-1 et?-12=?(-1)2=?1=1.

I.1 Nombre i

On admet qu"il existe un nombre imaginaire(non réel) défini par i2=-1. aetbréels.

Définition

I.2 Forme algébrique

•L"écriturez=x+iyavecxetyréels est appelée forme algébrique du nombre complexez=x+iy.

•zest réel si, et seulement si,y=Im(z)=0

•zest imaginairepur si, et seulement si,x=Re(z)=0

Vocabulaire et définitions :

I.3 Affixe d"un point ou d"un vecteur du plan

z=x+iy, on associe de maniére unique le pointM(x;y) et réciproquement, à chaque pointM(x;y) correspond un unique nombre complexez=x+iy. Ce nombre est appelé affixe dez(affixe est un mot féminin)

Définition

Page 3/13

Tous les points de l"axe des abscisses (O;-→u) ont une affixezdite réelle carIm(z)=0.

Tous les points de l"axe des ordonnées (O;-→v) ont une affixezdite imaginairepure carRe(z)=0.

Le pointOa pour affixe 0 qui est à la fois réel et imaginaire pur. on dit que l"on travaille dans le plan complexe.

Remarques:

Exemples:

1. Représenter le pointAd"affixe-3-i.

2. Représenter le pointBd"affixe 2.

3. Représenter le pointCd"affixe 3i.

4. SoitGle point d"affixe 3+2i. SoitEle point tel que-→CE=--→OG.Quelle est l"affixe de-→CE?

5. Que remarque-t-on sur les affixes de deux points symétriques par rapport àO?

6. Que remarque-t-on sur les affixes de deux points symétriques par rapport à l"axe (O;-→u)?

7. Que remarque-t-on sur les affixes de deux points symétriques par rapport à l"axe (O;-→v)?

Deux nombrescomplexessont ditségaux s"ils représententle même point,c"est-à-dire s"ils ont la même

partie réelle et la même partie imaginaire. x+iy=x?+iy??x=x?ety=y?.

Définition :

Remarque: un nombre complexe est nul si, et seulement si, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont

toutes les deux nulles.

II Opérations sur lesnombres complexes

Soientz=x+iyetz?=x?+iy?seux nombres complexes,x,y,x?ety?réels

II.1 Addition

z+z?=(x+iy)+(x?+iy?)=x+x?+i(y+y?)

Exemple : (2+3i)+(5+7i)=2+5+3i+7i=7+10i

II.2 Soustraction

z-z?=(x+iy)-(x?+iy?)=x-x?+i(y-y?)

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II.3 Multiplication

zz?=(x+iy)(x?+iy?)=xx?-yy?+i(xy?+x?y) En effet : (x+iy)(x?+iy?)=xx?+xiy?+iy?x+i2yy?=xx?-yy?+i(xy?+x?y) (car i2=-1)

Exemple :Soientz=2+3i etz?=7+2i.

8+25i (car i2=-1).

II.4 Conjugué d"un nombre complexe

On appelle conjugué dezet on le notezle nombre défini par :z=x-iy.

Définition :

Exemples :2+3i=2-3i;5-7i=5+7i

•Pour toutz?C,z=z.

•z?R?z=

z

•z?iR?z=-

z

•M(z) etM??

z?sont symétriques par rapport à l"axe des réels

•Siz=x+iy,z

z=x2+y2(carré de partie réelle plus carré de la partie imaginaire)

Propriété

Démonstration:

•La doubleconjugaisonrevient à effectuer deux fois de suiteune symétrie par rapportà l"axe des réels, donc

à ne rien changer.

•Pour démontrer une équivalence, on démontre les deux implications. (a) On supposezréel, doncz=x+i×0 avecx?R.

Alors :

z=x+0×i=x-0×i=x=zdoncz=z. (b) Réciproquement : on suppose quez= zavecz=x+iy,x?Rety?R.

Alors :

z=x-iydonc :z=z??x=x y=-y?y=-y?2y=0?y=0, doncz=x?R.

•De même, siz?iR,z=iy, avecy?R, donc

z=-iy=-z.

Réciproquement:z=x+iy; siz=-z, alors?x=-x

y=y?x=-x?x=0?z?iR

•M(z) etM??

z?ont même abscisse et des ordonnées opposées, donc ces deux points sont symétriques par rapport à l"axe des abscisses. •z z=(x+iy)(x-iy)=x2-(iy)2=x2-i2y2=x2+y2

Page 5/13

II.5 Inverse

Siz?=0,1z=

z zz=x-iyx2+y2=xx2+y2-yx2+y2i.

