[PDF] Équations différentielles CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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Équations différentielles

Pierron Théo

ENS Ker Lann

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Table des matières

1 Introduction et exemples1

1.1 Quelques types d"équations intégrables. . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Variables séparables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Équations linéaires inhomogènes. . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Équation deBernoulli-Ricatti. . . . . . . . . . . . 4

1.2 Exemples en dynamique des populations. . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Cas d"une seule espèce. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Cas de deux espèces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Théorèmes généraux7

2.1 Préliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Cadre général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Le lemme deGronwall. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Le cas lipschitzien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Solution globale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Existence locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.3 Unicité locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.4 Solutions maximales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.5 Retour sur Lotka-Volterra. . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Explosion de la solution maximale. . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Continuité par rapport aux paramètres. . . . . . . . . . . . . 18

3 Équations différentielles linéaires21

3.1 Systèmes différentiels linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Formule intégrale et résolvante. . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.2 Systèmes à coefficients constants. . . . . . . . . . . . . 24

3.1.3 Groupe à un paramètre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.4 Équations différentielles d"ordre supérieur. . . . . . . 25

3.2 Comportement qualitatif des solutions. . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Portraits de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

i iiTABLE DES MATIÈRES

3.2.2 Stabilité asymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.3 Solutions bornées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Stabilité des systèmes non linéaires33

4.1 Stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Critères non linéaires de stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Retour sur la stabilité des systèmes hamiltoniens. . . . . . . . 37

4.3.1 Étude des équilibres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Méthodes numériques39

5.1 Flot exact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Flot numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 Ordre local et global d"approximation. . . . . . . . . . . . . . 40

5.4 Autres méthodes numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Chapitre 1Introduction et exemples :maths à la physicienne Soitf:I×U→RnavecIun intervalle deRetUun ouvert deRn.

Définition 1.1

Un équation différentielle d"ordre 1 s"écritx?(t) =f(t,x(t)). On dit que?est solution ssi?estC1et vérifie?t?I,??(t) =f(t,?(t)) et ?(t)?U?t?I. Remarque 1.1 On aurait pu prendre?seulement différentiable, mais ça ne change rien, car si?est différentiable et solution, alors elle estC1puisque fet?sont continues.

Exemples :

•La tractrice (Leibnitz, 1693).

On cherche la courbe telle que la distance entre tout pointPde la courbre et l"intersection de l"axe des abscisses avec la tangente enPest constante égale àa. SoitPde coordonnées (x,y) sur la courbe. La pente de la tangente au pointPest-y a2-y2et aussiy?donc on a : y ?=-y ⎷a2-y2 C"est une équation à variables séparables donc on fait nos physiciens : et puis on change de variable (v=⎷ a2-y2,vdv=-ydy) : dx=? a2-y2-ydy

Et puis on change de variable (v=⎷

a2-y2,vdv=-ydy) pour calculer l"intégrale et on tombe sur : x=-? a2-y2-aln?a-⎷a2-y2 y? 1

CHAPITRE 1. INTRODUCTION ET EXEMPLES

123

1 2 3 4 5 6 7

•Brachistochrone : on cherche le moyen le plus rapide d"allerd"un point à un autre dans un champ de pesanteur uniforme. La méthode de Galilée (1683) est de prendre un quart de cerclede AàBet d"y placerC,D,EetF(dans l"ordre). Il considère après les trajets en ligne droiteACB,ACDB,... Il remarque queACBest moins bon queACDBqui est moins bon queACDEB,... Il conclut alors faussement que l"arc de cercle est le chemin cherché. Méthode de physicien de Bernoulli : On considère une portionélémen- taire de la courbe ds. Sur cet élément, on peut considéré que la courbe est droite. On a alors un triangle rectangle de côtés ds, dxet dy. On a donc sin(α) =dx ds. Le chemin le plus court entre deux points est celui que suivrait un rayon de lumière. La courbe brachistochrone est donc simplement le trajet suivi par la lumière dans un milieu où la vitesse augmente se- lon une accélération constante (l"attraction terrestreg). La loi de la conservation de l"énergie permet d"exprimer la vitesse d"un corps sou- mis à l"attraction terrestre parv=⎷

2gy. On peut alors utiliser le

principe de Fermat :v=Ksin(α).

DoncK=⎷

2gydsdx. Or ds2= dx2+ dy2doncds2dx2= 1 +dy2dx2.

On obtient alors :?

1 +dy2dx2⎷2gy=Kdoncdydx=?

c-y y. On pose alorsy=csin2(u) et on a, en réinjectant dans dx=? y c-ydy, on a dx= 2csin2(u)duet on ax=cu-csin(2u) 2. On a donc affaire à une branche de cycloïde retournée :

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1.1. QUELQUES TYPES D"ÉQUATIONS INTÉGRABLES

123

1 2 3 4 5 6 7

1.1 Quelques types d"équations intégrables

1.1.1 Variables séparables

Forme Ce sont les équations de la formey?(x) =f(x)g(y(x)).

