[PDF] Les coniques - Lycée dAdultes
19 sept 2021 · Les coniques doivent leur nom à la section d'un cône par un plan Les grecs leur avaient donné comme nom : ellipse hyperbole parabole
[PDF] Chapitre7 : Coniques - Melusine
I ELLIPSES HYPERBOLES PARABOLES CHAPITRE 7 CONIQUES On dit que C est une conique lorsqu'il existe un repère ? de ? dans
[PDF] Coniques
12 déc 2011 · Les ellipses et les hyperboles de foyers fixés constituent donc deux familles de courbes orthogonales 10 Page 12 Maths en Ligne Coniques
[PDF] ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DES CONIQUES
1 2 Introduction aux coniques 5 1 3 L'ellipse 6 1 4 La parabole 19 1 5 L'hyperbole 25 1 6 Annexes 37 1 7 Corrections des exercices
[PDF] L - CONIQUES
Le point M est donc sur la conique de foyers F et F? et d'excentricité e Remarque : si A et A? sont les sommets de la conique situés sur l'axe focal et si K
[PDF] 1B-coniques-cours et exercicespdf
Ire B – math I – chapitre II – Les coniques - 3 - Sur la figure suivante ? représente une parabole ? un cercle et une ellipse et ? une hyperbole :
[PDF] Les coniques
D´EFINITION 2 ´Etat donné un point F du plan et une droite (?) du plan ne passant pas par F la parabole de foyer F et de directrice (?) est le lieu
[PDF] LES CONIQUES
Suivant la position qu'il occupe par rapport à un cône un plan qui coupe ce dernier déterminera une intersection qui sera : ? un cercle : le plan est
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LES CONIQUES 1 DÉFINITION Une conique est une courbe plane reliant les points M tels que la distance de M à un point fixe (appelé foyer de la conique)
[PDF] Les coniques - Applications des mathématiques
26 oct 2021 · Nous étudierons ensuite les différentes coniques non-dégénérées (ellipses hyperboles et paraboles) et verrons diverses applications en tech-
[PDF] Les coniques - Lycée dAdultes
19 sept 2021 · Définition 1 : On appelle conique les courbes du second degré c'est à dire les courbes dont les points M(x y) dans un repère orthonormé
[PDF] Chapitre7 : Coniques - Melusine
Définition : Soit C une partie du plan ? On dit que C est une conique lorsqu'il existe un repère ? de ? dans lequel C admet une équation du type ax2 +
[PDF] Coniques
12 déc 2011 · Les coniques ont été étudiées depuis l'antiquité Ce sont après les droites les courbes planes les plus simples et les plus fréquemment
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? Nous définirons tout d'abord (paragraphes 2 à 6) les coniques comme lieu géométrique des points dans le plan vérifiant une certaine équation appelée équation
[PDF] Les coniques
Les coniques sont des courbes planes Elles sont caractérisées par le fait que leur équation dans le plan en géométrie analytique est de la formeP(x
[PDF] Coniques - ENS Rennes
Dans la suite Ce désignera toujours la conique de foyer F de directrice D et d'excentricité e > 0 Si e < 1 (resp e = 1 et e > 1) on dit que la conique Ce
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On appelle conique l'ensemble des centres des cercles passant par un point fixe 1) La conique est définie par un foyer F et le cercle directeur (F?2a)
[PDF] Les coniques - Applications des mathématiques
22 oct 2022 · Une ellipse une conique d'excentricité strictement inférieure `a 1 une para- bole est une conique d'excentricité égale `a 1 et une hyperbole
[PDF] Formules : Les Coniques - MONTEFIORE - Who is who?
1 ? Coupe l'axe X en : ? 0 ; ( 0) ? Coupe l'axe Y en : ? 0 ; ( 0) ? Grand axe = axe sur lequel sont situés les foyers de l'ellipse
[PDF] LES CONIQUES
1 LES CONIQUES Qu'est-ce qu'une conique ? Une conique est une courbe plane que l'on peut tracer sur un cône de révolution à deux nappes Suivant la
Comment reconnaître une conique ?
