1 Bijection et fonctions réciproques PDF

Bijections et fonctions réciproques usuelles

Donner un exemple où g ? f est bijective mais f n'est pas surjective et g n'est pas injective. Exercice 2 : [corrigé]. Étudier l'injectivité

Injection surjection

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf

Corrigé du TD no 11

(pour un calcul plus détaillé d'une bijection réciproque voir l'exercice suivant). Exercice 11. 1. Soit la fonction f : [?1

Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 10 Le missionnaire et les cannibales Définir une bijection entre Cone(S1) et l'ensemble ... Exercice 173 Images directes et réciproques.

Série dexercices no Les fonctions Exercice 1 : images et

R une fonction bijective et impaire sur le domaine E. Alors sa bijection réciproque f 1 est impaire sur f(E). 7. Soient f et g deux bijections d'un ensemble E

1 Bijection et fonctions réciproques

2. La somme de deux bijections est-elle une bijection? Exercice 9 (Fonction impaire et bijective) Soit f : I ? J une fonction impaire

livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques

activement par vous-même des exercices sans regarder les solutions ! d'une fonction bijective ainsi que le graphe de sa bijection réciproque.

Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit : ? définie

que soit injective et surjective. Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : ... Déterminer l'application réciproque de la bijection. :?2 ? ?2.

MÉTHODES ET EXERCICES

Corrigés des exercices Théorème de la bijection pour les fonctions numériques ... on démontre l'inclusion E ? F et l'inclusion réciproque F ? E.

Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1

On dit qu'une application f est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Si f est bijective il existe une application réciproque de f

Fonction réciproque exercices corrigés - etude-generalecom

20 sept 2021 · Montrer que ƒ est une bijection de Dƒ sur intervalle J qu'on déterminera Déterminer ƒ?1(x) pour tout x ? J Exercice 3 (Fonction réciproque

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Exercices : Notion de bijection De nouvelles fonctions usuelles 1 Bijection et fonctions réciproques Exercice 1 On note f la fonction sinus

[PDF] Corrigé du TD no 11

On calcule que : f?1(y) = ?1 y ? 1 (pour un calcul plus détaillé d'une bijection réciproque voir l'exercice suivant) Exercice 11 1 Soit

Les Fonctions réciproques ( Cours Et Exercices corrigés)

31 jan 2020 · Voulez vous un cours précis avec des exercices corrigés de : Fonctions réciproques ce cours est destiné pour les étudiants : ES et S BAC

[PDF] Injection surjection bijection - Exo7 - Exercices de mathématiques

Injection surjection bijection Exercice 1 Soient f : R ? R et g : R ? R telles que f(x) = 3x+1 et g(x) = x2 ?1 A-t-on f ?g = g? f ? Indication ?

[PDF] Feuille 1 Fonctions réciproques & Dérivabilité Quelques Rappels

Exercice 1 Soit f une application continue d'un intervalle I de R dans R I alors f : I ? f(I) est une bijection et sa réciproque est dérivable

Continuité et fonction réciproque : exercice corrigé - YouTube

31 oct 2021 · vous pouvez télécharger l'exercice sur notre site :http://www lemathematicien com Durée : 28:10Postée : 31 oct 2021

[PDF] Devoir de Mathématiques 2 : corrigé Exercice 1 Deux sommes

Donc d'apr`es le théor`eme de la bijection f induit une bijection de ]?? ?[ vers l'intervalle J = R `a déterminer On note g la fonction réciproque ainsi

[PDF] Fonctions réciproques

Exercice Déterminez la fonction réciproque de f (x) = ? Notons que toute fonction strictement croissante est injective

Comment trouver la bijection réciproque d'une fonction ?
La relation réciproque d'une fonction f de X dans Y est la relation notée f^-¹, de Y dans X, telle que, pour tous les éléments du domaine de f, si y = f(x), alors x = f ^-¹(y).
Quelle est la formule de la réciproque ?
Afin de trouver la règle de la fonction réciproque de f, il suffit de poser x=f(y) et d'isoler la variable y. Déterminons si la fonction f(x)=(x?1)3+2 est injective. Si oui, trouvons la fonction réciproque de f. Pour toutes valeurs x1?x2, on a que (x1?1)3+2?(x2?1)3+2.
Comment trouver la règle de la réciproque ?
1. L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F ? E telle que f ? g = idF et g ? f = idE. 2. Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-20161 Exercices : Notion de bijection. De nouvelles fonctions usuelles

1 Bijection et fonctions réciproques

Exercice 1On notefla fonction sinus.

