Cours - Injections surjections
http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Cours%20-%20Injections
IV. Applications linéaires
Soit E l'ensemble des fonctions de R dans R et x0 ? R. On définit ?x0 :E ? R par Si E est de dimension finie une application linéaire est définie de ...
Chapitre 4 Applications
Montrer que f est bien définie qu'elle est bijective et déterminer sa fonction réciproque f?1. Exercice n?7. Soit f l'application f :C ?? C. z ?? ?
1 Applications linéaires Morphismes
https://www.math.univ-toulouse.fr/~hallouin/Documents/Cours_ApplicationsLineaires.pdf
Fonctions et Applications
f : E ? F est une application bijective si tout y ? F admet exactement un antécédent. Autrement dit : f est une application injective et surjective. E. ×. ×.
Injection surjection
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf
Rappels sur les applications linéaires
la multiplication par un scalaire élément de K
1 Généralités
Toute fonction est mesurable : pour toute fonction f on a f?1(F) = E et f?1(?) = ?. • Seules les fonctions constantes sont mesurables. Si f prend au
Table des matières
Comment montrer qu'une application f est injective surjective
Fonctions holomorphes
équivalente la fonction f est C-dérivable en z0 avec f (z0) = ? si et seulement si `a la bande ouverte est une application holomorphe bijective
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La fonction f : I ? f(I) est bijective On en déduit que tout élément y ? f(I) admet un unique antécédent x dans l'intervalle I Remarque
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%2520surjections
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20 août 2017 · Si l'on peut trouver une application réciproque f?1 à l'application f alors f est bijective Remarque : • L'idée d'une application réciproque
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Definition Une fonction f : E ? F est injective si tout élément y de F a au plus un antécédent (et éventuellement aucun) Les fonctions f représentées ci-
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Comment vérifier si F : A ? B est (i) injective (ii) surjective (iii) bijective ? Dans ce cas c'est facile ! MAT1500 8 of 31 Page 9
[PDF] Chapitre 4 Applications
Montrer que f est bien définie qu'elle est bijective et déterminer sa fonction réciproque f?1 Exercice n?7 Soit f l'application f :C ?? C z ?? ?
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Si f est continue et strictement monotone f(I) est un intervalle et )I(f I:f ? est une fonction bijective Conséquence : supposons f strictement croissante
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Fonctions injectives surjectives et bijectives Injection Définition Une fonction g est dite injective si et seulement si tout réel de l'image correspond
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Si f est une fonction injective de E dans F alors f est une bijection de E dans f(E) Si f est strictement monotone sur un intervalle I de R alors f est une
Comment savoir si la fonction est bijective ?
En mathématiques, une bijection est une application bijective. Une application est bijective si tout élément de son ensemble d'arrivée a un et un seul antécédent, c'est-à-dire est image d'exactement un élément (de son domaine de définition), ou encore si elle est à la fois injective et surjective.- si y = 0 et h(0) = 0. Donc g est une bijection. avec f(?1) = ?1 et f(1) = 1. Donc la restriction de f, appelée g : [?1,1] ?? [?1,1], est une bijection.
Chapitre4
Applications
1.Denitionsetexemples
l'ensembled'arriveeouensemblebutdef.Onnotef:E!Fouf:E!F
x7!f(x).L'ensembleG=f(x;y)2EFjy=f(x)gest appelelegraphedef. 1et2. 321 4 3 2 1
Diagrammesagittal
32143 2 1
Diagrammecartesien
L'applicationLogarithme:ln:R+!R
x7!ln(x)L'application:R3!R3
(x;y;z)7!(2x+3y;xy+z;y+5z) p1:RR!R
(x;y)7!xL'application\identite":IdE:E!E
x7!x complexes". \L'applicationdeRdansRdenieparf(x)=1=x". \L'applicationfdeniesurZparf(x)=x2"Compositiondesapplications
f:Df!F etonetudiel'applicationf:R!R x7!1=x. deEdansF.2.Egalite-Restriction-Prolongement
E=E0;F=F0et8x2E;f(x)=f1(x):
Exemples-Soientf:R!R
x7!cos(x)etf1:R!R x7!2cos2(x=2)1Alors,onaf=f1.Sionconsideref:R!R
x7!x2,g:R!R+ x7!x2eth:R+!R x7!x2,onobtient troisapplicationsdeuxadeuxdistinctes. f1=fjE1:
cestroisapplications). l'applicationg:E!F1 etg,sionprendF1=R+: {48{APPLICATIONS
3.Compositiondesapplications
applicationdeEdansGnoteegfenposant8x2E;gf(x)=g(f(x)):
Onl'appelleapplicationcomposeedegetf.
sionaf:R!R x7!x2etg:R!R x7!2x,onobtientgf:R!R x7!2x2et fg:R!ROna(gf)h=g(fh)(lorsquecelaaunsens).
f1:E!F1
delangage. gf.A-t-onfg=gf? 2Calculeretcomparerfgetgf.
