Sigma notation
(?1)k 1 k . Key Point. To write a sum in sigma notation try to find a formula involving a variable k where the first.
Proteinase K (P2308) - Datasheet
Synonyms: Peptidase K Endoproteinase K
Proteinase K (P6556) - Datasheet
Proteinase K is a stable serine protease with broad substrate specificity. It degrades many proteins Sigma recommends storage at –20 °C though others.
Sigma T H E R M - K
sigma T H E R M - K up To 320 °C. *The product is not as seen in the picture. High temperature. Synthetic Heat Transfer Fluid www.sigma-therm.com
INTRODUCTION TO SIGMA NOTATION 1. The notation itself Sigma
The variable k is called the index of the sum. The numbers at the top and bottom of the ? are called the upper and lower limits of the summation. In this case
1 Convergence Tests
Root Test and Ratio Test. The root test is used only if powers are involved. Root Test. ? k2. 2k converges: (ak). 1/k. =
Proteinase K (P4850) - Datasheet
TRITON is a registered trademark of Union Carbide. Corp. RBRRBG
K. Muralidharan A Statistical Approach
number of other books on Six Sigma lean
ORIGINAL HAND PUMPS
DOUBLE ACTING SEMI-ROTARY. HAND WING PUMPS. For numerous industrial and domestic applications a. SIGMA hand pump remains the solution. TYPE “K”. STANDARD.
University of Plymouth
Feb 12 2006 b) P(k) ? P(k + 1) for all natural numbers k . The standard analogy to this involves a row of dominoes: if it is shown.
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un changement où on inverse l'ordre d'énumération : on pose l = n ? k ?? k = n ? l Après un changement d'indice le nombre de termes dans la somme doit
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Déployer une somme Quand je parlerai de déployer une somme cela signi era qu'on récrit une somme initialement présentée avec le symbole sigma n ? k=1
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(Voir la correction ici) Calculer les sommes suivantes : 1 S = 10 ? k=1 k k=1 k2 9 D = n+2 ? k=5 k 10 E = 2n ? k=n k Exercice 2
Les symboles somme et produit
Table des matières
1 Le symbole sommeΣ2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Linéarité et changement d"indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Sommes télescopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Sommes à connaître. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Sommes doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Le symbole produitΠ9
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Relation produit - somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Produits télescopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1 Le symbole sommeΣ
1.1 Définition
Définition 1 :Soit(ai)une suite de nombres réels ou complexes. Soit deux entiers naturelsnetptels quep?n, on définit la somme suivante par : n∑ k=pa k=ap+ap+1+···+an Soit I un sous-ensemble fini deN, la somme de tous les termesai,idécrivant I sera notée∑ i?Ia iRemarque :
La variablekest une variable muette, c"est à dire qu"une fois la somme calculée, le résultat ne dépend plus dek. On peut donc lui donner le nom qu"on veut :i, j,k, etc. à exception des bornes de la somme, icipetn:n∑ k=pa k=n∑ i=pa i=n∑ j=pa jOn retrouve cette variable muette, lorsque l"on veut calculer une somme àl"aide d"un algorithme. (boucle Pour)
Lorsque les termes de la somme ne dépendent pas de la variable, on somme des termes constants donc : n∑ k=03=3+3···+3? n+1 termes=3(n+1)Si I={2;4;6}alors∑
i?Ia i=a2+a4+a6.Exemples :
1+2+···+n=n∑
k=1k.1+2+22+···+2n=n∑
k=02k. 1 n+1+1n+2+···+12n=n∑ k=11n+k.1+3+5+···+(2n-1) =n∑
k=1(2k-1). ?Ne pas confondre : n∑ k=1(k+1) =n∑ k=1k+navecn∑ k=1k+1 les parenthèses font toute la différence. n∑ k=022k(n+1 termes) et2n∑ k=02k(2n+1 termes) Propriété 1 :Relation de Chasles et linéarité :Relation de Chasles :
n∑ k=pa k= m∑ k=pa k+n∑ k= m+1 akL"opérateur somme est linéaire :
n∑ k=p(αak+βbk) =αn∑ k=pa k+βn∑ k=pb k.PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
Exemple :n∑
k=0a k=2∑
k=0a k+n∑ k= 3 aketn∑ k=0(3k+4k) =n∑ k=03k+4n∑ k=0k1.2 Linéarité et changement d"indice
Propriété 2 :Changement d"indice.
L"expression à l"aide du symbole
∑n"est pas unique. On peut écrire une somme avec des indices différents. Les changements d"indicesk→k+p(translation)k→p-k(symétrie) sont les plus fréquents :n∑ k=1a k=n+p k=p+1a k-p=p-1 k=p-na p-kExemples :Calculer la somme :Sn=n∑
k=1?1k-1k+1?
