[PDF] VARIABLES ALÉATOIRES (Partie 2)





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PROBABILITÉS

Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance



VARIABLES ALÉATOIRES

Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance



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On cherche l'espérance ( ) la variance ( ) et l'écart type ( ) d'une v.a. dont on a la loi de probabilité : ?. ( = ).



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VARIABLES ALÉATOIRES (Partie 2)

Calculer l'espérance et l'écart-type de la loi de probabilité de X. Pour simplifier les calculs on définit la variable aléatoire Y = 1000X – 1300.



LOI NORMALE

La probabilité P(37? Y ? 40) correspond à l'aire sous la courbe de la On suppose que X suit la loi normale d'espérance µ = 80 et d'écart-type ? =14 .



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Son écart-type ?X est la racine positive de la variance. le même espace de probabilité suivant la même loi D et dont l'espérance µ et l'écart-type ? ...



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4) Le nombre V ar(X) = E((X ? E(X))2) lorsqu'il existe est appelé variance de X et le nombre ?X = ?V ar(X) est l'écart type de X 5) Une v a X telle que E( 

  • C'est quoi l'espérance et la variance ?

    L'espérance est donc la moyenne que l'on peut espérer si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois. - La variance (respectivement l'écart-type) est la variance (respectivement l'écart- type) de la série des xi pondérés par les probabilités pi.

  • Comment calculer l'espérance en probabilité ?

    On considère une variable aléatoire discrète X dont on connaît la loi de probabilité. L'espérance de X, notée E(X) est la moyenne des valeurs prises par X, pondéré par les probabilités associées. Autrement dit, si la loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant : alors E(X)=x1×P(X=x1)+x2×P(X=x2)+

  • Comment calculer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire ?

    Définition : Variance d'une variable aléatoire discrète
    Cela peut être calculé en utilisant la formule suivante : V a r ( �� ) = �� ? ( �� ? �� ) ? , ? où �� = �� ( �� ) = ? ( �� × �� ( �� = �� ) ) est l'espérance de �� et �� représente toutes les valeurs que �� peut prendre.
  • La variance est l'espérance des carrés des écarts par rapport à l'espérance. Pour dire les choses plus simplement, V(X) =E((X?E(X)2).
VARIABLES ALÉATOIRES (Partie 2) 1

LOI DES GRANDS NOMBRES - Chapitre 1/2

Tout le cours sur la somme de variables aléatoires en vidéo : https://youtu.be/GweMOVratYI

Partie 1 : Somme de variables aléatoires

Exemple :

On considère deux jeux dont les gains sont donnés : - pour le premier jeu, par la variable aléatoire qui prend les valeurs 1 et 2. - pour le second jeu, par la variable aléatoire qui prend les valeurs -2, 3 et 4.

Par exemple, l'évènement

=1 =-2 signifie qu'on a gagné 1 € au premier jeu et perdu 2 € au deuxième jeu.

Considérons la variable aléatoire somme + donnant le gain total cumulé aux deux jeux.

Alors la variable aléatoire + peut prendre les valeurs : -1, 0, 4, 5 et 6.

En effet, on a par exemple +=0 avec

=2 =-2

Par ailleurs, pour calculer par exemple, la probabilité de l'évènement +=5, on cherche

toutes les sommes + égales à 5.

On a ainsi :

+=5 =1 =4

0+

=2 =3 0 Si de plus, les évènements et sont indépendants, alors on a : +=5 =1

×(=4)+

=2

×(=3)

Définition : Soit et deux variables aléatoires. La loi de probabilité de la variable aléatoire

somme + est donnée par :

Si, de plus, les évènements (=) et (=) sont indépendants, alors on a :

On dit dans ce cas que les variables aléatoires et sont indépendantes.

Remarque : Le symbole Σ

Si par exemple, =2 alors :

+=2 (=0)∩(=2) (=1)∩(=1) (=2)∩(=0) Méthode : Déterminer la loi d'une somme de variables aléatoires

Vidéo https://youtu.be/0l7tz8oGh-s

On considère le jeu suivant qui se déroule en deux parties : - La 1

ère

partie consiste à lancer une pièce de monnaie. Si on tombe sur " pile », on gagne 1 €, si on tombe sur " face », on gagne 2 €. 2 - La 2 e

partie consiste à lancer un dé à 6 faces. Si on tombe sur un chiffre pair, on gagne 1 €,

si on tombe sur le " 3 » ou le " 5 », on gagne 2 €.

Si on tombe sur le " 1 », on perd 5 €.

La variable aléatoire désigne les gains à la 1

ère

partie, la variable aléatoire désigne les gains à la 2 e partie. On considère que les variables aléatoires et sont indépendantes.

Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire somme =+ donnant le gain total

cumulé à la fin des deux parties.

