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14 mai 2005 Montrer que l'ensemble des sous-ensembles finis de N est dénombrable. Solution de l'exercice 9. Polynômes `a coefficients entiers. A chaque ...
Annexe A - Ensembles dénombrables
dénombrable. On remarque qu'on a montré dans la démonstration qu'un ensemble infini dénombrable est en fait en bijection avec N. Comme conséquence immédiate
ensembles-au-plus-denombrables.pdf
est une bijection de 2 sur ). On montre que. ? Le produit cartésien d'une suite finie d'ensembles dénombrables est dénombrable. Conséquence :.
Dénombrabilité
On dit qu'un ensemble E est dénombrable s'il est en bijection avec une partie Il suffit de démontrer que toute partie infinie E ? N est en bijection.
Chapitre 4 : Ensembles finis et infinis 1 Ensembles finis
On dit qu'un ensemble E a n éléments ou est de cardinal n
Dénombrabilité mot et langage - Intelligence Artificielle et Systèmes
Savoir définir une bijection entre deux ensembles dénombrables. Savoir montrer qu'un ensemble est non dénombrable. Connaitre le cardinal de l'ensemble des
1 Tribus
On rappelle qu'une tribu sur R est un ensemble de parties de R contenant famille dénombrable d'éléments de C ; on veut montrer que ?i?I Ai ? C.
12.2 Exercices du chapitre 2 - 12.2.1 Tribus
Corrigé 10 (Tribu engendrée). Soit E un ensemble. 1. Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E.
TD 1 : correction
Déjà l'ensemble I est dénombrable : par définition d'une partition
Ensembles dBnombrables
DBfinition 2 Un ensemble est au plus dénombrable s@il est fini ou dénom brable. Il est simple aussi de démontrer que *$ % est dénombrable puisque.
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On dit d'un ensemble qu'il est dénombrable s'il est en bijection avec une partie de N En particulier un ensemble fini est considéré comme dénombrable
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10 sept 2021 · On dit d'un ensemble qu'il est dénombrable s'il est en bijection avec une partie de N En particulier un ensemble fini est considéré comme
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14 mai 2005 · Exercice 6 Montrer que N × N est dénombrable En déduire que le produit d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable
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Un ensemble est défini par les éléments qu'il contient et qui lui appartiennent Les ensembles infinis dénombrables en bijection avec IN de cardinal
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Ici nous utilisons la définition des ensembles dénombrables de Cantor Nous considérons qu'un ensemble dénombrable est doncinfini
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existe une bijection de E dans F • On dit qu'un ensemble E est dénombrable lorsqu'il est équipotent à N Exemples : - N est dénombrable
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puissance du continu si et seulement si il est équipotent à \ Résultats préliminaires Soit A B et C trois ensembles Démontrer que :
Exercices corrigés -Ensembles dénombrables ensembles équipotents
Les ensembles suivants sont-ils dénombrables? Démontrer que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable Indication
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On dit qu'un ensemble X est dénombrable s'il est fini ou s'il est en bijection avec N Exercice : Montrer que pour tout N ? 1 NN est dénombrable
Comment démontrer qu'un ensemble est dénombrable ?
On dit qu'un ensemble X est dénombrable s'il est fini ou s'il est en bijection avec N. Exemple : N ? {0}, 2N, Z sont dénombrables. (1) ?0(n) = n + 1 réalise une bijection de N sur N ? {0}.Pourquoi Q est dénombrable ?
Par l'application en question, un élément de N a un nombre fini d'antécédents, c'est tout. Les autres repéresentants de chacun des rationnels antécédents n'interviennent pas. A vrai dire, ils ont d'autant moins d'importance qu'ils constituent eux-mêmes un ensemble dénombrable.Pourquoi l'ensemble R n'est pas dénombrable ?
Pour démontrer que ? est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0, 1[ de ?, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0, 1[, un élément de [0, 1[ n'appartenant pas à D. Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l'aide d'une suite r = (r1, r2, r3, … ).- Plus formellement, un ensemble E est dit fini s'il existe un entier naturel n et une bijection entre E et l'ensemble des entiers naturels strictement plus petits que n. Cet entier n, qui est alors unique, est appelé le nombre d'éléments, ou cardinal, de l'ensemble fini E.