1. Déterminer les antécédents de

1 2.

2. Déterminerf(R) etf-1(R+).

3. Déterminerf-1({5}) puisf-1({12}).

Exercice 2Déterminer pour chaque fonction des ensembles de départ et d"arrivée afin que la fonction soit une

bijection : f:x?→x4;g:x?→x3;h:x?→3x-2; ln; cos.

Exercice 3Les applications suivantes sont-elles bijectives? Si, oui déterminer leur application réciproque.

1. exp :R→R+2.1exp:R→]0,+∞[. 3. cos : [0,π2]→[-1,1]

4. cos : [0,5π

2]→[-1,1] 5.f:R

+→Rdéfinie parf(x) =⎷x2+ 1. 6.f:R-→R+définie parf(x) =x2 Exercice 4On considère la fonctionf:R→Rdéfinie parf(x) =x+1 ex+ 1.

1. Démontrer quefest une bijection.

2. Justifier quef-1est dérivable en12et calculer son nombre dérivé en12.

Exercice 5On posef:x?→x2+ 4x+ 1.

1. Montrer quefréalise une bijection de [-2,+∞[ sur son image (que l"on précisera) et déterminer la

réciproque associée.

2. Déterminerf([-3,0]), f-1({-1}), f-1({-4}) etf-1([0,1[).

3. On noteφla fonction réciproque defrestreinte à [-2,+∞[.φest-elle dérivable en-3?

Exercice 6Montrer quef:x?→1-x21 +x2réalise une bijection deR+sur un intervalle à préciser. Donner la

fonction réciproque.

Exercice 7Démontrer que deux droites symétriques par rapport à la droite d"équationy=xont des pentes

inverses l"une de l"autre.

Exercice 8 (Opérations sur les bijections)

1. Soitf:E→Fetg:F→Gdeux bijections. Démontrer queg◦fest encore bijective et que

(g◦f)-1=f-1◦g-1.

2. La somme de deux bijections est-elle une bijection?

Exercice 9 (Fonction impaire et bijective)Soitf:I→June fonction impaire et bijective (Iest donc

symétrique par rapport à 0). Démontrer queJest symétrique par rapport à 0 puis montrer quef-1est impaire.

Le résultat est-il vrai en remplaçant impaire par paire? ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-20162

2 Apprentissage des fonctions trigonométriques réciproques

Exercice 10 (Une étude de fonction)On désire étudier la fonctionfdéfinie parf(x) = cos3x+ sin3x.

1. Soitx?R, calculerf(x+π). En déduire une construction du pointM?de la courbe defd"abscissex+π,

à partir du pointMde la courbe defd"abscissex.

2. Soitx?[0,π]. Étudier le signe de sinx-cosx(on pourra écrire sinx+ cosxsous la formeAsin(t+φ)

ou raisonner géométriquement).

3. Terminer l"étude def.

Exercice 11Calculer arcsin(sina),arccos(cosa),arctan(tana),arccos(sina) poura? {61π

5,76π5,83π5}.

Exercice 12Représenter graphiquement sans calculatricex?→arcsin(sinx). Exercice 13Que vaut arccos(cosx) lorsquex?[6π,7π] puisx?[25π,26π]? Exercice 14 (Avec Maple ou la calculatrice)Maple ou votre calculatrice affirme que l"argument dez= -3 + 4iest-arctan4

3+πou arctan34+π2. Pourquoi?

Exercice 15L"application cos : [2π,3π]→[-1,1] est-elle bijective? Si oui, donner une expression de la fonction

réciproque. Exercice 16Donner un équivalent de arctan, arcsin et arccos en 0.

Exercice 17Simplifier les expressions tan(arcsinx),cos(arctanx) après avoir donné leur ensemble de définition.