Correction

Dans le tableau ci-dessous, on présente toutes les sommes possibles :

Ainsi, on a :

=-4 =((=1)∩(=-5)) =1 ×(=-5) en effet, les variables et sont indépendantes. 1 2 1 6 1 12 =-3 =2

×(=-5)

1 2 1 6 1 12 =2 =1

×(=1)

1 2 1 2 1 4 =3 =1 =2 =2

×(=1)

1 2 1 3 1 2 1 2 1 6 1 4 5 12 =4 =2

×(=2)

1 2 1 3 1 6 On peut présenter la loi de probabilité de dans un tableau : -4 -3 2 3 4 1 12 1 12 1 4 5 12 1 6 3 Partie 2 : Espérance et variance de combinaisons linéaires de variables aléatoires

Propriétés :

+ avec ∈ℝ et ∈ℝ avec ∈ℝ et ∈ℝ

Si et sont deux variables aléatoires indépendantes : (+)=()+()

Méthode : Simplifier les calculs d'espérance et de variance à l'aide d'une variable aléatoire

de transition

Vidéo https://youtu.be/ljITvCBExVY

Une entreprise qui fabrique des roulements à bille fait une étude sur une gamme de billes

produites. Le diamètre théorique doit être égal à 1,3 cm mais cette mesure peut être

légèrement erronée.

L'expérience consiste à tirer au hasard une bille d'un lot de la production et à mesurer son

diamètre.

On considère la variable aléatoire qui, à une bille choisie au hasard, associe son diamètre.

La loi de probabilité de est résumée dans le tableau suivant : Calculer l'espérance et l'écart-type de la loi de probabilité de .

Correction

Pour simplifier les calculs, on définit la variable aléatoire =1000-1300.

La loi de probabilité de est alors :

Calculons l'espérance et la variance de la loi de probabilité de : =0,2× -2-0,1 +0,1× -1-0,1 +0,2× 0-0,1 +0,4× 1-0,1 +0,1× 2-0,1 =1,69 On en déduit l'espérance et la variance de la loi de probabilité de :

1000-1300

=1000 -1300

Donc :

= 1,3001

Donc :

1,298 1,299 1,3 1,301 1,302

0,2 0,1 0,2 0,4 0,1

-2 -1 0 1 2

0,2 0,1 0,2 0,4 0,1

4

Et donc :

= 0,0013 Conclusion : ()=1,3001 et =0,0013.

Partie 3 : Application à la loi binomiale

1) Échantillon d'une loi de probabilité

Exemple :

On étudie la fiabilité d'un composant électronique. On appelle la variable aléatoire égale à

1 si le composant électronique ne se détériore pas suite aux tests effectués et 0 dans le cas

contraire.

Le fabricant précise que le composant électronique ne subit pas de détériorations suite aux

tests dans 99,8 % des cas. Dans ce cas, la variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,998.

On effectue les tests sur un échantillon de 100 composants électroniques prélevés au hasard

dans le stock du fabricant.

On peut considérer alors que la liste

forment un échantillon de taille

100 de variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,998.

Définition : Un échantillon de taille d'une loi de probabilité est une liste de variables

aléatoires indépendantes suivant cette loi.

Propriétés : Soit

un échantillon de taille de variables aléatoires indépendantes suivant une même loi. On pose : = , alors on a :

1)

2)

Méthode : Calculer une espérance et une variance à l'aide d'une somme de variables aléatoires

Vidéo https://youtu.be/19nVXFHbmjU

Sur un axe gradué, on dépose une petite goûte de confiture à la fraise au point d'abscisse 10.

Pierrot invite Sophie la fourmi à se placer à l'origine de l'axe gradué.

Attirée par la confiture, Sophie se déplace de façon aléatoire d'une unité vers la droite (sens

positif) avec la probabilité de et d'une unité vers la gauche (sens négatif) avec la probabilité de On suppose que les déplacements de la fourmi sont indépendants les uns des autres.

Pour tout entier naturel , on note

la variable aléatoire valant 1 si la fourmi se déplace vers la droite au -ième déplacement et valant -1 si elle se déplace vers la gauche.

On note

la variable aléatoire somme des 5

1) Calculer

et

2) En déduire

et

3) Au bout de combien de déplacements, Sophie peut-elle espérer théoriquement atteindre

la goûte de confiture ? Calculer dans ce cas.

Correction

1) On établit la loi de probabilité de

=-1× 1 3 +1× 2 3 1 3 1 3 O-1- 1 3 P 2 3 O1- 1 3 P 8 9

2) On a :

Donc la variable aléatoire

donne l'abscisse de la fourmi après déplacements.

Et on a : (

3

Et : (

), car les variables sont indépendantes.

8

9

3) (

)=10 3 =10quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
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