L'équation x^2+y^2-3x+4y=4 est celle d'un cercle, alors que l'équation 2x^2+y+12x+16=0 est celle d'une parabole.Comment construire une conique ?
On peut construire une conique ? comme le lieu des points situés à égale distance d'un foyer F et d'un cercle centré en F' et de rayon R. Si F est à l'intérieur du cercle (FF' < R) on obtient une ellipse, sinon une hyperbole. En effet soit M un point de ? et N l'intersection du cercle avec le rayon [F' M).Comment trouver l'équation d'une conique ?
La conique C a pour équation cartésienne x2 + y2 = e2(x ? h)2 et pour équation polaire, au choix, l'une des deux suivantes : ? = eh ecos? + 1 ou ? = eh ecos? ? 1 . Démonstration. Soit M = (x, y) un point du plan.- Pour (x,y) ? R2, posons f(x,y) = 2x2 +6xy+5y2 +4x+6y+1 et Q((x,y)) = 2x2 +6xy+5y2. Le discriminant de cette conique est ? = 2??32 = 1 > 0 et la courbe (?) est du genre ellipse c'est-à- dire soit une ellipse, éventuellement un cercle, soit un point, soit l'ensemble vide.
P 2
a 2+y2 b 2= 1 %x=aθ y=bθ, θP[´π,π] O y x B 1 A 1 B A b a A,B,A1,B1 O
(AA1) (BB1) a Ǘ b Ǘ a2´y2
b 2= 1 xě0$ %x=at %x=´at y=bt tPR O x y A 1 A a b x a ˘y b = 0 %x=t2 2p y=ttPR O x yO p ĕ
C ax2+ 2γxy+by2+ 2cx+ 2dy+e= 0 (a,γ,b,c,d,e)PR6 (a,γ,b)‰(0,0,0)C C ĕ P ā
C ĕR= (O,⃗i,⃗j)
R1= (O1,⃗i1,⃗j1 ĕ P
O1RP=
a1,1a1,2 a (⃗i,⃗j)(⃗i1,⃗j1)MPP
xR
x1 y R1 x a1,1a1,2 a x1 y a(α+a1,1x1+a1,2y1)2+2γ(α+a1,1x1+a1,2y1)(β+a2,1x1+a2,2y1) +b(β+a2,1x1+a2,2y1)2 + 2c(α+a1,1x1+a1,2y1) + 2d(β+a2,1x1+a2,2y1) +e= 0 ax+by+c= 0C R= (O,⃗i,⃗j) ĕ P
2γxy+by2+ 2cx+ 2dy+e= 0(a,γ,b)‰(0,0,0)
R (Ω,⃗I,⃗J) (O,⃗I,⃗J)
a1,1a1,2 a 1 0 (O,⃗J,⃗I) (⃗i,⃗j)(⃗I,⃗J) āĕ(O,⃗I,⃗J)
(⃗i,⃗j)(⃗I,⃗J)M(x,y)RM(X,Y)R1 $
%x= (θ)X´(θ)Y y= (θ)X+ (θ)Y a(Xθ´Yθ)2+ 2γ(Xθ´Yθ)(Xθ+Yθ) +b(Xθ+Yθ)2+¨¨¨= 0 XY ´2aθθ+ 2bθθ+ 2γ(2θ´2θ)2γ(2θ) + (b´a)(2θ) = 0
a=b θ=π 4 a‰b θ (2θ) =2γ a´b θ=1 2 (2γ a´b) by2+ 2cx+ 2dy+e= 0(a,b)‰(0,0)
