[PDF] Chapitre 11 Exemples de calculs dintégrales.

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Chapitre 11

Exemples de calculs d"intégrales.

1 Points importants 3 Questions de cours 6 Exercices corrigés

2 Plan du cours 4 Exercices types 7 Devoir maison

5 Exercices

1

Chap 11Exemples de calculs d"intégrales.

Et s"il ne fallait retenir que sept points?1.Connaître les primitives usuelles :FonctionsPrimitivesFonctionsPrimitives

cos(x)sin(x) +k1 ch

2(x)th(x) +ksin(x)-cos(x) +k1

sh 2(x)-

1th(x)+kch(x)sh(x) +k1⎷1-x2Arcsin(x) +ksh(x)ch(x) +k1

1 +x2Arctan(x) +ke

xe x+ktan(x)-lnjcos(x)j+k1 cos

2(x)tan(x) +kcotan(x)lnjsin(x)j+k1

sin

2(x)-cotan(x) +kth(x)lnjch(x)j+k2.Connaître les deux formules principales :FonctionsPrimitivesFonctionsPrimitives

f

0:fn(n6=-1)f

n+1n+ 1+kf

0flnjfj+k1

3.Connaître le théorème fondamental de l"analyse.C"est à dire que sifest continue sur

un intervalleIalorsF(x) =? x c f(t)dtest une primitive defpour tout réelcdeI.

4.Savoir trouver les primitives des fonctions du stylef(x) =sinn(x)cosm(x).Simest

pair, on eectue le changement de variableX=sin(x)(Bioche). Si c"estnqui est pair, on pose X= cos(x)(Re-Bioche). Simetnsont pairs, on linéarise (Pas Bioche car trop long).

5.Savoir trouver les primitives des fonctions du stylef(x) =P(x)emxavecPun poly-

nôme.Les primitives sont de la formeF(x) =Q(x)emxavecdeg(Q) =deg(P). Pour trouver

Q, il sut d"identifierF0(x)etf(x).

6.Savoir décomposer une fraction rationnelleF=PQ

en éléments simples (et donc trouver ses primitives) siQest scindé à racines simples.On rappelle que F=P(X-1)(X-2):::(X-n)=E(X) +a1(X-1)+a2(X-2)+:::+an(X-n) Et que pour trouverai, on multiplie cette équation par(X-i)et on remplaceXpari.

7.Connaître quelques changements de variables qui permettent de se ramener à une

fraction rationnelle : a)

Une fraction rati onnelleen emx, on poseX=emx

b)

Une fraction ration nelleen sin uset cosi nus,on utilise la r èglede Bio che: Expressionf(x)dxstableOn eectue le

par le changement de variablechangement de variable 2

Chap 11Exemples de calculs d"intégrales.

Plan du coursI. Résultats et outils fondamentaux sur les intégrales............................... 2

1/ Théorème fondamental de l"analyse...............................................2

2/ Nouvelles notations pour les primitives...........................................2

3/ Outil 1 : recherche d"une primitive............................................... 2

4/ Outil 2 : intégration par parties...................................................2

5/ Outil 3 : changement de variables.................................................2

II. Exemples utilisant l'outil 1 : recherche d'une primitive......................... 2

1/ Primitives usuelles..................................................................2

2/ Savoir retrouver la formef0og:g0...................................................2

3/ Produit d"un polynôme par une exponentielle...................................3

4/ Produit d"un polynôme, d"un cosinus ou sinus et d"une exponentielle........ 3

III. Intégrales de fractions rationnelles.................................................3

1/ Polynômes irréductibles surR[X]..................................................3

2/ Le théorème de décomposition en éléments simples.............................3

3/ Comment trouver la partie entière?..............................................3

4/ Le cas oø le dénominateur est scindé à racines simples......................... 3

5/ Exemples de recherches des coecients dans les autres cas.................... 3

6/ Primitives de fonctions rationnelles...............................................3

7/ Comment intégrer

1(x2+1)n?........................................................ 6

8/ Comment intégrer

x+a(x2+bx+c)n?..................................................... 6 IV. Exemples utilisant l'outil 2 : l'intégration par parties...........................6

1/ Les exemples simples............................................................... 6

2/ On trouve une équation vérifiée par l"intégrale.................................. 6

3/ On trouve une équation de récurrence............................................6

V. Exemples utilisant l'outil 3 : le changement de variables........................6

1/ Primitives d"une fraction rationnelle en exponentielle.......................... 6

2/ Polynômes en sinus et cosinus.....................................................7

3/ Primitives d"une fraction rationnelle en sinus et cosinus.......................7

1

Chap 11Exemples de calculs d"intégrales.

