[PDF] Le passage du dessin à la figure grâce à lutilisation des logiciels de

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1 THESE présentée par

Abdelhamid CHAACHOUA

Pour obtenir le titre de

Docteur de l'Université Joseph Fourier - Grenoble 1 (arrêtés ministériels du 5 juillet 1984 et du 30 mars 1992) Spécialité : Didactique des Mathématiques Fonctions du dessin dans l'enseignement de la géométrie dans l'espace. Etude d'un cas : la vie des problèmes de construction et rapports des enseignants à ces problèmes.

Soutenue le 29 mars 1997

Composition du jury :

Président : Nicolas Balacheff, Directeur de Recherche CNRS Rapporteurs : Gilbert Arsac, Professeur des Universités, Lyon 1 Yves Chevallard, Professeur des Universités, IUFM d'Aix-Marseille Examinateurs : Madeleine Eberhard, Maître de Conférences, Université J. Fourier, Grenoble 1 Colette Laborde, Professeur des Universités, IUFM de Grenoble, directeur de

Thèse

Bernard Parzysz, Maître de Conférences, Université de Metz Thèse préparée au sein du Laboratoire LEIBNIZ - IMAG - UJF 2 3

à Yasmina

4

Remerciements

Je tiens tout d'abord à présenter mes vifs remerciements à Colette Laborde pour avoir accepté de diriger cette thèse. Elle a su, tout au long de ce travail, réagir à mes choix sans pour autant imposer son point de vue. Grâce à de nombreux échanges, aux cours desquels elle m'a fait part de ses critiques constructives, elle m'a appris le métier de chercheur. Je remercie Nicolas Balacheff, Directeur de Recherches

CNRS, d'avoir bien voulu présider le jury.

Je remercie Gilbert Arsac, Professeur des Universités à Lyon 1, et Yves Chevallard, Professeur des Universités à l'IUFM de Marseille, d'avoir accepté de rapporter sur mon travail . Je remercie aussi Madeleine Eberhard, Maître de conférences à Grenoble 1 et Bernard Parzysz, Maître de conférences à Metz, d'avoir accepté de faire partie du jury de soutenance de cette thèse. 5

J'exprime ma reconnaissance à :

Bernard Capponi pour sa participation aux différentes réunions de travail où, par sa grande expérience, il m'a apporté des réflexions sur l'enseignement de la géométrie da ns l'espace. Teresa Assude pour sa contribution à mon travail par les différents échanges qui m'ont permis de préciser des outils d'analyse de protocoles. Ce travail n'aurait pas pu aboutir sans le soutien moral de ma femme Yasmina. C'est grâce aux encouragements qu'elle m'a prodigués et à l'intérêt qu'elle a porté à la ré ussite de ce travail que j'ai pu surmonter des moments difficiles. Je la remercie pour sa compréhension face à ma faible disponibilité pendant ces années. Je remercie mes amis Paula Moreira-Baltar, Marilena

Bittar, Vanda Luengo et Franck Bellemain pour le

soutien moral et l'aide qu'ils m'ont apportée tout au long de ces années, et jusqu'au bout. Mes remerciements vont aussi à Mireille Dupraz pour avoir accepté d'être lectrice dans la phase de rédaction. 6 Je remercie Annie Bessot et Madeleine Eberhard pour les échanges sur mon travail et pour leur soutien moral. Je remercie Ana Paula-Jahn, Sophie Soury-Lavergne,

Lucile Vadcard, Julien Rolland, Driss Mensouri et

Robert Neyret pour le rôle qu'ils ont joué au sein du groupe des thésards à un moment ou un autre.

Pour ma mère qui a tant sacrifié pour moi.

Je remercie ma mère, ma tante Zoubaida Chaachoua et mon oncle Mohamed Mouffak pour leur soutien moral, mes oncles Abdelhak Zougari et Abdelmaoula Chaachoua pour le soutien et l'aide qu'ils m'ont apportés, mes cousins Redouan Ben Seffaj et Said Mouffak qui m'ont accueilli en France. Mes remerciements vont à tous les membres des équipes Didatech et EIAH qui, par les débats scientifiques et amicaux, m'ont enrichi sur les plans intellectuel et humain. Enfin, je remercie tous les enseignants qui m'ont accueilli dans leurs classes et les élèves des classes de Seconde du Lycé e Stendhal qui ont accepté de se soumettre aux questionnaires. 7

