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EBRE BILINEAIRE (MAT241)

Notes de cours. Texte non denitif et non identique aux cours donnes, ne se substituant donc pas a ces derniers. Contient sans doutes des erreurs : merci de les signaler aux enseignants!

Table des mati

eres 1

1. Formes bilineaires et formes quadratiques 1

1.1. Formes bilineaires 1

1.2. Representation matricielle des forme bilineaires en dimension nie 2

1.3. Formes bilineaires symetriques 5

1.4. Formes bilineaires anti-symetriques 6

1.5. Bilin=sym+anti-sym 7

1.6. Formes quadratiques 7

2. Un peu de dualite 11

3. Orthogonalite par rapport a une forme bilineaire symetrique 12

3.1. Le cas de la dimension nie 14

3.2. Vecteurs isotropes 16

4. Reduction des formes quadratiques et applications 16

4.1. D'une base orthogonale a une somme de carres et reciproquement 18

4.2. Methode de Gauss 18

1.Formes bilineaires et formes quadratiques

Dans toute la suite,Eest un espace vectoriel surK=RouC.

1.1.Formes bilineaires.Commencons par introduire les protagonistes de ce cours.

Denition 1.Une forme bilineaire surEest une application :EE!K lineaire par rapport a chacune de ses variables, c'est-a-dire telle que(

8x;x02E;82K;8y2E;(x+x0;y) =(x;y) +(x0;y)

8x2E;8y;y02E;82K;(x;y+y0) =(x;y) +(x;y0):

On noteraBL(E)l'ensemble des formes bilineaires surE. 1 2 ALG

EBRE BILINEAIRE (MAT241)

Exemple 1.Les application:EE!Ksuivantes sont des formes bilineaires sur leK-espace vectorielE: |E=Ket(x;y) =xy; |E=K2et, pour toutx= (x1;x2);y= (y1;y2)2K2,(x;y) =x1y1+x2y2 (lorsqueK=R, c'est le produit scalaire usuel surR2); |EunK-espace vectoriel et(x;y) =`1(x)`01(y)ou`1et`01sont des formes lineaires surE; |EunK-espace vectoriel et(x;y) =Pr i=1`i(x)`0i(y)ou`1;:::;`ret`01;:::;`0rsont des formes lineaires deE; |K=R,Eest l'espaceC(I;R)des fonctions continues sur un intervalle ferme borneIRet a valeurs reelles, et(f;g) =R

If(t)g(t)dt.

Exercice 2.Soitune forme bilineaire surE. Montrer que, pour toutx2E, (x;0) =(0;x) =(0;0) = 0. Notons que, si;'sont des formes bilineaires surEet si2K, alors +':EE!K;(x;y)7!(x;y) +'(x;y) est un forme bilineaire surE. En termes plus formels : Proposition 3.L'ensembleBL(E)des formes bilineaires surEest un sous-espace vectoriel de l'espace vectorielF(EE;K)des applications deEEdansK.

1.2.Representation matricielle des forme bilineaires en dimension nie.

Dans cette sous-section,Eest un espace vectoriel de dimension nien,B= (e1;:::;en) est une base deE, etest une forme bilineaire surE.

Notons que, pour tous elementsx=Pn

i=1xieiety=Pn j=1yjejdeE, on a (1)(x;y) =X ix i(ei;y) =X ix i X jy j(ei;ej)! =X i;jx iyj(ei;ej):

Reciproquement, toute application de la forme

EE!K;(x;y)7!X

i;jx iyjmi;j est une forme bilineaire. La formule (1) conduit tout droit a la representation ma- tricielle des formes bilineaires. Proposition-Denition 4.Il existe une unique matriceM2Mn(R)telle que, pour tous elementsx=Pn i=1xieiety=Pn j=1yjejdeE, on ait (2)(x;y) = (x1;:::;xn)M0 @y 1... y n1 A ALG

EBRE BILINEAIRE (MAT241) 3

Cette matrice, noteeMB(), est appelee la matrice de la forme bilineairedans la baseBet est donnee par M

B() := ((ei;ej))1i;jn2Mn(R):

Demonstration.Montrons d'abord l'unicite. ConsideronsM= (mi;j)1i;jn2Mn(R) telle que pour tous elementsx=Pn i=1xieiety=Pn j=1yjejdeE, on ait (x;y) = (x1;:::;xn)M0 @y 1... y n1 A On a (x1;:::;xn)M0 @y 1... y n1 A = (x1;:::;xn)0 B @P n j=1yjm1;j...Pn j=1yjmn;j1 C A=nX i=1x in X j=1y jmi;j: En prenantx=eiety=ej, on obtient(ei;ej) =mi;j, d'ou l'unicite :Mest necessairement egale aMB(). Il reste a montrer queMB() verie la formule annoncee. D'une part, par bi- linearite de, on a (x;y) =X ix i(ei;y) =X ix i X jy j(ei;ej)!