On utilise la linéarité :Sn=n∑
k=11k-n∑ k=11k+1 On effectue un changement d"indice sur la deuxième somme :k→k+1 : S n=n∑ k=11 k-n+1∑ k=21k. k=21k-n∑ k=21k-k=n+1? ???1 n+1=1-1n+1Pourn?2, on considère la sommeSn=n+1∑
k=2k22k-1. Faire une translation d"indice pour que la nouvelle variable varieentre 0 et(n-1) et une symétrie d"indice pour que la nouvelle variable varie entre 2et(n+1). Pour la translation, il suffit de faire :k→k-2, on a alors : S n=n-1∑ k=0(k+2)22(k+2)-1=n-1∑ k=0(k+2)22k+3 Pour la symétrie, il faut déterminer le milieu :2+ (n+1)2=n+32. On effectue alors la symétriek→n+3-k, on a alors : S n=n+1∑ k=2(n+3-k)22(n+3-k)-1=n+1∑ k=2(n+3-k)22n+5-2kPAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1.3 Sommes télescopiques
Théorème 1 :Sommes télescopiques
Soit une suite(an)une suite de nombres réels ou complexes, on a : ?n,p?N,p?n,n∑ k=p(ak+1-ak) =an+1-apRemarque :n∑
k=0(ak+1-ak) =an+1-a0etn∑ k=0(bk-bk+1) =b0-bn+1Démonstration :On pose :Sn=n∑
k=p(ak+1-ak)On utilise la linéarité :Sn=n∑
k=pa k+1-n∑ k=pa k On effectue un changement d"indice sur la première somme :k→k+1 S n=n+1∑ k=p+1a k-n∑ k=pa k On sépare les termes différents :Sn=an+1+n∑ k=p+1a k-n∑ k=p+1a k-ap=an+1-ap Exemples :Lessommestélescopiquessontuneméthodetrèsefficacepourcalcu- ler la somme des termes d"une suite(un). Il s"agit de trouver une suite(vn)pour queun=vn+1-vn. Ce n"est bien sûr pas toujours possible malheureusement.Calculer les sommes suivantes :
Sn=n∑
k=11k(k+1): on décompose1k(k+1)en1k-1k+1 S n=n∑ k=11 k(k+1)=n∑ k=1?1k-1k+1?
=1-1n+1.Rn=n∑
k=1k×k! : on décomposek×k! en(k+1)k!-k!= (k+1)!-k! R n=n∑ k=1k×k!=n∑ k=1[ (k+1)!-k!]= (n+1)!-1Tn=n∑
k=11k(k+1)(k+2) a k(k+1)-a(k+1)(k+2)=a(k+2)-akk(k+1)(k+2)=2ak(k+1)(k+2), on aa=12 T n=n∑ k=11 k(k+1)(k+2)=12n∑ k=1?1k(k+1)-1(k+1)(k+2)?
1 2?12-1(n+1)(n+2)?
n(n+3)4(n+1)(n+2)
PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1.4 Sommes à connaître
Théorème 2 :Somme des entiers, des carrés, des cubes Pour tout entier naturelnnon nul, on a les relations suivantes :S1(n) =n∑
k=1k=1+2+···+n=n(n+1)2S2(n) =n∑
k=1k2=1+4+···+n2=n(n+1)(2n+1)6S3(n) =n∑
k=1k3=1+8+···+n3=n2(n+1)24 Démonstration :La première formule a été démontré en première en ordon- nant la somme dans l"ordre croissant puis dans l"ordre décroissant. Les deux der- nières formules ont été démontré en terminale par récurrence. Mais les démons- trations directes sont possibles à l"aide de sommes télescopiques. On pourrait généraliser ces démonstration aux somme des puissancespième des entiers na- turels.S1(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)2-k2] = (n+1)2-1 n∑ k=1[(k+1)2-k2] =n∑ k=1(k2+2k+1-k2) =n∑ k=1(2k+1) =2n∑ k=1k+n∑ k=11=2S1(n) +nOn en déduit que :
2S1(n) +n= (n+1)2-1?S1(n) =(n+1)2-(n+1)
2=n(n+1)2
S2(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)3-k3] = (n+1)3-1 n∑ k=1[(k+1)3-k3] =n∑ k=1(k3+3k2+3k+1-k3) =n∑ k=1(3k2+3k+1) =3n∑ k=1k2+3n∑ k=1k+n∑ k=11=3S2(n) +3S1(n) +nOn en déduit que :
3S2(n)+3S1(n)+n= (n+1)3-1?3S2(n) =?(n+1)3-1-3S1(n)-n??
S 2=1 3? (n+1)3-3n(n+1)2-(n+1)? =2(n+1)3-3n(n+1)-2(n+1)6 (n+1)(2n2+4n+2-3n-2)6=(n+1)(2n2+n)6=n(n+1)(2n+1)6
PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
S3(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)4-k4] = (n+1)4-1 n∑ k=1[(k+1)4-k4] =n∑ k=1(k4+4k3+6k2+4k+1-k4) =n∑ k=1(4k3+6k2+4k+1) =4n∑ k=1k3+6n∑ k=1k2+4n∑ k=1k+n∑ k=11=4S3(n) +6S2(n) +4S1(n)+nOn en déduit que :
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