Résolution

On cherche une primitive dey?→1

g(y)notéeGetFune primitive defet on aG(y) =F(x) +cet avec de la chance, on peut obteniryen fonction de x. Dans le cas oùg= Id, on parle d"équation linéaire homogène et on a y=Ce?f(x)dx.

1.1.2 Équations linéaires inhomogènes

Forme y ?=f(x)y+g(x).

Résolution

On chercheysous la formeu(x)v(x). On au?v+uv?=fuv+get on essaie d"identifieru?avecfuetuv?avecg. On doit donc résoudre un équation linéaire homogène pouru:u=

Ce?f(x)dx.

SiC?= 0,une s"annule pas donc on av?=g

uet on peut trouverv.

Doncy=x?→Cu(x) +u(x)?x

0g(t) u(t)dt.

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CHAPITRE 1. INTRODUCTION ET EXEMPLES

1.1.3 Équation deBernoulli-Ricatti

Forme

Ce sont celles de la formey?=fy+gyn.

Première méthode

On chercheysous la formeuvet on essaie comme précédemment d"iden- tifier : on doit alors résoudreu?=fuetv?=gun-1vn. On peut résoudre la première équation comme précédemment :u(x) = Ce? x

0f(t)dt.

Et on peut résoudre la deuxième équation qui est à variable séparables.

On a alors :

y(x) =u(x)? c+ (1-n)? x

0g(t)un-1(t)dt?

1-n

Deuxième méthode

On posey=vβ.

On ay?=βv?vβ-1=fvβ+gvnβ.

Doncβv?=fv+gv(n-1)β+1donc, avecβ=1

1-n, on av?= (1-n)fv+

(1-n)gqui est une équation linéaire inhomogène.

1.2 Exemples en dynamique des populations

1.2.1 Cas d"une seule espèce

Modèle classique

SiN(t) désigne le nombre d"individus d"une population, on peut modéliser l"évolution deNpar l"équationN?(t) =rN(t) (loi deMaltus) avecrune constante représentant le taux d"accroissement de la population.

On a doncN(t) =N0ert.

Un meilleur modèle : celui deVerkult

On noten(N) le taux de natalité etm(N) le taux de mortalité. On aN?(t) =n(N(t))N(t)-m(N(t))N(t). On suppose quenetmsont des fonctions affines deNavecndécroissante etmcroissante. On obtient quen-mest une fonction affine décroissante et on aN?(t) = (a-bN(t))N(t) avecb?0.

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1.2. EXEMPLES EN DYNAMIQUE DES POPULATIONS

Si on supposeN?(t) positif au voisinage de 0, on aa?0 et sib?= 0, on obtientN?(t) =aN(t)(1-N(t) c). N=cest solution. On dit quecest un point critique. Dans ce modèle, on l"appelle capacité d"accueil. SiN(t)> c, alorsNdécroît, sinon elle croît.

Solution

À part énoncer des propriétés dont l"intérêt reste à prouvervu ce qu"on va faire, on va résoudre cette équation avec la condition initialeN(0) =N0>0. C"est une équation de Bernoulli, donc gentille donc on la fait résoudre au prof et on a :

N(t) =c

1 +?cN0-1?e

-at

On obtient : lim

t→+∞N(t) =c. 123

1 2 3 4

c= 2 N0= 3 N0= 1

1.2.2 Cas de deux espèces

Mise en équation

On s"intéresse à un système biologique avec des proiesx(t) et des préda- teursy(t). En l"absence de prédateurs,x?(t) =ax(t) aveca >0 un taux de crois- sance. En l"absence de proies,y?(t) =-cy(t) avecc >0 un taux de mortalité. En combinant la présence des deux espèces, on obtient le modèle de

Lotka-Volterra:???x

?(t) = (a-by(t))x(t) y ?(t) = (dx(t)-c)y(t) aveca,b,c,dpositifs.

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CHAPITRE 1. INTRODUCTION ET EXEMPLES

Équilibres du système

On cherche les états du système tels quex?=y?= 0. On doit donc résoudre : ?0 = (a-by0)x0

0 = (dx0-c)y0

On trouve (0,0) et (c

d,ab). Ce sont les points stationnaires ou d"équilibre du système.Les fonctions constantes associées sont des solutions stationnaires.

Existence d"un invariant/intégrale première

Définition 1.2

C"est une fonctionItelle queI(x(t),y(t)) est constante pour touttet pour toutes solutionsxetydu système.

Formellement, on a :

x y?=x(a-by)y(dx-c) donc x?(dx-c) x=y?(a-by)y doncdx?-cx? x=ay?y-by? doncdx-cln(x) =aln(y)-by+k Posons alorsI: (x,y)?→aln(y)-by+cln(x)-dx. On peut vérifier que

Iest constante.

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Chapitre 2L"arrivée des maths correctes :théorèmes généraux, existenceet unicité des solutions2.1 Préliminaires2.1.1 Cadre général

SoitIun intervalle deRouvert. SoitEun Banach etD?Eun ouvert connexe. On considère une applicationf:I×D→Econtinue ety0?E.

Définition 2.1

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