D'autre part, on a

(x1;:::;xn)MB()0 @y 1... y n1 A = (x1;:::;xn)0 B @P n j=1yj(e1;ej) ...Pn j=1yj(en;ej)1 C A=nX i=1x in X j=1y j(ei;ej):

D'ou le resultat.

Exercice 5.Montrer que pourE=Kn,Bla base canonique, et(x;y) =x1y1+ +xnyn, on aMB() =In. Exercice 6.Montrer que pourE=K3,Bla base canonique, et(x;y) =x1y1 x

1y2x2y22x2y3x3y12x3y3, on a

M

B() =0

@11 0 012 1 021 A Determiner la matrice dedans la baseB0= ((0;1;1);(0;1;1);(1;0;1)). Exercice 7.Soitun forme bilineaire surE. Montrer que l'application0=E E!E,(x;y)7!(y;x)est une forme bilineaire. Montrer que, pour toute baseB deE,MB(0) =tMB(). 4 ALG

EBRE BILINEAIRE (MAT241)

Proposition 8.L'application

BL(E)!Mn(K)

7!MB()

est un isomorphisme deK-espaces vectoriels. Il en resulte quedimKBL(E) = dimKMn(K) = n 2. Demonstration.Notons cette application, qui est clairement lineaire. Pour montrer qu'elle est injective, il (faut et il) sut de montrer que son noyau est reduit af0g. Soit2ker. Pour tous elementsx=Pn i=1xieiety=Pn j=1yjej deE, on a donc (x;y) = (x1;:::;xn)MB()0 @y 1... y n1 A = 0 et donc= 0. Montrons la surjectivite. ConsideronsM2Mn(R). Alors l'application:EE!

Kdenie, pour tous elementsx=Pn

i=1xieiety=Pn j=1yjejdeE, par (x;y) = (x1;:::;xn)M0 @y 1... y n1 A est bilineaire et satisfait () =M. Exercice 9.On considereE=R2. Montrer queB= ((1;1);(0;1))est une base deR. Determiner l'unique forme bilineairedeEtelle que M

B() =1 2

3 4 Remarque 10.On peut en fait interpreterMB()comme la matrice d'une appli- cation lineaire deEdans son dualE.

Voyons ce qui se passe lorsqu'on change de base.

Proposition 11(Changement de base).SoitB0= (e01;:::;e0n)une base deE. NotonsPla matrice de changement de base deBversB01. On a M

B0() =tPMB()P:

Demonstration.On part de deux vecteursx=Pxiei;y=Pyiei2E.1. Si on notee0j=X ip i;jeialorsP= (pi;j)2GLn(K)i.e.lajeme colone dePest constituee des coordonnees dee0jdans la baseB. ALG

EBRE BILINEAIRE (MAT241) 5

On ecritxdans la baseB0:x=Px0ie0i. Par denition deP, on aX=PX0ou X=0 @x 1... x n1 A etX0=0 @x 01... x 0n1 A

De m^eme, siy=X

iy

0ie0i, on aY=PY0ou

Y=0 @y 1... y n1 A etY0=0 @y 01... y 0n1 A Alors (u;v) =tXMB()Y=t(PX0)MB()(PY0) =tX0(tPMB()P)Y0: Exercice 12.Reprendre l'exercice 9 en uilisant le resultat precedent.

1.3.Formes bilineaires symetriques.On considere dans cette section un espace

vectorielEsurK. Denition 2.Une forme bilineairesurEest dite symetrique si

8x;y2E;(x;y) =(y;x):

On noteraBLS(E)l'ensemble des formes bilineaires symetriques surE. Pour toutes formes bilineaires symetriques;'surEet tout2K,+'est symetrique. En d'autres termes : Proposition 13.L'ensembleBLS(E)des formes bilineaires symetriques surEest un sous-espace vectoriel deBL(E).

Demonstration.Facile.

1.3.1.Le cas de la dimension nie.On suppose dans cette section queEest de

dimension nien. La symetrie dese traduit tres simplement en termes deMB(). Rappelons qu'une matriceM2Mn(K) est dite symetrique sitM=M.

Proposition 14.Les assertions sont equivalentes :

(i) la forme bilineaireest symetrique; (ii) il existe une baseBdeEtelle que la matriceMB()soit symetrique; (iii) pour toute baseBdeE, la matriceMB()est symetrique. Demonstration.Supposons (i) et montrons (iii). Considerons une baseB= (e1;:::;en) deE. Alors, la symetrie deassure que(ei;ej) =(ej;ei) pour tout 1i;jn, ce qui signie exactement que (iii) est veriee.

