MULTIPLES DIVISEURS
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Nombre pair - Nombre impair
? Les nombres utilisés dans ce chapitre sont des entiers naturels ( 0 1
Nombres pairs et impairs Tout entier naturel est soit pair soit impair
L'arithmétique est l'étude des nombres entiers et des opérations sur ces Sinon le nombre est impair. ... c'est le plus petit entier naturel impair.
Raisonner avec des nombres entiers EXERCICE NO 5 : Calcul
— Affirmation no 2 : La somme de deux nombres entiers impairs est impaire. — Affirmation no 3 : La somme d'un nombre entier pair et d'un nombre entier impair
TP2 #9. Preuve. Soient x et y deux nombres impairs. Alors selon la
x + y = 2k +1+2l +1=2(k + l + 1). On sait que la somme de deux nombres entiers est un nombres entier donc le nombre k +l ? Z. De même
1. Etudier la parité de la somme et du produit de deux entiers relatifs
La somme est impaire. • Si n est impair et p impair. On a : 2 ' 1 n n. =.
MATHEMATIQUES Exercice 1
On reconnaît l'écriture d'un nombre impair. Ainsi quand on ajoute deux entiers consécutifs
1. Etudier la parité de la somme et du produit de deux entiers relatifs
La somme est impaire. • Si n est impair et p impair. On a : 2 ' 1 n n. =.
Montrer que tout entier impair non divisible par 5 a un multiple dont l
Dire que l'écriture décimale d'un nombre ne comporte que des 1 signifie que ce. Page 2. nombre est de la forme. (n entier naturel). . Il s'agit donc d'établir
Arithmétique dans Z
Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n Déterminer les couples d'entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360.
Nombre pair - Nombre impair - académie de Caen
Un nombre impair est un nombre qui n’est pas pair Exemples : 1 3 15 247 35 769 sont des nombres impairs Remarque : Un nombre impair est un successeur d’un nombre pair Ecriture d’un nombre impair quelconque : Dans la division ( euclidienne ) par 2 d’un nombre entier le reste de la division ( toujours strictement
Nombres pairs et impairs - Maxicours
terminent par 02468 et les nombres impairs par 13579 - Il est aussi important de faire remarquer aux enfants que le chiffre à la position des unités nous indique si le nombre est pair ou impair mais que c’est le nombre en entier qui est pair ou impair
Notion d’arithmétique et l’Ensemble des nombres entiers
Définition2: on dit qu’un nombre impair s’il existe un entier naturel k tel est un nombre pairque n = 2 k+1 Exemple : 11 = 2 x 5+1 k =5 donc 11 est nombre impair Exercice : a et b 2 2 2 Montrer que si a est pair et b impair alors la somme est un nombre impair Solution : est pair alors : ak 2 avec k Impair alors : bk 21c avec kc
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On reconnaît l’écriture d’un nombre impair Ainsi quand on ajoute deux entiers consécutifs on obtient un entier impair 2 Deux entiers consécutifs quelconques s’écrivent n et n +1 • Soit n est pair et alors il existe un entier p tel que n = 2p Dans ce cas n +1 = 2p +1 Le produit de ces deux entiers consécutifs s’écrit
Quels sont les nombres impairs ?
Les nombres 5, 1, –327 sont impairs. En effet : 5 = 2 × . Comme , 5 n’est pas multiple de 2. Donc il est impair. 1 = 2 × ; –327 = 2 × . et ne sont pas entiers, donc 1 et –327 sont impairs. Tout nombre entier est pair ou impair.
Comment savoir si un nombre est pair ou impair ?
Tester si un nombre est pair ou impair à l’aide d’un algorithme. Un nombre pair est un entier multiple de 2. Un nombre impair est un entier non multiple de 2. On suppose que est un entier. est pair si, et seulement si, il existe un entier relatif tel que .
Comment calculer le nombre impair?
En déduire que tout nombre impair peut s’écrire comme la différence des carrés de deux entiers naturels consécutifs. c) Ecrire 5 , 13 et 21 sous forme d’une différence de carrés de deux entiers naturels consécutifs. d) Calculer la somme : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2 005 + 2 007 + 2 009.
