[PDF] Correction Sujet principal e3a MP 2021 Les caractéristiques de Jupiter

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Correction Sujet principal e3a MP 2021

Mission prolongée pour la sonde Juno

Première partie

Les caractéristiques de Jupiter

I.1 Observer Jupiter depuis la Terre

1. La troisième loi de Keplerdans le cadre du système{Jupiter et ses satellites}:

Le rapport du carré de la période de révolution des satellites et du cube du demi grand axe de l"ellipse décrite

par le centre de ces satellites est égale à

4π2

?MJoùMJdésigne la masse de Jupiter soitT2a3=4π2?MJ.

En s"appuyant sur la troisième loi de Kepler, on effectue par exemple la régression linéaireT2=f(a3):

T

2=3,1·10-16

=α×a3avecR2=0,999

Les résultats issus de l"observation s"accordent bien avec une telle loi et alors4π2?MJ=αsoitMJ=4π2?α.

Application numérique :

MJ=1,9·1027kgen cohérence avec la valeur indiquée dans le sujet.

2.La masse volumique moyenne :?=MJ

4

3πR3

J=3MJ

4πR3

J.

Application numérique :

?=1,32·103kg·m-3. STJ dTdJ un angle maximal est la suivante : Alors dans l"approximation des petits anglesαmax≈2RJ dJ-dTsoit

Application numérique :

αmax≈2,2·10-4rad.

4.En appliquant la troisième loi de Kepler au{système solaire}:

T 2 J d3 j=T2 Td3 T=4π2?MsoùMsdésigne la masse du Soleil doncTJ=!dJdT! 3/2 T T. La valeur de la période sidérale de Jupiter :Application numérique :

TJ=4,33·103j.

La duréeΔtséparant deux oppositions de Jupiter vérifie : 2πΔt

Δt=3,99·102j

(Terre et Jupiter décrivant leurs orbites respectives dans le même sens).

5.L"oeil n"accommode pas lorsque l"objet examiné est situé au PR de l"oeil c"est-à-dire pour un oeil emmétrope

à l"infini.

la lunette astronomique pour une vision sans accommodation : A 1A? 1=F?

1=F2----→?

2A?∞

de l"oculaire?2c"est-à-dire que la distance entre l"objectif et l"oculaire est?=f? 1+f? 2

1Correction e3A - Sujet MP 2021

Dans ce cas, les foyers de la lunette sont rejetés à l"infini et le système est qualifié desystème afocal.

6.Lesconditions de Gauss :

•les rayons lumineux sont peu inclinés par rapport à l"axe optique; •les rayons lumineux sont peu écartés de l"axe optique. (L1)(L2)O 1O2F' 1=F2 F'2( ?)A8 B8 B'8 A'1 B' 1

7.Dans l"approximation des petits angles (non orientés) :

•tanα≂α=A?

1B? 1 f?1;

•tanα?≂α?=A?

1B? 1 f?2.

AlorsG=f?

1 f?2soitApplication numérique :G=10.

Dans une configuration d"opposition de Jupiter :αmax=2,2·10-4rad alors l"angle sous lequel est vue Jupiter

à travers la lunette estα?max=Gαmax

soitα?max=2,2·10-3rad.

Constatant queα?max≈5?oeilavec?oeil=4,4·10-4rad, Jupiter pourra être discernée correctement avec cette

lunette.

I.2 La trajectoire de la sonde Juno

I.2.1 S"échapper de la Terre

8.Le référentiel d"étude est le référentiel géocentrique supposé galiléen.

Le système étudié est{l"objet M de massem}soumis uniquement à la force d"interaction gravitationnelle

exercée par la Terre.

Ce système est conservatif.

Par définition de la vitesse de libération de M, l"état considéré est unétat de diffusionet la vitesse de M infi-

niment éloigné de la Terre est nulle. Donc dans cet état particulier, l"énergie mécanique de M est nulle.

Initialement, M est à la surface de la Terre.

Par conservation de l"énergie mécanique :1

2mv2 ?-?mMTRT=0 soitv?=?? 2?MT

RT=2gRT.

Application numérique :

v?=11,2 km·s-1.

I.2.2 Caractéristiques de la trajectoire

9.On peut approximer le mouvement du référentiel jupiterocentrique à unmouvement de translation rec-

tiligne uniformedans le référentiel héliocentrique sur la duréeTJunosi la période de révolution de la sonde

JunoTJunoestlargement inférieure à la période de révolution sidérale de Jupiter. Ceci est bien vérifié puisqueTJuno=53j?TJ=4,33·103j

L"affirmation précédente assure son caractèreapproximativementgaliléen au référentiel jupiterocentrique,

le référentiel héliocentrique étant lui-même considéré comme galiléen.

