[PDF] Filière SMA Module de topologie Cours exercices et anciens

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Université Mohammed V-Rabat

Faculté des sciences

Département de mathématiques

Topologie

Filière SMA

Semestre 5

Cours, exercices et anciens examens avec corrigés.

Hamza BOUJEMAA

1

Table des matières:

Introduction.p.4

Chapitre 1: Rappels et compléments.

I. Espaces vectoriels normés. Espaces de Banach.p.5

II. Applications linéaires continues.p.6

III. Normes équivalentes.p.8

IV. Le groupeiso(E;E)et l"applicationu7!u1.p.10

V. Applications multilinéaires continues.p.12

Chapitre 2: Espaces métriques.

I. Définition et exemples d"espaces métriques.p.14 II. Boules, parties bornées, parties ouvertes, parties fermées, voisinage p.15

III. Applications continues. p.17

IV. Topologie des espaces métriques. p.19

V. Parties compactes et théorème de Bolzano Weierstrass. p.22 VI. Continuité uniforme et prolongement d"applications. p.24

VII. Suites de Cauchy et espaces complets. p.25

Chapitre 3: Espaces topologiques.

I. Définition et exemples. p.31

II. Fermés, voisinage, base d"ouverts et base de voisinages. p.33

III. Applications continues. p.35

IV. Comparaison de topologies. p.36

V. Espaces topologiques produits. p.38

VI. Limites, valeurs d"adhérence et applications continues. p.41

Chapitre 4: Espaces compacts et espaces connexes.

2 I. Espaces compacts et espaces localement compacts.

1. Espaces compacts. p.44

2. Espaces compacts et applications continues. p.48

3. Espaces localement compacts et compactification. p.49

II. Espaces connexes et espaces localement connexes.

1. Connexité. p.51

2. Connexité par arcs. p.55

3. Espaces localement connexes. p.56

Appendices

1: L"espaceL(E;F).p.57

2: Espaces de fonctions continues et théorème d"Ascoli.p.60

Séries d"exercices avec corrigés.p.66

Sujets d"examens avec corrigés.p.92

3

Introduction

Ce polycopié est issu du cours de topologie enseigné à la faculté des sci- ences de Rabat dans le cadre de la licence de mathématiques de l"automne

2014 à celui de 2022.

Le contenu du module de topologie enseigné en semestre 5 ne peut con- stituer un exposé complet étant donné le nombre d"heures de cours alloué. Cependant, il constitue une introduction à la topologie générale. Avant de définir les espaces topologiques, on se place dans un cadre particulier impor- tant qui est celui des espaces métriques où les ouverts et les voisinages peuvent être mieux intégrés grâce à la notion de distances et de boules. Vu le temps imparti, les semi normes ainsi que les topologies associées n"apparaissent pas dans cet exposé. Par contre, avant de parler des espaces métriques, on intro- duit un cas particulier important qui est celui des espaces vectoriels normés. Cela permettra aussi de définir les espaces de Banach qui seront utiles no- tamment pour le module de calcul différentiel. La continuité des applications, les espaces compacts ainsi que le théorème de Bolzano Weierstrass constituent l"essentiel de l"exposé. Le calendrier ne laissant pas de temps pour étudier le théorème d"Ascoli et étant donné son importance en analyse fonctionnelle, ce résultat est introduit en appendice. Mis à part le premier chapitre, tous les autres s"inspirent du livre "Topolo- gie" de G. Chirstol, A. Cot et C-M. Marle qui contient aussi un bon nombre d"exercices dont une partie sera traitée en travaux dirigés. A la fin de ce polycopié, le lecteur trouvera une série d"exercices corrigés et une collection d"anciens examens avec corrigés assez détaillés clôt ce travail. Bien qu"un soin particulier ait été apporté à la rédaction des notes de cours, des erreurs ou imprécisions peuvent subsister. L"auteur espère qu"elles seront peu nombreuses, tous les commentaires et remarques étant les bien- venus. 4

Chapitre 1: Rappels et compléments.