Exercice 18 (une étude modèle)On posef:x?→arcsin? x+1 x-1?

1. Montrer que l"ensemble de définition defestR-.

2. Déterminer le ou les point(s) de la courbe d"ordonnée nulle et préciser la tangenteen ce ou ces point(s).

3. Étudier la fonction.

Exercice 19Simplifier les expressions arccosx+ arcsinxet arccosx+ arccos(-x) après avoir donné leur en-

semble de définition (on pourra dériver). Exercice 20Soitxetydes réels tels quexy?= 1. Simplifier arctanx+y

1-xy-arctanx-arctany(on pourra

dériver).

Exercice 21Soitfla fonction définie sur [π

2,π[ parf(x) =1sinx. Montrer quefréalise une bijection de

l"intervalle [

2,π[ sur un ensemble à préciser. Déterminer alors l"expression def-1à l"aide de arcsin.

Exercice 22Résoudre dansRles équations

1. arccosx= 2arccos3

4(on pourra appliquer cos). 2. arcsin11+x2+ arccos35=π2(on pourra appliquer sin).

3. arccosx= arccos1

4+ arccos134. arccos(x) = 2arccos(-1).

5. arccosx= arcsin2x. 6. arcsinx+ arcsin⎷

1-x2=π2.

7. 2arcsinx= arcsin(2x⎷

1-x2).

Exercice 23Le but de l"exercice est de résoudre dansRl"équation arctan2x+ arctanx=π 4.

1. Démontrer que la fonctionf:x?→arctan2x+ arctanxréalise une bijection deRsur un intervalle à

préciser. En déduire que cette équation admet une unique solutionα.

2. Déterminerαen utilisant la formule d"addition de la tangente.

3 Apprentissage des fonctions hyperboliques

Exercice 24 (Deux inégalités)

1. Démontrer que pour toutt?0,sht?t.

2. Soitx?0. Démontrer en calculant?x

0sh (t)dt, que

chx?1 +x2 2.

3. L"inégalité précédente reste-t-elle vraie pourxnégatif?

Exercice 25CalculerC=n?

k=0ch (a+kb) etS=n? k=0sh (a+kb) aveca,bréels etb?= 0. Exercice 26 (Un peu de trigonométrie hyperbolique)Soitxetydes réels. Démontrer que sh (x+y) = shxchy+ shychxet ch (x+y) = chxchy+ shxshy.

4 Fonctions hyperboliques réciproques

Exercice 27 (Découverte de argch)Nous allons démontrer par deux méthodes différentes que ch et sh

réalise des bijections sur des intervalles que l"on précisera. On notera argsh et argch les fonctions réciproques

obtenues. Nous allons le faire pour ch, les preuves sont du même genre pour sh.

1. Expression logarithmique des fonctions réciproques

(a) Au vu du graphe de ch , proposer deux intervallesIetJtels que ch :I→Jsoit bijective.

(b) Méthode avec de "l"analyse» : prouver que ch est une bijection de [0,+∞[ sur un intervalle à préciser.

est racine d"un polynôme de degré 2).

2. Démontrer à l"aide de la relation ch

2-sh2= 1, que :

?t?1,sh (argch (t)) =? t2-1.

3. Démontrer que argch est dérivable sur un intervalle que l"on précisera et donner sa dérivée.

4. En déduire la valeur deI=?4

21
⎷t2-1.

5. Étudier et représenter argch .

Exercice 28 (Une étude de fonctions)Soitfla fonction définie par f(x) = argch (x2-5x+ 7).

1. Donner l"ensemble de définition def.

2. Sur quel ensemblefest-elle dérivable? Donner sa dérivée.

3. Sachant que argch (t) = ln(t+⎷

t2-1), donner un équivalent de argch en +∞.

4. Terminer l"étude defet préciser le comportement defen +∞.

Exercice 29 (Réciproque de Tangente hyperbolique)On pose pourx?R, thx=shx chx.

1. Justifier que th est dérivable, exprimer sa dérivée à l"aide de th puis de ch. En déduire quela fonction th

réalise une bijection deRsur un intervalle à préciser. On note argth sa fonction réciproque.