En effet :???

-→Fie??? ?----→Fg,J→Σ???≂dJa"

TJunoTJ"

2 ≂2·10-2?1aveca: demi-grand axe de l"ellipse décrite par le centre de Juno.

2Correction e3A - Sujet MP 2021

10.Le théorème du moment cinétique stipule que :#d----→LO,P/?dt#

=--------→M

O---→FO→P

et comme---→FO→Pest uneforce centrale de pôle O M

O---→FO→P

=-→0

Le moment cinétique

----→LO,P/?est alors conservé lors du mouvement de la sonde ce qui se traduit par :

En supposant les vecteurs vitesse-→v0àt=0 et position-→r0àt=0 non colinéaires, on en déduit que quelque

soit l"instanttconsidéré, les vecteurs position-→r(t)et vitesse--→vP/?(t)sont orthogonaux à----→LO,P/?=-→Cte?=-→0

garantissant que le mouvement estplan.

Il s"agit du plan?O,-→r0,-→v0

de normale----→LO,P/?. Ce plan doit contenir le centre du champ de force.

11.On se place alors en paramétrage cylindrique de base?-→ur,-→uθ,-→uztel que-→uzsoit colinéaire de même

sens à----→LO,P/?.

Alors :

-→r=r-→ur et--→vP/?="d-→rdt" r-→ur+rθ-→uθ.

12.On en déduit :

LO,P/?=((

r 0 0)) ??m(( r r 0)) 0 0 mr

2θ))

Et donc

-→Cdef.=----→LO,P/? m=r2θ-→uz.

Cest donc un vecteur constant au-cours du mouvement entraînant que la quantitéC=-→C·-→uz=r2θ

soit conservée au cours du mouvement de la sonde. r)apourexpression?m,P/?=?C,P/?+?P(P) soit?m=12mv2

P/?-?mMr

et commev2

P/?=(r)2+rθ2alors?m=1

2m(r)2+12mrθ2-?mMr.

Enfin l"expression deCpermet de découpler les grandeursretθselon :rθ=C r.

On en déduit alors que?m=1

2m(r)2+mC22r2-?mMr.

On définit l"énergie potentielle effective de P parUeff(r)=mC2

2r2-?mMr.

14.On a limr→0+Ueff(r)=+∞et limr→+∞Ueff(r)=0. Voici alors l"allure du graphe de la fonctionr?-→Ueff(r)en page

suivante.

•Dans le cas d"unetrajectoirecirculaire: une seule valeur derest possible et correspond au minimum

deUeff:r0. Il s"agit d"unétat lié.

•PourUeff, min :r? r min,rmax : l"état est liéet la trajectoire décrite par P est uneellipsedont l"un est foyers est O.

•PourUeff, min=0

:r? r

0,+∞

: il s"agit d"unétat de diffusionet la trajectoire décrite par P est une parabole.

•PourUeff, min>0

:r? r

1,+∞

: il s"agit d"unétat de diffusionet la trajectoire décrite par P est une branche d"hyperbole.

3Correction e3A - Sujet MP 2021

r

Ueff(r)

•r0

U0

•?m•rmin•rmax

FIGURE1 - Tracé de la courbe d"énergie potentielleUeff par la sonde est estimée àa="?MJT2

4π2"

1/3avecTla période de la sonde :T=53 j.

Application numérique :

a=4,1·109m.

On rappelle l"expression de l"énergie mécanique de la sonde en fonction du demi grand axe de l"ellipsea:

m=-?mMJ

2aet doncrmin+rmax=2a.

À l"apogée A(r=rmax)et au périgée P(r=rmin)commer=0, l"énergie mécanique prend la forme :

m=mC2

2r2-?mMJrdonc(rmin,rmax)solution de 2?mr2+2?mMJ-mC2=0

En utilisant une relation coefficients-racines d"un polynôme,on obtient :rminrmax=-mC2 2?m.

I.3 La structure interne de Jupiter

I.3.1 Électrostatique et gravitation universelle

16.La force d"interaction gravitationnelle exercée par une distribution de masseΣsur un point matériel P de

17.On donne :

•Équation de Maxwell-Gauss : div-→E=?

?0; •Équation de Maxwell-Faraday en régime stationnaire :-→rot-→E=-→0 .