Table des matières

Partie A

CHAPITRE A........................................................................ PROBLEMATIQUE DU DESSIN........................................................................ ..................................17

1. DESSIN, FIGURE, OBJET GEOMETRIQUE ET OBJET PHYSIQUE...............................................................17

2. OBJET PHYSIQUE / OBJET GEOMETRIQUE........................................................................

....................19

3. STATUT DU DESSIN DANS L'ENSEIGNEMENT........................................................................

...............19

3.1. Dessin comme objet physique ........................................................................

.........................19

3.2. Dessin comme modèle........................................................................

.....................................20

3.2.1. Dessin comme modèle d'un objet géométrique........................................................................

..........21

3.2.2. Dessin comme modèle d'un objet physique........................................................................

...............22

4. EVOLUTION DU STATUT DU DESSIN DANS L'ENSEIGNEMENT ACTUEL..................................................23

4.1. L'enseignement primaire........................................................................

.................................23

4.2. L'enseignement du collège ........................................................................

..............................24

4.2.1. Géométrie plane........................................................................

4.2.2. Géométrie dans l'espace........................................................................

4.3. L'enseignement du lycée........................................................................

..................................26

5. DESSIN COMME MODELE D'UN OBJET GEOMETRIQUE........................................................................

..27

5.1. Le dessin comme modèle d'un objet de la géométrie plane..........................................

...........27

5.1.1. Le dessin à travers certains travaux........................................................................

...........................28

5.1.2. Fonctions du dessin dans les problèmes de géométrie plane.............................................................32

5.1.3. Conclusion........................................................................

5.2. Le dessin en géométrie dans l'espace........................................................................

..............42

5.2.1. Passage de l'objet géométrique au dessin.......................................................................

....................45

5.2.2. Conventions et représentations-types ........................................................................

........................46

5.2.3. Passage du dessin à l'objet géométrique........................................................................

....................50

6. OBJET DE NOTRE RECHERCHE........................................................................

....................................51

6.1. Cadre théorique ........................................................................

6.1.1. Evolution du système d'enseignement........................................................................

.......................56

6.1.2. Dynamique de la recherche ........................................................................

6.2. Organigramme de la thèse........................................................................

..............................64

8 Partie B

CHAPITRE B........................................................................

LECTURE D'UN DESSIN DE L'ESPACE ........................................................................

...................68

1. TEST PROPOSE PAR B. PARZYSZ........................................................................

.................................68

1.1. Résultats du test........................................................................

1.1.1. Situation 1 : Positions de points par rapport à un plan.......................................................................69

1.1.2. Situation 2 : Positions de droites relativement à un plan...................................................................70

1.1.3. Situation 3 : Positions relatives de plans entre eux........................................................................

....71

1.1.4. Situation 4 : Position relative de droites entre elles........................................................................

...73

1.2. Conclusion........................................................................

2. POURQUOI UN NOUVEAU QUESTIONNAIRE........................................................................

.................78

3. CHOIX DU QUESTIONNAIRE ET ANALYSE A PRIORI........................................................................

......79

3.1. Exercices proposant l'étude de l'incidence de trois points......................................................79

3.1.1. Réponses attendues........................................................................

3.2. Exercices proposant l'étude des positions relatives d'une droite par rapport à un plan........81

3.2.1. Cas où les objets étudiés ne sont pas des solides........................................................................

.......82

3.2.2. Cas où l'objet étudié est un solide........................................................................

..............................84

3.3. Exercices proposant l'étude de la position relative de deux droites entre elles......................87

3.3.1. Exercice 7........................................................................

3.3.2. Exercice 6........................................................................

4. DISPOSITIF EXPERIMENTAL........................................................................

5. RECUEIL ET ANALYSE DES DONNEES........................................................................

..........................88

5.1. Analyse globale........................................................................

5.2. Exercices proposant l'étude d'incidence de trois points..........................................................91

5.2.1. Les justifications utilisées par les élèves ........................................................................

...................92

5.2.2. Analyse........................................................................

5.2.3. Synthèse........................................................................

5.3. Exercices proposant d'étudier des positions relatives d'une droite et d'un plan.....................94

5.3.1. Cas où l'objet étudié est un solide........................................................................

..............................94

5.3.2. Cas où les objets étudiés ne sont pas des solides........................................................................