Questions de cours1. Donner les primitives def(x) = (3x+ 2)ex. (II)

2. Donner les primitives def(x) =x2cos(x). (II)

3. Donner les primitives detan,cotan,th. (II)

4. Donner les primitives dexavecdansR. (II)

5. Donner les primitives de

f

1(x) =11 +x2f2(x) =1p1x2(II)

6. Donner les primitives de

f

1(x) =1cos

2(x)f2(x) =1sin

2(x)f3(x) =1ch

2(x)f4(x) =1sh

2(x)(II)

7. Décomposer en éléments simplesf(x) =x+ 1(x1)2. (III)

8. Décomposer en éléments simplesf(x) =2x

21. (III)

9. Donner les primitives def(x) = cos2(x)sin2(x). (IV)

10. Énoncer la règle de Bioche. Calculer les primitives def(x) =1cos(x)(IV)

1

Chap 11Exemples de calculs d"intégrales.

Exercices typesExercice 1 - Trouver la forme(f0og):g0.Calculer les intégrales suivantes : I 1=? 1 0xx

2+ 1dx I2=?

1 0 x2(x3+ 1)4dx I3=? 2

1ln(x)x

dx Exercice 2 - Intégrales de fractions rationnelles simplesCalculer les intégrales suivantes : I 1=? 1

01(x+ 1)2(x-2)dx I2=?

12 01x

2-1dx I3=?

1 -11 +x5x

2+ 1dx I4=?

1 02xx

4+ 1dx

Exercice 3 - Intégrales de fractions rationnelles un peu moins simplesCalculer les intégrales suivantes :

I 1=? 1 01x

2+x+ 1dx I2=?

p2

01(x2+ 2)2dx I3=?

1

0x+ 1x

2+ 1dx

Exercice 4 - Calcul d"intégrales par changement de variable.Calculer les intégrales suivantes :

I 1=? 2

0sin2(x)cos3(x)dx I2=?

2

0x2sin(x)e2xdx I3=?

4 0sin

2(x)cos(x)dx

Exercice 5 - Équations de récurrence.Déterminer une relation de récurrence sur les suites(In)suivantes :

I n=? 1

0dx(1 +x2)nIn=?

2

0cosn(x)dx In=?

1 -1(1-x2)ndx Exercice 6 - Intégrales de Wallis.Soitn2N, on définit les intégrales de Wallis par :In=? 2

0sinn(x)dx

1. Calculer I0etI1puis montrer que pourn2Nn f0,1g, on aIn=n-1n In-2 2.

En déduire que I2n=(2n)!2

2n(n!)22

etI2n+1=22n(n!)2(2n+ 1)!. 3.

Mon trerque Inest aussi égal à?

2

0cosn(x)dx

1

Chap 11Exemples de calculs d"intégrales.

Exercices"Tout corps plongé dans une baignoire

reçoit un coup de téléphone."

F. Blanche.Niveau 1

Exercice 1.

1 - 2

0x2cosxdx2 -?

2

0cos3(x)sin2(x)dx

3 - 2

0cos2(x)sin4(x)dx4 -?

2 1x

7+ 2xx

2(x2+ 1)dx

5 - 1

02(x2+ 1)(x2+x+ 1)dx6 -?

1 1x

5-x+ 1(x2+ 1)4dx

7 - ln(2)

02e2x+ 41 +e4xdx8 -?

1

0dxch(x)

9 - 2 0cos

4(x)dx1 + cos

2(x)10 -?

8

0sin(x) + sin3(x)cos(2x)dx

11 -

0dx4sin(x) + 3cos(x) + 512 -?

4

0dxcos(x)

13 - ln(2)

02ch2(x)-14sh3(x) + 3sh(x)dx14 -?

2

0dx(1 + sin

2(x))2

1

Exercice 2.

Calculer les intégrales suivantes :

Iquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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