[PDF] PSI 2016 Sinon décomposer les entiers

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Annales des Concours

PSI

Mathématiques·Informatique

2016

Sous la coordination de

GuillaumeBatog

Professeur en CPGE

Ancien élève de l"École Normale Supérieure (Cachan)

JulienDumont

Professeur en CPGE

Ancien élève de l"École Normale Supérieure (Cachan)

VincentPuyhaubert

Professeur en CPGE

Ancien élève de l"École Normale Supérieure (Cachan) Par

VirgileAndreani

ENS Ulm

GuillaumeBatog

Professeur en CPGE

CélineChevalier

Enseignant-chercheur à l"université

SelimCornet

ENS Cachan

LoïcDevilliers

ENS Cachan

Jean-JulienFleck

Professeur en CPGE

MatthiasMoreno Ray

ENS Lyon

CyrilRavat

Professeur en CPGE

AntoineSihrener

Professeur en CPGE

NicolasWeiss

Professeur agrégé

Sommaire

Énoncé

Corrigé

e3a Mathématiques 1 Cinq exercices indépendants. séries numériques, éléments propres, endomorphismes, loi d"une variable aléatoire17 24 Mathématiques 2 Étude d"une fonction définie par une intégrale. nombres complexes, polynômes, intégrales à paramètre, développement en série entière44 48

Concours Communs

Polytechniques

Mathématiques Puissances d"une matrice stochastique. réduction, diagonalisation, probabilités, suites numériques69 76

Informatique La mission Cassini-Huygens.

stockage de données, boucles, recherche de maximum, méthode d"Euler94 106 6

Centrale-Supélec

Mathématiques 1 Matrices à coefficients dans{0,1}. algèbre linéaire, topologie, probabilités117 120 Mathématiques 2 Transformations de Fourier et de Laplace. intégrales à paramètre, probabilités141 145 Informatique Prévention des collisions aériennes. programmation, complexité, bases de données167 174

Mines-Ponts

Mathématiques 1 Marche aléatoire: retour à 0. développement en série entière, intégrales généralisées, probabilités, variables aléatoires187 193

Mathématiques 2 Matrices quasi-nilpotentes.

matrices symétriques, éléments propres, dimension, sommes directes208 214

Informatique Modélisation de la propagation

d"une épidémie. algorithmique, bases de données226 236

Formulaires

Développements limités usuels en 0246

Développements en série entière usuels 247

Dérivées usuelles248

Primitives usuelles249

Trigonométrie252

Sommaire thématique de mathématiques

2015-2016

X/ENS PC Maths

X MP Maths B

X/ENS MP Maths A

Mines PSI Maths 2

Mines PSI Maths 1

Mines PC Maths 2

Mines PC Maths 1

Mines MP Maths 2

Mines MP Maths 1

Centrale PSI Maths 2

Centrale PSI Maths 1

Centrale PC Maths 2

Centrale PC Maths 1

Centrale MP Maths 2

Centrale MP Maths 1

CCP PSI Maths

CCP PC Maths

CCP MP Maths 2

CCP MP Maths 1

e3a PSI Maths B e3a PSI Maths A

Structures algébriques et arithmétique

Polynômes

Algèbre linéaire générale

Réduction des endomorphismes

Produit scalaire et espaces euclidiens

Topologie des espaces vectoriels normés

Suites et séries numériques

Suites et séries de fonctions

Séries entières

Analyse réelle

Intégration

Équations différentielles

Fonctions de plusieurs variables

Dénombrement et probabilités

e3a Maths 1 PSI 2016 - Énoncé17

Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe quelconque pouvant indiquer sa provenance.

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 1 PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé,

d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la

précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

18e3a Maths 1 PSI 2016 - Énoncé

Exercice 1.

Soit(a

n)n?N?une suite de réels.

Pour toutn?N

?, on pose : b n=n(an-an+1), An= n? k=1 aketBn= n? k=1 bk

1.On prenddanscettequestion, pour toutn?1,an=12n-1.

1.1Vérifier que la série?

n?1 anconverge et calculer sa somme.

1.2Déterminer le rayon de convergence de la série entière?

n?1 nxn-1

1.3Montrer que la série?

n?1 bnconverge et calculer sa somme.

2. On prend

danscettequestion,an=1nln(n),n?2eta1= 0.

2.1Etudier la monotonie et la convergence de la suite(a

n)n?2.

2.2Quelle est la nature de la série?

n?1 an?

2.3Calculerlim

n→+∞nan.

2.4Quelle est la nature de la série?

n?1 bn?

3. On suppose

danscettequestion que la série? n?1 anconverge et que la suite(an)n?N?est une suite décroissante de réels positifs.

3.1Pour tout entier naturelnnon nul, on noteu

n= 2n? p=n+1 ap. Montrer que :?n?N?,na2n?un.

3.2En déduirelim

n→+∞na2n.