Les masses sont desgrandeurs positivesdonc la force d"interaction gravitationnelle esttoujours attractive

contrairement aux charges électriques pouvant être de même signe ou de signes contraires entraînant que la

force d"interaction électrique peut êtrerépulsiveouattractive.

18.L"équation-→rot-→G=-→0 assure que-→Gdérive d"un potentiel gravitationnelΦ.

Dans ce cas de figure :

-→G=---→gradΦ

Sachant queΔΦ=div --→gradΦ

4Correction e3A - Sujet MP 2021

19. Énoncé du théorème de Gauss :

Le flux du champ électrique à travers une surface fermée et orientée(ΣG) est égale au rapport de la charge

électrique intérieure à cette surface et de la permittivité du vide?0soit?

M?ΣG---→

E(M)·--→dSM=Qint

?0.

Sachant que l"analogue de

1 ?0est-4π?et l"analogue de la charge électrique est la masse, le théorème de

Gauss pour la gravitation stipule

M?ΣG---→

G(M)·--→dSM=-4π?Mint

I.3.2 Distribution sphérique de masse non homogène

20.Ladistributiondesmassesétantinvariantepartouterotationd"axepassantparO,-→Gne dépend que der

Tout plan contenant la droite(M)estplan de symétriede la distribution des masses donc-→Gest radial

En conclusion :

---→G(M)=-G(r)-→ur oùG(r)>0.

21.La masseδmd"une coquille sphérique de rayon compris entreretr+drétant :δm=?(r)×4πr2dr

alorsM(r)=? r 0

4π?(r?)r?2dr?

sous réserve d"une distribution de masse àrépartitionsphériquede masse.

22.La surface de Gauss étant une sphère de centre O et de rayonr>R:Mint=MJ=?

RJ 0

4π?(r)r2dr: masse

de Jupiter.

On en déduit l"expression du champ gravitationnel à l"extérieur de la planète :G(r)4πr2=4π?Mintdonc

G(r)=?MJ

r2.

Le graphe der?-→G(r)pourr?RJ:

r G(r)

•RJ

•?MJR2J•

FIGURE2 - Tracé du grapher?-→G(r)pourr?RJ

Sachant que

drdonc pourr?RJ:Φ(r)=-?MJravec limr→+∞Φ(r)=0.

23.Chaque particule de fluide possédant dans le référentiel jupiterocentrique un mouvement circulaire uni-

forme de rayonr?=rsinθalors l"accélération du centre d"inertie de cette particule de fluide estcentripète

et a pour expression aP/?=-ω2sidrsinθ-→ur? où-→ur?est le vecteur radial des coordonnées cylindriques d"axe (O,-→uz).

24.Le référentiel lié à Jupiter n"est pas galiléen car en mouvementde rotation d"axe(O,-→uz)par rapport au

référentiel jupiterocentrique galiléen.

5Correction e3A - Sujet MP 2021

soit

Cette force étantaxifugeet de norme d"autant plus importante que la particule de fluide est éloignée de l"axe

teur et cet effet sera nul pour les particules de fluides située aux pôles.

En adoptant un modèle élastique de la planète Jupiter, cette force est responsable d"un écrasement de la pla-

25.Si Jupiter était assimilable en l"absence de rotation propre à une boule pleine, homogène, de masse volu-

mique uniforme, alorsI=8π

15×34πM

JR3

J×R5

J=25MJR2

Jet doncK=25.

26.La connaissance deKpermettra d"obtenir une première indication sur la répartition des masses à l"inté-

rieur de Jupiter. Par exemple, siK<2

5, la matière est davantage concentrée au centre de la planète.

27.On poseg(x)=x2exp"

-mx2 2kBT" alorsg?(x)=0?2x-mx3kBT=0 doncx=?? 2kBT m. La vitesse la plus probable d"agitation thermique est doncvc=?? 2kBT m.

28.La vitesse de libération à la surface de Jupiter est estimée selonv?,J=??

2?MJ RJ.

Application numérique :

: Estimation des vitesses les plus probables : •On prendra pour la température à la surface de la Terre :TT,surf=293 K; •On prendra pour la température à la surface de Jupiter :TJ,surf=170 K (cf.figure 6). vc(en m·s-1)v?(en m·s-1)

TerreHydrogène :vc,H=2,2·103v?,T=1,1·104

Hélium :vc,He=1,1·103

Jupiter

Hydrogène :vc,H=1,7·103v?,J=6,0·104

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