Quel est le carré d'un entier impair ?
On suppose que est un entier. est impair si, et seulement si, il existe un entier relatif tel que . Il existe plusieurs règles sur la somme et le produit de deux nombres pairs ou impairs. Le carré d'un entier impair est impair. 1. Parité d'un entier a. Définition Un nombre pair est un entier multiple de 2.
PanaMaths Août 2012
1. Etudier la parité de la somme et du produit de deux entiers relatifs.
2. Soit n un entier relatif.
Montrer que l'on a :
2 pair pairnn.3. Soit n et p deux entiers relatifs tels que :
223 5 152np
Montrer que n et p sont de même parité.
Analyse
Les deux premières questions sont classiques et doivent être connues (i.e. ne pas poser dedifficultés particulières). La troisième question exploite les résultats des deux premières.
Résolution
Question 1.
Soit n et p deux entiers relatifs.
Que ce soit pour la somme ou le produit, nous discutons selon les parités des entiers n et p.Parité de la somme.
Si n et p sont pairs
On a : 2'nn et 2'pp. Alors 2'2' 2 ' 'np n p np .La somme est paire.
Si n est pair et p impair
On a :
2'nn et 2 ' 1pp. Alors 2'2'1 2 ' ' 1np n p np .
La somme est impaire.
Si n est impair et p pair
On a :
2'1nn et 2 'pp. Alors 2'12' 2 ' ' 1np n p np .
La somme est impaire.
Si n est impair et
p impair On a : 2'1nn et 2'1pp. Alors 2'12'1 2 ' '1np n p np .La somme est paire.
PanaMaths Août 2012
On peut, en définitive, énoncer la règle classique suivante :La somme de deux entiers relatifs est :
Paire si, et seulement si, les deux entiers sont de même parité. Impaire si, et seulement si, les deux entiers ne sont pas de même parité.Parité du produit.
En procédant comme ci-dessus, il vient :
Si n et p sont pairs
On a :
2'nn et 2 'pp. Alors 2'2' 2 2' 'np n p np .
Le produit est pair.
Si n est pair et p impair
On a :
2'nn et 2'1pp. Alors 2'2'1 2 '2'1np n p n p .
Le produit est pair.
Si n est impair et p pair
On a :
2'1nn et 2 'pp. Alors 2'1 2' 2 '2'1np n p p n .
Le produit est pair.
Si n est impair et p impair
On a :
2'1nn et 2 ' 1pp. Alors
2'1 2'1 22' ' ' ' 1np n p npn p .
Le produit est impair.
Remarque : on aurait également pu noter dès le début que tout produit d'un entier par un entier pair est pair. On peut, en définitive, énoncer la règle classique suivante :La produit de deux entiers relatifs est :
Pair si, et seulement si, l'un au moins des deux entiers est pair. Impair si, et seulement si, les deux entiers sont impairs.Question 2.
Soit n un entier relatif.
D'après la question précédente, on a :
2 n impair n impair. Puisqu'un entier est pair ou impair, on en déduit immédiatement : 2 n pair n pair.Pour tout entier relatif n, on a :
2 n pair n pair.PanaMaths Août 2012
Question 3.
Supposons que l'entier n soit pair.
Alors, d'après la question précédente, il en va de même pour son carré. D'après la question 1, on en déduit alors que le produit 23n est pair.
Toujours d'après la question 1, il en va de même pour la différence 2152 3n.
Donc le produit
25p est pair.
Mais d'après la question 1, le produit de 5 et
2 p est pair si, et seulement si, 2 p est pair.La question 2 nous permet alors de conclure que
p est pair.On a ainsi montré : n pair p pair.
Mais comme le coefficient de "
2 p » dans l'équation est impair comme celui de " 2 n », on montre de façon similaire que l'on a : p pair n pair.En définitive, on a l'équivalence : n pair
p pair. Ainsi, les deux entiers n et p sont de même parité.Si deux entiers n et p vérifient l'équation
223 5 152np alors ils sont de même parité.
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