3.3Démontrer alors quelim

n→+∞nan= 0.

3.4Montrer que la série?

n?1 bnconverge.

3.5A-t-on

n=1 an= n=1 bn?

4. On suppose

danscettequestion que la série? n?1 bnconverge et que la suite(an)n?N?est positive, décroissante et de limite nulle.

4.1Vérifier que :?m?N

?,m?n,Bn?Am-man+1.

4.2En déduire que la série?

n?1 anconverge. e3a Maths 1 PSI 2016 - Énoncé19

4.3Peut-on en déduire que+∞?

n=1a n=+∞? n=1b n?

Exercice 2.

Pour tout entier natureln, on noteen:x?R+?-→xne-x. SoientN?N?etEle sous-espace vectoriel deC1(R+,R)défini par :E=Vect(e0,e1,...,eN).

1.Montrer queB= (e0,e1,...,eN)est une base deE. En déduire la dimension deE.

2.Pour tout élémentgdeE, on noteΔ(g) =g?.

2.1Démontrer queΔ?L(E)

2.2Ecrire la matriceAdeΔdans la baseB.Δest-il un automorphisme deE?

2.3Déterminer les éléments propres deΔ. L"endomorphismeΔest-il diagonalisable?

3.Soientk??0,N?etx?0.

Montrer que la série de terme généralwn=ek(x+n)est convergente. 4.

4.1Pour tout entier naturelk, on considère une suite(un,k)n?Ntelle que la série?

n?0u n,kconverge . Citer le théorème du cours qui justifie que l"on a pour toutN?N:+∞? n=0? N? k=0u n,k? =N? k=0? n=0u n,k?

4.2Soitf?E.

Démontrer que la série de terme généralun=f(n+x)est convergente pour toutx?0.

On note alorsF(x) =+∞?

n=0f(n+x).

4.3Justifier que la série de terme généralnje-npour toutjfixé deNest convergente.

On note alorsAj=+∞?

n=0n je-n.

4.4ExprimerF(x)en fonction desAjpour toutx?0.

4.5En déduire queF?Eet que l"applicationΦ :f?-→Fainsi définie est un endomorphisme deE.

5.Ecrire la matrice deΦdans la baseBen fonction desAj.

L"endomorphismeΦest-il diagonalisable?

24e3a Maths 1 PSI 2016 - Corrigé

e3a Maths 1 PSI 2016 - Corrigé Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (Professeur en CPGE); il a été relu par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l"université) et Benjamin Monmege (Enseignant-chercheur à l"université). Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants. •Le premier exercice compare la nature d"une série?an, où(an)n?N?est une suite décroissante de réels positifs, à celle de la série?n(an-an+1). Après l"étude de deux exemples, on démontre que les deux séries sont de même nature, et de même somme en cas de convergence. C"est l"occasion de mettre en pratique un grand nombre de techniques sur les séries numériques. •Le deuxième exercice étudie deux endomorphismes sur le sous-espacevectorielE deC1(R+,R)engendré par les fonctionsx?-→xne-xpour0?n?N: l"opérateur de dérivation et l"opérateurΦdéfini par ?f?E?x?0 Φ(f)(x) =+ n=0f(x+n) On justifie qu"il s"agit bien d"endomorphismes deEet on étudie leur diagona- lisabilité après avoir écrit leurs matrices dans une base. Aucune connaissance sur les séries de fonctions n"est utile pour l"étude deΦ, on se contente d"outils simples sur les séries numériques. •Le troisième exercice porte sur le langage Python. D"abord,on doit décrire des programmes donnés dans l"énoncé portant sur les nombres premiers. Ensuite, trois questions amènent à la rédaction d"un programme courtqui calcule une liste de couples de nombres premiers jumeaux, c"est-à-direde la forme(p,p+2) avecpetp+2premiers. Enfin, on détermine les valeurs prises par une fonction

Python définie (doublement) récursivement.

•Le quatrième exercice commence par des questions de cours sur les images, noyaux et éléments propres d"un endomorphisme. La suite estindépendante et porte (sans le dire) sur la construction des projecteurs spectraux d"une ma- triceM?Mn(R), possédantnvaleurs propres distinctes, à partir des vecteurs propres deMet detM. L"étude est entièrement matricielle, avec une légère excursion dans la structure euclidienne canonique deRn. •Le cinquième exercice s"intéresse à l"imageY = Φ(X)d"une variable aléatoire réelleXpar la fonction intégraleΦdéfinie par ?x?RΦ(x) =? 1 0 max(x,t) dt Après avoir étudié la fonctionΦ, on traite les cas particuliers d"une variableX suivant une loi géométrique, une loi binomiale et une loi artificielle de support constitué de quatre valeurs. Les outils de probabilités sont de niveau 1reS (tableau d"une loi, calcul d"espérance) et les techniques de calcul de niveauquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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