En effet :z

Remarques: pour toutz?C,zz=zz=x2+y2?R.

On ne laisse pas de nombre complexe au dénominateur d"une fraction.

Exemple ::z=2+3i;1z=

z zz; z=2+3i;zz=22+32=13.

Par conséquent :

1 z=2-3i13= 2

13-313i.

II.6 Quotient de deux nombres complexes

z z?=z×1z?et on applique la méthode précédente d"où :zz?=z z? zz? Exemple :2+3i5+7i=(2+3i)(5-7i)52+72=10-14i+15i-21i)274=10+21+i74=31+i74= 31

74+174i

III Conjugué, module et opérations

III.1 Module

Soit M(z) un point d"affixez=x+iydans le plan complexe muni d"un repére orthonormal?O;-→u;-→v?.

On appelle module dez, noté|z|la distanceOM.

|z|=? zz.

Définition:

En effet :OM=?x2+y2; orx2+y2=zz.

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13

III.2 Conjuguéet opérations

Soient deux nombres complexeszetz?.

a) z=z b) z+z?=z+z? c) z-z?=z-z? d) zz?=zz? e) Pour toutn?N?, zn=zn f)?1 z? =1z g) ?z z?? z z?

Propriétés :

Démonstrations:

Ces propriétésse démontrent trés simplement, de façon calculatoire. a) "évident» b)z=x+iyetz?=x?+iy?. c) idem d)zz?=x2-y2+i(xy?+x?y) donc zz?=x2-y2-i(xy?+x?y)

On a bien

zz?=zz?. e) Se démontre par récurrence :

•n=1 :

z1=z=z1

•Hérédité : on suppose que

zn=znpour un entiernquelconque.

Alors :

zn+1=zn×z=zn×z=zn×z=zn+1 f) 1 z=x-iyx2+y2donc ?1 z? =x+iyx2+y2 Or : 1 z=1x-iy= x-iy (x-iy)(x+iy)=x+iyx2+y2.

On a bien :?1

z? =1z Autre démonstration:z×1z=1 doncz×1z=z× ?1 z? =1=1 d"où ?1 z? =1z. g) évident en utilisant 4. et 5. ?z z???? z×1z????? =|z|×????1z????? =|z|×1|z?|=|z||z?|

Page 7/

13

Soitzun nombre complexe.

1.z?R?z=

z

2.z?iR?z=-

z

Théoréme :

Démonstration:

1.•Supposonszréel. Alorsz=x+i0,x?Rz=x-i0=x=zdoncz=z.

•z=

z?x+iy=x-iy?2iy=0?y=0?R.

2.•Supposonszimaginairepur :z=iy,y?R. Alors

z=-iy=-zdoncz=-z.

•z=-

z?x+iy=-(x-iy)?2x=0?x=0?zz?iR

III.3 Moduleset opérations

Soientzetz?deux nombres complexes. Alors :

a) Siz=x+iyavecxetyréels, alors|z|=? x2+y2. b)z=0?|z|=0 c)|zz?|=|z|×|z?| d)??zn??=|z|n(n?N?) e)????1 z???? =1|z|(z?=0) f) Siz??=0,???z z???? =|z||z?| g) Inégalité triangulaire;|z+z?|?|z|+|z?|(mais on n"a pas égalité en général)

Théoréme

Les démonstrationssont simples : SoitMle point d"affixez a)|z|=OM=? x2+y2. b)|z|=0?OM=0?M=0?z=0 x

2x?2+x2y?2+x?2y2+y2y?2

Les deux expressions ont des carrés égaux et ce sont des nombres positifs, donc elles sont égales.

d) Elle se démontre par récurrence . e)????1 z????2 =????x-iyx2+y2???? =x2+y2?x2+y2?2=1x2+y2=1|z|2=?1|z|? 2 Les deux expressions sont positives et ont le même carré, donc elles sont égales. f) ?z z???? z×1z????? =|z|×????1z????? et de l"inverse d"un nombre.

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13 g) Démonstrationgéométrique ?O? M? M? --→OM---→

OM?--→

OM+---→OM?

?M??

SoientMetM?les points d"affixes respectiveszetz?.

z+z?est l"affixe du vecteur--→OM+---→OM?=---→OM??, oùM??est le quatriéme point du parallélogramme, formé

sur les deux vecteurs--→OMet---→OM?. Alors :|z+z?|=OM???OM+MM?=|z|+|z?|(car----→MM??=---→OM?doncMM?=|z?|)

IV Équations du second degré

On considére l"équationaz2+bz+c=0, aveca,betcréels. En utilisant la forme canonique, cette équation s"écrit : a?? z+b2a? 2 -Δ4a2? =0, oùΔ=b2-4ac.

