[PDF] RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE LÉQUATION f(x)=0

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InformatiqueIngénierie numérique et simulation RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L"ÉQUATIONf(x) = 0 méthode de dichotomie et méthode de NewtonRésolution approchée d"une équation

?Dans la mesure où on ne sait pas résoudre de manière exacte toutes les équations numériques

que l"on peut être amené à rencontrer, il est légitime de mettre au point des démarches

permettant d"obtenir une valeur approchée d"une solution d"équation. ?La méthode de la dichotomie et la méthode de Newton sont deux techniques permettant, de manière algorithmique, de calculer une approximation d"une solution de l"équationf(x) = 0, oùfest une fonction définie sur un intervalle et à valeurs réelles.Cadre de travail •Dans la suite, on noterafune fonction continue sur un intervalle[a,b]. •On supposera, en outre, quefs"annule en un unique point de[a,b], que l"on noteraxsol.1

1 Méthode de dichotomie

Contexte de travail et idée de départOn suppose que : ?◦fest continue sur[a,b] ◦f(a)etf(b)sont de signes contraires Ces hypothèses suffisent à garantir quefs"annule (au moins une fois) sur[a,b].1.1 Démarche Technique à répéteri.On divise l"in tervalle[a,b]en deux, et on ne garde que la section qui contient la solution. ?→Pour cela, on examine le signe def?a+b2 →sif(a)etf?a+b2 sont de signes contraires, on se place alors sur a,a+b2 →sinon, il faudra travailler sur?a+b2 ,b? ii.

Puis on recommence. Condition d"arrêt

Plusieurs conditions peuvent justifier l"arrêt des itérations décrites précédemment : ?lorsque la taille de notre intervalle de travail est " suffisamment petite » ?→l"écart entre le milieu de cet intervalle etxsolest encore plus petit ?lorsqu"on estime que le nombre d"itérations est suffisant. Le dernier milieu calculé sera alors considéré comme une approximation dexsol.

1.2 Programmation en Pythondefrecherche_solution_dichotomie (fonction,borne_inf,borne_sup,tolerance,nb_iterations_max) :

milieu=(borne_sup+borne_inf)/2 nombre_iterations=0 while (borne_sup-borne_inf>tolerance) and (nombre_iterations<=nb_iterations_max) : if f(borne_inf)*f(milieu)<=0 : borne_sup=milieu else : borne_inf=milieu milieu=(borne_sup+borne_inf)/2 nombre_iterations=nombre_iterations+1 return milieu Remarque ?Dans Python, la bibliothèquescipy.optimizecontient la méthode de dichotomie. ?Pour l"utiliser, il suffit de charger la bibliothèque, puis d"appliquer la fonctionbisecen précisant (au moins) la fonctionfconsidérée, ainsi que les bornesborne_infetborne_supde l"intervalle de travail.fromscipy.optimize import * bisect(f,borne_inf,borne_sup)1.3 Vitesse de convergence

Comme, à chaque étape, la taille de l"intervalle de travail est divisée par 2, l"intervalle de recherche à lan-ième étape

est de longueurb-a2 n: le milieu de cet intervalle est alors distant dexsold"au plusb-a2 n. 2

2 Méthode de Newton

Contexte de travail et idée de départOn suppose que : ?◦fest dérivable sur[a,b] ◦f?ne s"annule pas sur[a,b]

On va considérer que la représentation graphiqueCfdefest " proche » de sa tangente en un point :

l"intersection de cette tangente avec(Ox)doit nous " rapprocher » dexsol2.1 Démarche Technique à répéteri.On considère un réel x0dansI ii.→On considère alors la tangente àCfau point d"abscissex0, qui a pour équation cartésienney=f?(x0)(x-x0)+f(x0). →Le point d"intersection de cette droite et de l"axe des abs- cisses permet d"approcherxsol: on note ainsix1le réel vérifiant0 =f?(x0)(x1-x0)+f(x0), c"est-à-dire que l"on posex1=x0-f(x0)f ?(x0). iii. Puis on recommence : le réel xnétant construit, on pose x n+1=xn-f(xn)f ?(xn).Condition d"arrêt Plusieurs conditions peuvent justifier l"arrêt des itérations décrites précédemment : ?lorsque l"écart entre deux termes consécutifs est " suffisamment petit » ?lorsqu"on estime que le nombre d"itérations est suffisant. Le dernier termexncalculé sera alors considéré comme une approximation dexsol.

2.2 Programmation en Pythondefrecherche_solution_Newton (fonction,derivee_fonction,position_depart,tolerance,nb_iterations_max) :

returnRemarque ?Dans Python, la bibliothèquescipy.optimizecontient la méthode de Newton. ?Pour l"utiliser, il suffit de charger la bibliothèque, puis d"appliquer la fonctionnewtonen précisant (au moins) la fonctionfconsidérée, sa dérivéeder_fet la valeur initialeposition_depart.fromscipy.optimize import * newton(f,position_depart,der_f)2.3 Vitesse de convergence

Sous certaines hypothèses concernantf(que nous supposerons vérifiées), on montre qu"il existe une constante

×(C|x0-xsol|)2n.

pour être en mesure de garantir la convergence de(xn)versxsol... et de majorer la distance dexnàxsol. 3

3 Comparaison des deux méthodes

Pour comparer l"" efficacité » des deux méthodes de résolutionnumériqueprécédemment étudiées, plusieurs critères

doivent être considérés : ?La rapidité de convergence

De ce point de vue, dans les hypothèses où les deux méthodes convergent, la méthode de Newton met en place

une suite de nombres qui converge plus " rapidement » (on parle ici de convergencequadratique) versxsolque

celle construite par la méthode de dichotomie (qui converge de façonlinéaire) :?Le caractère " contraignant » des hypothèses

La méthode de dichotomie nécessite, pour converger, des hypothèses plus simples que la méthode de Newton : il

suffit de disposer d"une fonction continue qui change de signe pour que cette construction converge vers un point

d"annulation de cette fonction. Dans certains cas (respectant pourtant les hypothèses initialement formulées), la

méthode de Newton risque de ne pas converger... 4quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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