C ax2+by2+ 2cx+ 2dy+e= 0(a,b)‰(0,0)
ab‰0 a )2+b(y+d b )2+k= 0 kPR xy ĕ(Ω,⃗i,⃗j) ɍÝÑOΩ =´c a ⃗i´d b ⃗jC ax2+by2+k= 0
abą0 ´1 aą0,bą0 ką0 C=H k= 0 C=tΩu 2+y2 abă0 ´1 aą0,bă0 k‰02´y2
2= 1 2+y2 2= 1C ĕ
(Ω,⃗j,⃗i) @(x,y)PR2,by2+ 2cx+ 2dy+e=b[(y+d b )2+ 2c b x+k] kPR xy b )2+ 2c b x+k= 0 c= 0 ką0 C=H b y=´d b ´k b (x´x0) b x CH ĕ
C=tMPP,MF=eˆMH=d(M,D)uɍH M
D D F F D O D K i j? ??? O F H M cPRkPR RF(c,0)K(k,0)ɍK FDM(x,y)ÝÝÑHM
x´kÝÝÑFM
x´cMF=eMHðñ(x´c)2+y2=e2(x´k)2
ðñx2(1´e2) + 2x(ke2´c) +y2=e2k2´c2
e‰1 O ke2´c= 0 O (K,e2)(F,´1) k2e2´c2=c2 e2´c2=c2
e2(1´e2)c‰0 k=c= 0 FPD
MF=eMHðñx2(1´e2) +y2=e2k2´c2
x2 a 2+y2 a2(1´e2)= 1a2=c2
e 2 a 2+y2 b 2= 1 Ox a 2=c2 e2,b2=a2(1´e2) =a2´c2k=c
e 2=a2 c a2´y2
b 2= 1 Ox a 2=c2 e2,b2=a2(e2´1) =c2´a2k=c
e 2=a2 c e= 1 MF=MHðñ2x(k´c) +y2=k2´c2O FK k=´c
MF=MHðñy2= 4cx
R= (O,⃗i,⃗j) ĕ P
a 2+y2 b2= 1aąb
D F E=tMPP,MF=eˆMHu
O B A?? F F 1 K K 1 D D 1 c2=a2´b2,e=c
a ( BF=a) F cD:x=a2
c F1
´cD1:x=´a2
c F a2´y2
b 2= 1 eP]1,+8[ (F,D)H=tMPP,MF=eˆMHu
O A B Q F F 1 D D 1 c2=a2+b2,e=c
a ( OB=bOQ=c)F
cD:x=a2
c F1
´cD1:x=´a2
c (F,D) C=tMPP,MF=MHu O? F K D F p 2D:x=´p
2 F D a 2+y2 b2= 1aąb ĕR= (O,⃗i,⃗j)
DF (c,0) D x=k
E b2=a2´c2,e2=c2
a 2k=a2 c c e k cFF1 a 2aąFF1
C=tMPP,MF+MF1= 2au FF1 Ǘ a
FF1 a 0ă2aăFF1
C=tMPP,|MF´MF1|= 2au FF1 Ǘ
aFF1 a 2c=FF1
MF+MF1=e(MH+MH1) =eKK1=e2a2
c = 2a O H 1 H 1 M K K 1MPH MF´MF1=e(MH´MH1) =e(˘KK1) =˘2a
O D D 1 K K 1 H 1 H MEĂCHĂC
ĕR= (O,⃗i,⃗j) O [F1F]ÝÝÑF1F= 2c⃗i MF2´MF12=ÝÝÑMF2´ÝÝÝÑMF12= (ÝÝÑMF´ÝÝÝÑMF1)¨(ÝÝÑMF+ÝÝÝÑMF1) =ÝÝÑF1F¨2ÝÝÑMO=´4cx
MF2´MF12= (εMF)2´(ε1MF12) =(εMF´ε1MF1)(εMF+ε1MF1)
εMF+ε1MF1= 2aùñ$
%εMF +ε1MF1= 2aεMF´ε1MF1=´4cx
2aùñεMF=a´c
a xùñ(x´c)2+y2= (a´c
a x)2εMF+ε1MF1= 2aùñx2
a 2+y2 a2´c2= 1
aąc ε=ε1= 1 MF+MF1= 2aùñMPE aăc ε= 1,ε1=´1ε=´1,ε1= 1 |MF´MF1|=2aùñMPH
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