On a trois cas possibles :

Premier cas;Δ>0

On remarque queΔ4a2=?

2a? 2 ; on obtient une identité remarquable, on factorise et on trouve (situation vue en Premiére) deux solutions réelles;z1=-b-?Δ

2aetz2=-b+?

2a.

Deuxiéme cas :Δ=0

On retrouve de même qu"il y a une solutionréelledouble :z=-b2a.

Troisiéme cas :Δ<0

AlorsΔ=-(-Δ)=i2×(-Δ)=?

i?-Δ?

2carΔ>0;

on a alors? i?

2=i2??-Δ?

2=(-1)×(-Δ)=Δ.

Par conséquent :

a?? z+b 2a? 2 -Δ4a2? =a? z+b2a? 2 i? 2a? 2? =a? z+b2a+i? 2a?? z+b2a-i? 2a? =a? z--b-i? 2a?? z--b+i? 2a?

Page 9/

13 DansC, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l"un des facteurs est nul.

On obtient

deux solutions complexesconjuguées:z1=-b-i?-Δ

2aetz2=-b+i?

2a/

Solutionsde l"équationaz2+bz+c=0, (a;b;c)?R3:

•SiΔ>0, on a deux solutions

réelles:z1=-b-?Δ

2aetz2=-b+?

2a.

•SiΔ=0, l"équation a une solution

réelle double:z=-b2a.

•SiΔ<0, on a deux solutions

complexesconjuguées:z1=-b-i?-Δ

2aetz2=-b+i?

2a.

Résumé

V Forme trigonométrique d"un nombre complexe

V.1 Rappel sur les coordonnées polaires d"un point Soit?O;-→u;-→v?un repére orthonormaldu plan complexe. Les coordonnées cartésiennes deMsont alorsx=ρcosθety=ρsinθ.

V.2 Argument d"un nombre complexe

Dans le plan complexe muni du repére orthonormal direct?O;-→u;-→v?, on appelle argument dez?=0,

noté arg(z) toutemesure en radians de l"angle orienté?-→u,--→OM? oùMest le point d"affixez.

Définition :

•Un nombre complexe a une infinité d"arguments, différents tous entre eux d"un multiplede 2π.

Autrement dit : arg(z)=θ+2kπ,k?Zsiθest un des arguments.

•0 n"a pas d"argument.

Remarques :

V.3 Forme trigonométrique

L"affixe dezest alors :z=ρcosθ+iρsinθ=ρ(cosθ+isinθ). r sinθ=y rdonc???x=rcosθ y=rsinθ

Page 10/

13 La forme trigonométriquedezest :z=r(cosθ+isinθ) Remarque :la forme trigonométriqued"un nombre complexe est unique.

Définition :

V.4 Propriétés :

a) Conjugué et opposé :

Pour toutz?C?:

•arg(

z)=-arg(z) [2π]

•arg(-z)=arg(z)+π[2π]

Propriété

Démonstration :évident géométriquement, car les points d"affixeszetzsont symétriques par rapport à

l"axe des abscisses.

Multiplier l"affixez?=0 d"un point revient à faire subir à ce point une symétrie de centre O; l"argument aug-

mente deπ[2π]. b) Propriétésalgébriques: Sizetz?sont des nombres complexes non nuls, alors :

1.z?R??arg(z)=0 [π]

2.z?iR?arg(z)=π

2[π]

3.?z?C?,?z??C?, arg(zz?)=arg(z)+arg(z?)

4. arg?1

z? =-arg(z)

5. arg

?z z?? =arg(z)-arg(z?)

6.?n?N, arg?zn?=narg(z)

Démonstration:

1. évident géométriquement: siz?R+?, arg(z)=0 [2π] et siz?R-?, arg(z)=π[2π] d"où le résultat.

La réciproque est évidente.

2. facile (même méthode qu"au 1.)

3. Soientz=r(cosθ+isinθ) etz?=r?(cosθ?+isinθ?) écrits sous leurs formes trigonométriques.

Alors :zz?=rr?(cosθ+isinθ)(cosθ?+isinθ?)=rr?(cosθcosθ?+icosθsinθ?+isinθcosθ?-cosθcosθ?)=

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