Annexe A
Ensembles dénombrables
A.1 Cardinal
Lorsque l'on veut dénombrer les éléments d'un ensemble fi ni (par exemple, si on veut savoir combien de pommes contient un panier, ou combien de rayures a Arthur le glomorphe à rayures), on établit une bijection entre un ensemble d'entiers et l'ensemble en question. Onattribue le nombre 1 à une pomme, le nombre 2 à une autre, le nombre 3 à une troisième, et
ainsi de suite, jusqu'à fi nalement attribuer un entier nà la dernière pomme. On a alors dé
fi ni une bijection entre l'ensemble des pommes du panier et l'ensemble 1 ,n . Cette bijection n'est pas unique s'il y a au moins deux pommes, mais l'entier n que l'on obtient est toujours le même. On dit alors qu'il y a n pommes dans le panier. Lorsque l'on est plus jeune, et que l'on doit encore compter sur ses doigts, on établit en fait une bijection entre l'ensemble des pommes et un ensemble de doigts. Dans tous les cas, on a compté en établissant une bijection entre l'ensemble étudié et un ensemble de référence bien compris. Imaginons maintenant que ces pommes soient destinées au goûter d'un groupe d'enfants. Si on peut donner exactement une pomme à chaque enfant (chacun reçoit exactement une pomme, et aucune pomme ne reste à la fi n), alors même si on ne sais pas combien on avait de pommes et combien il y a d'enfants, on peut dire qu'il y avait exactement autant de pommes qu'il n'y a d'enfants. Ces notions sont intuitivement claires tant qu'on ne manipule que des ensembles fi nis. Comparer le nombre d'éléments pour des ensembles in fi nis peut par contre amener quelques surprises... Dé fi nition A.1.On dit que deux ensembles
E et F qu'ils ont même cardinal s'il existe une bijection de E dans F . Dans ce cas on écrira Card E Card FThéorème A.2
(Théorème de Cantor-Bernstein)Soient
E et F deux ensembles. S'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E , alors il existe une bijection de E dans FDémonstration.
Soit f une injection de E dans F et g une injection de F dans E . On note F g F E.On peut alors voir
g comme une bijection de F dans˜F. On maintenant E
0 E \˜F puis, par récurrence sur n N E n +1 g f E n Pour x E on note h x g f x si x n N E n x sinon.Cela dé
fi nit une bijection de E dans˜F. g
1 h est alors une bijection de E dans F 1 L2 Parcours Spécial - S3 - Mesures et IntégrationA.2 Ensembles
fi nis - Ensembles in fi nisLemme A.3.
Soit n,p N 2 . S'il existe une injection de 1 ,n dans 1 ,p alors n pDémonstration.
On montre le résultat par récurrence sur
p N . Si p = 0 alors n = 0 , car il n'existe pas d'application d'un ensemble non vide dans l'ensemble vide. On suppose le résultat acquis jusqu'au rang p 1 p N ) et on suppose qu'il existe une injection de 1 ,n dans 1 ,p . Si n = 0 alors on a bien n p . On suppose maintenant que n 1 . On considère la perminutation de 1 ,p qui échange n et p , et laisse invariants les autreséléments. Alors
est une injection de 1 ,n dans 1 ,p qui envoie n sur p . Par restriction, elle induit une injection de 1 ,n 1 dans 1 ,p 1 . Par hypothèse de récurrence on a alors n 1 p 1 , et donc n p . D'où le résultat.Corollaire A.4.
Soit n,p N 2 tel que 1 ,n est en bijection avec 1 ,p . Alors n p Dé fi nition A.5. Soit E un ensemble. (i) Soit n N . On dit que E est de cardinal n (ou qu'il a néléments) si
E est en bijection avec 1 ,n . Un tel n est nécessairement unique. (ii) On dit que E est fi ni s'il est de cardinal n pour un certain n N . On dit que E est in fi ni s'il n'est pas fi ni. Il est intuitivement clair qu'une partie d'un ensemble fi ni est elle-même fi nie, de cardinal plus petit. Si l'on se réfère à la dé fi nition précédente, ce n'est plus complètement évident.Proposition A.6.
Soient
E un ensemble fi ni et A une partie de E . Alors A est un ensemble fi ni et Card A Card EDémonstration.
On montre par récurrence sur
n N que le résultat est vrai pour E 1 ,n . Pour n = 0 , la seule partie de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même, donc le résultat est immédiat. On suppose le résultat vrai pour E 1 ,n 1 n N ). Soit alors A une partie de 1 ,n et B A n B est alors une partie de 1 ,n 1 . Par hypothèse de récurrence, B est fi ni et Card B n 1 . Si n / A , alors A B et le résultat est vrai. Sinon, on note p le cardinal de B et on considère une bijection de B dans 1 ,p . On dé fi nit alors une bijection de A dans 1 ,p + 1 en posant x x si x B, p + 1 si x n.On obtient que
A est fi ni de cardinal p + 1 , qui est bien inférieur ou égal à n On considère maintenant le cas général. On note n Card E et on considère une bijection de E dans 1 ,n . Si A est une partie de Equotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] p(n) non dénombrable
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