FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES PDF

Terminale S - Continuité dune fonction Théorème des valeurs

Théorème des valeurs intermédiaires 2) Lien entre dérivabilité et continuité ... 2) Théorème 2 : Cas d'une fonction strictement monotone.

livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques

fonctions : limite continuité

Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Limite. Continuité. 29. 2.1 Fonctions réelles de variable réelle . 2.6 Théorème des valeurs intermédiaires . ... est dérivable en t = 0 et.

Continuité et dérivabilité dune fonction

7 nov. 2014 Remarque : Parfois la fonction f n'admet pas une limite en a mais admet une ... Théorème 3 : Théorème des valeurs intermédiaires.

CONTINUITÉ DES FONCTIONS

II. Théorème des valeurs intermédiaires. Théorème des valeurs intermédiaires : On considère la fonction f définie et continue sur un intervalle [a ; b].

Leçon 228: Continuité et dérivabilité des fonctions de la variable

26 déc. 2012 2.1 Théorème des valeurs intermédiaires . ... Théorème 7 (Dérivabilité et dérivée de la fonction limite). Soit (fn) une suite de fonctions ...

Corrigé du TD no 11

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Par continuité de f

FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

I - LIMITES - CONTINUITÉ Donc le théorème des valeurs intermédiaires celui de la bijection réciproque ne sont plus ... f est dérivable en a lorsque.

PSIFONCTIONS À VALEURS COMPLEXES

On se placera dans le cadre suivant :

fest une fonction d"unintervalledeR,I, non réduit à un point, etfest à valeurs dansC.

Elle est doncà variable réelle.

On note8x2I; f(x) =f1(x) +if2(x)oùf1etf2sont des applications deIdansR. f

1s"appelle la partie réelle etf2la partie imaginaire de la fonctionf.

On note fréquemmentf1= Re (f)etf2= Im (f).

I-LIMITES - CONTINUITÉ1)Limitesdéf.Soienta2Iouaune extrémité deI(éventuellementa=1)et`2C.`est limite defenalorsqueDans le casa2R:8" >0;9 >0=8x2I;jxaj6=) jf(x)`j6"

Dans le casa= +1:8" >0;9B >0=8x2I;x>B=) jf(x)`j6"

Dans le casa=1:8" >0;9B >0=8x2I;x6B=) jf(x)`j6"

prop.fa une limite enasi et seulement si ses parties réelles et imaginairesf1etf2en ont une ena.En notant`=`1+ i`2, on a alors :limx!af(x) =`()limx!af1(x) =`1etlimx!af2(x) =`2.

On peut donc toujours se ramener à travailler avec les parties réelles et imaginaires def, c"est à dire sur des fonctions à valeurs dansR. Propriétés analogues aux fonctions à valeurs réelles: Unicité de la limite, caractérisation par les suites, opérations sur les limites. Mais certaines propriétés ne sont pas conservées: Toutes les propriétés liées à la relation d"ordre6deR: Théorèmes d"encadrement.

2)Continuitédéf.1Soientf:I!Ceta2I.fest continue enalorsquelimx!af(x) =f(a).

prop.1fcontinue ena()Re (f)etIm (f)sont continues ena.

déf.2f: [a;b]!Cest continue par morceaux sur[a;b]lorsqu"il existe une subdivision(a0;a1;:::;an)de[a;b]telle quefj]ai;ai+1[soit continue sur]ai;ai+1[et prolongeable en une fonction continue sur[ai;ai+1].

prop.2fcontinue par morceaux surI()Re (f)etIm (f)sont continues par morceaux surI. Proprétés analogues aux fonctions à valeurs réelles:

Opérations, caractérisation par les suites, applications lipschitziennes, une application continue sur unsegment

est encore bornée. Mais certaines propiétés ne sont pas conservées:

L"image d"un intervalle n"est plus un intervalle.

Donc le théorème des valeurs intermédiaires , celui de la bijection réciproque ne sont plus valables.

Fonctions complexes page 1 sur 2 IB

II-DÉRIVATIONdéf.Soientf:I!Ceta2I.fest dérivable enalorsquelimt!af(t)f(a)taexiste dansC.Cette limite s"appelle le nombre dérivé defenaet se notef0(a)ouD(f)(a)oudfdt

(a).Cela équivaut à dire quefadmet un développement limité à l"ordre 1 ena,ou encore qu"il existe`dansCet":I!Ctels que :8t2I; f(t) =f(a) + (ta)`+ (ta)"(t)etlimt!a"(t) = 0.Le nombre complexe`vaut alorsf0(a).

prop.fest dérivable enasi et seulement siRe (f)etIm (f)sont dérivables ena.Dans ce cas,f0(a) = (Re (f))0(a) + i (Im (f))0(a), ieRe (f0) = (Re (f))0etIm (f0) = (Im (f))0

Propriétés analogues aux fonctions à valeurs réelles:

Fonction dérivable sur un intervalle, opérations (somme, produit, quotient) sur les fonctions dérivables,

dérivées successives, fonctions de classeCk, formule de Leibniz. La propriété sur la composée des fonctions subsiste à condition de considérergf oùf:I!Retg:J!Cavecf(I)J. Mais certaines propriétés ne sont pas conservées: Il n"y a plus le théorème sur la bijection réciproque.

La notion d"extremum local , liée à la relation d"ordre dans l"ensemble d"arrivée, n"a plus de sens.

Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ne sont plus valables. Par exemple, pourf: [0;2]!Cdéfinie parf(t) = cos(t) +isin(t) = eit, on af(0) =f(2) = 1 mais la dérivéef0(t) = ieitne s"annule jamais. Par contre l"inégalité des accroissements finis est valable :

Donc la caractérisation des fonctions constantes par leur dérivée nulle, et celle des applications lipschitziennes

par leur dérivée bornée, sont toujours valables. Ainsi si deux fonctions dérivables,fetg, del"intervalleIdansCvérifientf0=g0 alorsfetgdiffèrent d"une constante surI. Parler du signe de la dérivée ou de monotonie n"a pas de sens pourfdeIdansC. III-INTÉGRATIONdéf.Soitf:I!Cune application continue par morceaux et(a;b)2I2.On définit : Z b a f(t)dt=Z b a

Re (f)(t)dt+ iZ

b a

Im (f)(t)dt.C"est à direRe

Zb a f(t)dt ) =Z b a

Re (f)(t)dtetIm

Zb a f(t)dt =Z b a

Im (f)(t)dt.