4.Familles
n7!unplut^otque u:N!E i7!uietonparlealors naturelle,ondenit: al'undesensemblesAiaumoins: i2IA i=fx2Xj9i2I;x2Aig nentatouslesensemblesAi: i2IA i=fx2Xj8i2I;x2Aig {49{Familles
X=[ i2IA i8i;j2I;(i6=j=)Ai\Aj=;)
8i2I;Ai6=;
de[0;+1[: n2NAn.Quepeut-ondiredelafamille(An)n2N?
2 )CalculerS x2]0;1=2[]x1;x+1[etT x2]0;1=2[]x1;x+1[.5.Bijection-Injection-Surjection
8y2F;9x2E;y=f(x)
8(x;x0)2E2;(f(x)=f(x0)=)x=x0):
surjective. x festinjective. qu'uneapplicationestinjective. soitenaun.Exemples-L'applicationl:(R!R
etunseulreelxtelquey=x3. {50{APPLICATIONS
L'applicationu:(R!R+
injectivecaru(1)=u(1)et16=1:L'applicationv:(R!R
dessous: 321 4 3 2 1 f32 1 3 4 2 1 g 32
1 1 3 2 h 3 2 1 4 3 2 1 k
8y2F;9!x2E;y=f(x)
Remarques-Soitf:E!Funeapplication.
distinctsxetx0deEtelsquef(x)=f(x0). deFquin'aaucunantecedent. y=f(x)n'aaucunesolutiondans[0;1]. {51{Etudedesbijections
Exercice-1)L'applicationf:R!R+
26.Etudedesbijections
Consideronslabijectionl:R!R
x7!x3.L'applicationreciproquedelest l 1:R!R x7!3p x.Exercice-1)Montrerquel'applicationh:R!R
x7!2x1estbijectiveetdeterminerh1. 2 telleque8x2E;f(x)=g(x).Determinerg1.1)f1estbijectiveet(f1)1=f,
2)f1f=IdEetff1=IdF
Demonstration:
{52{APPLICATIONS
pardenitiondef1.D'ouf1f=IdE.Onfaitdem^emepourmontrerqueff1=IdF.
eneetlapropositionsuivante: f=g1. precedente. i=02 isi l'applicationN:E!N attribuesetN0l'applicationN0:E!M e7!N(e),alorsN0estbijective. {53{Imagedirecteoureciproque
7.Imagedirecteoureciproque
Onxetoujoursuneapplicationf:E!F.
x2f1(B)()f(x)2B f(A).OnadoncpourtoutelementydeF: y2f(A)()9x2A;y=f(x):L'ensemblef(E)estaussiappelel'imagedef.
5 3 2 1 4 4 3 2 1Onaf1(f2g)=;,
f1(f1g)=f1(f1;2;4g)=f1;2g,
f(f1;4g)=f1;5getl'imagedefest f(f1;2;3;4g)=f1;3;5g: 2 )Soitg:R!R 3 reciproquedeRetcelledef1g. pastresheureuse. 4 f 4 mettretouteslesaccoladesnecessaires. {54{APPLICATIONS
[x]?8.Complements
1)festinjective.
2)L'imagedefestl'ensemble[f(a);f(b)].
[a;b]![f(a);f(b)] x7!f(x)etcetteapplicationgestbijective. quelconque. 4Fabriquezuncontre-exemple.
1)festbijective
2)festinjective
3)festsurjective
4 1) f1;2g!f1;4;6g x7!x2 2) R!R+ x7!x2 3) N!N n7!n+1EnncetheoremequevousetudierezenMA3:
1)festbijective
2)festinjective
3)festsurjective
{55{Exercicesd'application
EXERCICESD'APPLICATION
Exercicen1
xettoutydeE,onaith(x+y)=h(x)+h(y).Exercicen2
f(x)=(1=2xsix2[0;1=2[0sinong(x)=(0six2[0;1=2[
x1=2sinonExercicen3
tellequefh=IdF?Exercicen4
n2NA netmontrerquela famille(An)n2NformeunepartitiondeE.Exercicen5
injective,surjective?Exercicen6
Exercicen7
Soitfl'applicationf:C!C:
z7!1+z21)Montrerquefestsurjective.
2)L'applicationfest-elleinjective?
Exercicen8
1-a)Montrerquefn'estpasinjective.
ZZ.L'applicationhest-ellesurjective?
b)LarestrictiondehaNNest-elleinjective? {56{APPLICATIONS
Exercicen9
festbijective.Exercicen10
INDICATIONSETSOLUTIONSSOMMAIRES
Exercicen1
Exercicen2
Lesdeuxapplicationssontdistinctes.
Exercicen3
Exercicen4
E=]0;1[.
Exercicen5
Exercicen6
Exercicen7
siu=1.1)Doncfestsurjective,
2)etfn'estpasinjective
3)f(R)=fu2Rju>1g.
Exercicen8
1-a)f(0)=f(1)=0et06=1.
entiers. {57{Exercicesd'application
3)non:h(1;4)=h(3;3)=12et(1;4)6=(3;3).
Exercicen9
Exercicen10
1)Appliquerlesdenitions.
{58{quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] bijection réciproque exercices corrigés
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