2. Étudier et représenter la fonction argth.

quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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[PDF] 1 Bijection et fonctions réciproques

Comment trouver la bijection réciproque d'une fonction ?

Quelle est la formule de la réciproque ?

Comment trouver la règle de la réciproque ?

1 Bijection et fonctions réciproques

Exercice 1On notefla fonction sinus.

1. Déterminer les antécédents de

2. Déterminerf(R) etf-1(R+).

3. Déterminerf-1({5}) puisf-1({12}).

1. exp :R→R+2.1exp:R→]0,+∞[. 3. cos : [0,π2]→[-1,1]

4. cos : [0,5π

2]→[-1,1] 5.f:R

1. Démontrer quefest une bijection.

2. Justifier quef-1est dérivable en12et calculer son nombre dérivé en12.

Exercice 5On posef:x?→x2+ 4x+ 1.

1. Montrer quefréalise une bijection de [-2,+∞[ sur son image (que l"on précisera) et déterminer la

2. Déterminerf([-3,0]), f-1({-1}), f-1({-4}) etf-1([0,1[).

3. On noteφla fonction réciproque defrestreinte à [-2,+∞[.φest-elle dérivable en-3?

Exercice 8 (Opérations sur les bijections)

1. Soitf:E→Fetg:F→Gdeux bijections. Démontrer queg◦fest encore bijective et que

2. La somme de deux bijections est-elle une bijection?

2 Apprentissage des fonctions trigonométriques réciproques

1. Soitx?R, calculerf(x+π). En déduire une construction du pointM?de la courbe defd"abscissex+π,

à partir du pointMde la courbe defd"abscissex.

2. Soitx?[0,π]. Étudier le signe de sinx-cosx(on pourra écrire sinx+ cosxsous la formeAsin(t+φ)

3. Terminer l"étude def.

5,76π5,83π5}.

3+πou arctan34+π2. Pourquoi?

1. Montrer que l"ensemble de définition defestR-.

2. Déterminer le ou les point(s) de la courbe d"ordonnée nulle et préciser la tangenteen ce ou ces point(s).

3. Étudier la fonction.

1-xy-arctanx-arctany(on pourra

Exercice 21Soitfla fonction définie sur [π

2,π[ parf(x) =1sinx. Montrer quefréalise une bijection de

2,π[ sur un ensemble à préciser. Déterminer alors l"expression def-1à l"aide de arcsin.

Exercice 22Résoudre dansRles équations

1. arccosx= 2arccos3

4(on pourra appliquer cos). 2. arcsin11+x2+ arccos35=π2(on pourra appliquer sin).

3. arccosx= arccos1

4+ arccos134. arccos(x) = 2arccos(-1).

5. arccosx= arcsin2x. 6. arcsinx+ arcsin⎷

1-x2=π2.

7. 2arcsinx= arcsin(2x⎷

1-x2).

1. Démontrer que la fonctionf:x?→arctan2x+ arctanxréalise une bijection deRsur un intervalle à

2. Déterminerαen utilisant la formule d"addition de la tangente.

3 Apprentissage des fonctions hyperboliques

Exercice 24 (Deux inégalités)

1. Démontrer que pour toutt?0,sht?t.

2. Soitx?0. Démontrer en calculant?x

0sh (t)dt, que

3. L"inégalité précédente reste-t-elle vraie pourxnégatif?

Exercice 25CalculerC=n?

4 Fonctions hyperboliques réciproques

1. Expression logarithmique des fonctions réciproques

2. Démontrer à l"aide de la relation ch

2-sh2= 1, que :

3. Démontrer que argch est dérivable sur un intervalle que l"on précisera et donner sa dérivée.

4. En déduire la valeur deI=?4

5. Étudier et représenter argch .

1. Donner l"ensemble de définition def.

2. Sur quel ensemblefest-elle dérivable? Donner sa dérivée.

3. Sachant que argch (t) = ln(t+⎷

4. Terminer l"étude defet préciser le comportement defen +∞.

1. Justifier que th est dérivable, exprimer sa dérivée à l"aide de th puis de ch. En déduire quela fonction th

2. Étudier et représenter la fonction argth.