Le fait que (iii) implique (ii) est evident.

6 ALG

EBRE BILINEAIRE (MAT241)

Supposons (ii) veriee et montrons (i). NotonsB= (e1;:::;en). Pour toutx=Pxiei;y=Pyiei2E, on a (x;y) =tXMB()Y ou X=0 @x 1... x n1 A etY=0 @y 1... y n1 A

On a donc

(x;y) =t(x;y) =t(tXMB()Y) =tYtMB()X=tY MB()X=(y;x):; et (i) est donc veriee. Exercice 15.Donner une preuve plus concise de ce resultat en utilisant l'exercice 7. Proposition 16.NotonsSn(K)le sous-espace vectoriel deMn(K)forme par les matrices symetriques. Pour toute baseBdeE, l'application

BLS(E)!Sn(K)

7!MB()

est un isomorphisme deK-espaces vectoriels. Il en resulte quedimKBLS(E) = dim

KSn(K) =n(n+1)2

1.4.Formes bilineaires anti-symetriques.

Denition 3.Une forme bilineaire:EE!Kest dite anti-symetrique si

8x;y2E;(x;y) =(y;x):

On noteBLA(E)l'ensemble des formes bilineaires anti-symetriques surE. Pour toutes formes bilineaires anti-symetriques;'surEet tout2K,+' est symetrique. En d'autres termes : Proposition 17.L'ensembleBLA(E)des formes bilineaires anti-symetriques un sous-espace vectoriel deBL(E).

1.4.1.Le cas de la dimension nie.On suppose dans cette section queEest de

dimension nien. L' anti-symetrie dese traduit tres simplement en termes de M B(). Rappelons qu'une matriceM2Mn(K) est dite anti-symetrique sitM= M.

Proposition 18.Les assertions sont equivalentes :

(i) la forme bilineaireest anti-symetrique; (ii) il existe une baseBdeEtelle que la matriceMB()soit anti-symetrique; (iii) pour toute baseBdeE, la matriceMB()est anti-symetrique. ALG

EBRE BILINEAIRE (MAT241) 7

Proposition 19.NotonsAn(K)le sous-espace vectoriel deMn(K)forme par les matrices anti-symetriques. Pour toute baseBdeE, l'application

BLA(E)!An(K)

7!MB()

est un isomorphisme deK-espaces vectoriels. Il en resulte quedimKBLA(E) = dim

KAn(K) =n(n1)2

1.5.Bilin=sym+anti-sym.

Proposition 20.Pour toute forme bilineairesurE, il existe une unique forme bilineaire symetriquessurEet une unique forme bilineaire anti-symetriqueasur

Etelles que=s+a. On a

s(x;y) =(x;y) +(y;x)2 eta(x;y) =(x;y)(y;x)2 Ainsi, l'espace vectorielBL(E)est la somme directe deBLS(E)et deBLA(E):

BL(E) =BLS(E) BLA(E):

1.6.Formes quadratiques.

Denition 4.Une forme quadratique surEest une applicationq:E!Ktelle qu'il existe une forme bilineaire:EE!Kveriant

8x2E;q(x) =(x;x):

L'ensemble des formes quadratiques surEest noteQ(E).

Pour toute forme bilineairesurE, on note

q :E!K la forme quadratique denie parq(u) =(u;u). Notons que, siq;q0sont des formes quadratiques surEet si2K, alors q+q0:EE!K;x7!q(x) +q0(x) est un forme quadratique surE. En termes plus formels, cela signie que : Proposition 21.L'ensembleQ(E)des formes quadratiques surEest un sous- espace vectoriel de l'espace vectorielF(E;K)des applications deEdansK. Exercice 22.Montrer que l'application7!qest lineaire. Exercice 23.Montrer que les formes bilineaireset surE=R3denes par (x;y) =x1y1+x1y3x3y1et'(x;y) =x1y1+x1y2x2y1sont distinctes mais telles queq=q . Ainsi, des formes bilineaires distinctes peuvent conduire a une seule et m^eme forme quadratique. 8 ALG

EBRE BILINEAIRE (MAT241)

Proposition 24.Considerons une forme quadratiqueqsurE. Il existe une unique forme bilineaire symetrique:EE!Ktelle queq=q. Celle-ci est appelee la forme polaire deq, noteeqet donnee par la formule suivante q(x;y) =12 (q(x+y)q(x)q(y)): Demonstration.Soientqune forme quadratique surE, etune forme bilineaire symetrique surEtelle queq=q. Pour tousx;y2E, on a q(x+y) =(x+y;x+y) =(x;x) +(x;y) +(y;x) +(y;y) =(x;x) + 2(x;y) +(y;y) =q(x) + 2(x;y) +q(y):