.....104

5.3.3. Synthèse........................................................................

5.4. Exercices proposant l'étude des positions relatives de deux droites.....................................110

5.4.1. Les justifications utilisées par les élèves ........................................................................

.................110

5.4.2. Analyse comparée des justifications utilisées pour les exercices 6 et 7...........................................112

5.4.3. Conclusion........................................................................

6. SYNTHESE DES RESULTATS........................................................................

9

6.1. Régionnement de l'espace ........................................................................

.............................118

6.2. Position relative d'une droite par rapport à un un plan .......................................................118

6.3. Position relative de deux droites entre elles........................................................................

..118

7. CONCLUSION........................................................................

Partie C

CHAPITRE C1........................................................................ EVOLUTION DES PROBLEMES DE CONSTRUCTION AU COURS DE CE SIECLE. ..........124

1. PREMIERE PERIODE.........................................................................

1.1. Cas de la géométrie plane........................................................................

.............................127

1.1.1. Les fonctions du dessin dans les problèmes de géométrie plane .....................................................128

1.1.2. Méthodes de résolution des problèmes de construction en géométrie plane....................................130

1.2. Cas de la géométrie dans l'espace ........................................................................

................137

1.2.1. Analyse des manuels ........................................................................

1.2.2. Les règles d'usage........................................................................

1.2.3. Etude du "Problème 1" ........................................................................

1.2.4. Géométrie descriptive........................................................................

1.3. Conclusion........................................................................

2. TROISIEME PERIODE.........................................................................

2.1. Résolution des problèmes de construction à travers les manuels.........................................149

2.1.1. Cas de la géométrie plane........................................................................

2.1.2. Cas de la géométrie dans l'espace........................................................................

............................156

2.2. Conclusion........................................................................

3. ANALYSE COMPAREE DES TYPES DE PROBLEMES DE CONSTRUCTION PCEF ET PCEV DANS

L

3.1. Etude du problème P2........................................................................

...................................166

3.2. Analyse comparée des problèmes P1 et P2........................................................................

...167

3.2.1. Examen de la solution S1P2........................................................................

....................................167

3.2.2. Examen de la solution S2P2........................................................................

....................................168

3.3. Commentaires ........................................................................

4. CONCLUSION........................................................................

CHAPITRE C2........................................................................ ANALYSE DES PROBLEMES DE CONSTRUCTION DANS L'ESPACE APRES 1982.............174

1. ANALYSE DES PROGRAMMES DEPUIS LA FIN DE LA REFORME DES MATHEMATIQUES MODE

RNES.....175

10

1.1. Géométrie dans l'espace........................................................................

................................175

1.1.1. Programmes de 1972 ........................................................................

1.1.2. Programmes de 1982 ........................................................................

1.1.3. Programmes de 1985 ........................................................................

1.1.4. Programmes de 1990 ........................................................................

1.1.5. Synthèse........................................................................

1.2. Dessin en géométrie plane ........................................................................

............................179

1.2.1. Programmes de 1972 ........................................................................

1.2.2. Programmes de 1982 ........................................................................

1.2.3. Programmes de 1985 ........................................................................

1.2.4. Programmes de 1990 ........................................................................

1.2.5. Synthèse........................................................................

1.3. Dessin en géométrie dans l'espace........................................................................

................182

1.3.1. Programmes de 1972 ........................................................................

1.3.2. Programmes de 1982 ........................................................................

1.3.3. Programmes de 1985 ........................................................................

1.3.4. Programmes de 1990 ........................................................................

1.3.5. Synthèse........................................................................

1.4. Problèmes de construction en géométrie plane ....................................................................186

1.5. Problèmes de construction en géométrie dans l'espace........................................................187

1.6. Conclusion........................................................................

2. ANALYSE A TRAVERS LES MANUELS DES PROBLEMES DE CONSTRUCTION DEPUIS LA FIN DE LA REFORME

DES MATHEMATIQUES MODERNES

.....................................192

2.1. Méthodologie d'analyse.................................................................

2.1.1. Aspect qualitatif........................................................................

2.1.2. Aspect quantitatif........................................................................

2.2. Choix des manuels........................................................................

2.3. Editions 1981-82........................................................................

2.3.1. Type I : Représentations et tracés........................................................................

............................195

2.3.2. Type II : Problèmes de construction........................................................................

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