D'ou l'egalite suivante

(x;y) =12 (q(x+y)q(x)q(y)): On verie que cette application possede les proprietes annoncees, d'ou l'existence et l'unicite. Proposition 25.Pour toute forme quadratiqueqsurE, on a f 2 BL(E)jq =qg=q+BLA(E):

L'application

BLS(E)! Q(E)

7!q est un isomorphisme deK-espaces vectoriels d'application reciproque

Q(E)! BLS(E)

q7!q: Demonstration.Considerons une forme bilineaire surEtelle queq =q. On decompose = s+ aen ses parties symetriques et anti-symetriques. On aq = q s+q a=q set il resulte de la la proposition precedente queqq=q si et seulement si s=q. Exercice 26.Montrer que le noyau de l'application lineaire7!qestBLA(E), si bien queq=q si et seulement si est anti-symetrique. En reprenant les notations de l'exercice 23, verier que la forme bilineaire est eectivement alternee et determinerq Remarque 27.On rencontre parfois la denition suivante : une forme quadratique surEest une applicationq:E!Ktelle qu'il existe une forme bilineaire symetrique :EE!Kveriant,8u2E;q(x) =(x;x):Elle est bien equivalente a la n^otre d'apres la Proposition 24. ALG

EBRE BILINEAIRE (MAT241) 9

Exercice 28.Soitqune forme quadratique surE.

Montrer que, pour tout2Ket toutx2E,q(x) =2q(x).

Montrer queqverie la regle du parallelogramme :q(x+y)+q(xy) = 2q(x)+

2q(y).

Exercice 29.SuposonsEde dimension nie. La linearite deq7!qjointe aux egalites x2i=xiyiet, plus generalement,xiyj=12 (xiyj+xjyi) est utile pour calculer des formes polaires. Par exemple, calculonsqpourE=R4etq(x) =x212x23+x1x23x3x4+2x1x4.

On aq=x212x23+x1x23x3x4+ 2x1x4=x1y12x3y3+12

(x1y2+x2y1) 32
(x3y4+x4y3) + (x1y4+x4y1).

Calculer la forme polaire deq(x) =P

inx2i+P in1xixi+1. Poursuivons avec un critere permattant de reconna^tre les formes quadratiques. Proposition 30.Pour qu'une applicationq:E!Ksoit une forme quadratique, il sut qu'elle soit homogene de degre2, et que l'applicationEE!K,(x;y)7! q(x+y)q(x)q(y)2 soit une forme bilineaire.

1.6.1.En dimension nie.Dans cette section, on suppose queEest de dimension

nien. SoitB= (e1;:::;en) une base deE. Denition 5.Soitqune forme quadratique surE. La matriceMB(q)deqrelati- vement a une baseBdeEest par denition la matrice (symetrique)MB(q)de sa forme polaireqrelativement a la baseB.

Exemple 31.Determinons la matrice de la forme quadratiqueq(x) =x21+x1x2+x22surE=R2dans la base canoniqueB. On aq(x;y) =x1y1+12

(x1y2+x2y1)+x2y2. Donc M

B(q) =1 1=2

1=2 1 Determinons la matrice de la forme quadratiqueq(x)dans la baseB0= ((1;0);(1;1)).

Un calcul direct montre que

M

B0(q) =1 3=2

3=2 3 Retrouvons cela avec la formule du changement de base. La matrice de changement de base deBaB0est donnee par P=1 1 0 1 Donc M

B0(q) =1 0

1 1 1 1=2 1=2 1 1 1 0 1 =1 0 1 1 1 3=2

1=2 3=2

=1 3=2 3=2 3

10 ALG

EBRE BILINEAIRE (MAT241)

Proposition 32.Soitqune forme quadratique surE. Pour tout elementx=Pn i=1xieideE, on a q(x) =(x;x) =X i;jx ixj(ei;ej) = (x1;:::;xn)MB(q)0 @x 1... x n1 A EtMB()est l'unique element deSn(K)veriant cette propriete. Demonstration.L'expression pourq(x) =(x;x) est une consequence de la denition deMB(). Prouvons la derniere assertion de la proposition. SoitM2Sn(K) telle que, pour toutx=Pn i=1xiei2E, on ait q(x) = (x1;:::;xn)M0 @x 1... x n1 A

L'application0:EE!Kqui a (x;y) = (Pn

i=1xiei;Pn i=1yiei) associe

0(x;y) = (x1;:::;xn)M0

@y 1... y n1 A est une application bilineaire symetrique et on aMB(0) =M. Notonsq0la forme quadratique associee a0. Par hypothese, on aq=q0.

Pour toutx;y2E, on a

(x;y) =q(x+y)q(x)q(y)2 =q0(x+y)q0(x)q0(y)2 =0(x;y):

Donc=0, d'ouMB() =MB(0) =M:

quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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