I. Espaces vectoriels normés. Espaces de Banach. Dans tout ce qui suitEdésigne un espace vectoriel surIRouICmuni d"une norme c"est à dire d"une application notée k:k:E!IR+; et vérifiant: a.kxk= 0si et seulement six= 0. b.kkxk=jkjkxkpour toutk2IRouICet toutx2E. c.kx+yk kxk+kykpour tousxety2E. Exercices:1. Vérifier que, dansIRn, l"expressionk(x1;:::;xn)k1=qP ni=1xi2définit bien une norme. Faire de même pour les deux autres normes

2.E=C([0;1];IR)désigne l"espace vectoriel des applications définies, con-

tinues sur[0;1]et à valeurs réelles. Pour toutf2E, on posekfk= sup x2[0;1]jf(x)j. Vérifier qu"il s"agit bien d"une norme. Nous pouvons alors associer une application appelée distance notéedet définie par d(x;y) =kxykpour tousxety2E: Nous considérerons qu"une applicationfdeEversF(Fétant un autre es- pace vectoriel normé) est continue quandd(f(x);f(y))tend vers0lorsque d(x;y)tend vers0. La définition d"une suite de Cauchy dansEest la même que dans l"espace vectoriel norméIRc.a.d. qu"une suite d"éléments(xn)ndeEest dite de

Cauchy si

8 >0;9N2INtel que8nNetp0; d(xn;xn+p)< :

5 On dira queEest un espace de Banach (ou un espace vectoriel normé com- plet) si toute suite de Cauchy dansEest convergente dansE. Exemples-IRmuni de la norme valeur absolue est un espace de Banach.(On rappelle qu"on démontre que toute suite de Cauchy est bornée puis qu"elle possède forcément une seule valeur d"adhérence et qu"enfin la suite est convergente vers cette valeur qui est par conséquent sa limite.) -IRnmuni de la norme euclidiennekxk=qP ni=1xi2est un espace de Banach. (On vérifie que si(xp)pest de Cauchy dansIRn, alors pour tout

1in, la suite formée par laiemecomposante notée(xip)pest de Cauchy

dansIRet par conséquent convergente dansIR. On déduit alors aisément que(xp)pest convergente dansIRn. - On noteE=C([a;b];IR)l"espace vectoriel des fonctions définies et continues sur l"intervalle fermé, borné[a;b]et à valeurs dansIR. On le munit de la norme du sup: kfk=supx2[a;b]jf(x)j: On remarquera qu"elle est bien définie et que c"est bien une norme. On peut montrer que cet espace est complet, voir série 1. - On peut généraliser en posantE=Cb(X;IR), espace des fonctions définies, bornées et continues surX, espace vectoriel normé quelconque, à valeurs réelles et kfk=supx2Xjf(x)j: -On peut se placer dans un cadre plus général en considérantE=Cb(X;F) oùFest un espace de Banach. (Ce qui garantira l"existence d"une limite pour toute suite(fn(x))nlorsque quexest un élément quelconque fixé dansXet l"idée de la démonstration est analogue à la pécédente.) On notera que les derniers exemples donnés sont des espaces de Banach de dimension infinie. 6 A présent, nous allons étudier la continuité des applications linéaires entre espaces de Banach.

II. Applications linéaires continues.

ThéorèmeSoientEetFdeux espaces vectoriels normés etf:E!F une application donnée. Les trois affirmations suivantes sont équivalentes: a.fest continue. b.fest continue en0. c. Il existe une constanteMstrictement positive telle que kf(x)k Mpour toutx2Evérifiantkxk 1: Autrement dit,fest bornée sur la boule unité. Cette propriété est équiva- lente à

9M >0;telle que8x2E;kf(x)k Mkxk:

DémonstrationIl est clair que a) implique b). Montrons que b) implique c). Pour >0donné, il existe >0tel que pourkxk< on akf(x)k< . En particulier, pour= 1, sikxk< ralorskf(x)k<1. On aura donc kf(x)k<1r sikxk<1. Ainsi,fest bornée sur la boule unité. Pour l"implication de c) vers a), on remarque d"abord que six2Eest non nul, alors xkxkest de norme 1, par suite, en utilisant c) et la linéarité de f, on aurakf(x)k Mkxk. A nouveau, via l"argument de linéarité, on aura kf(x)f(y)k=kf(xy)k< Mkxyk:

Ce qui signifie la continuité defen toutx.

On noteL(E;F)l"espace vectoriel des applications linéaires continues de

EversFet on le munit de la norme

kfk=supkxk1kf(x)k: 7 On a la proposition suivante dont la démonstration est facile et laissée en exercice: Proposition1. Pour toutf2 L(E;F),kfkvérifiekf(x)k kfkkxket c"est le plus petit des réelsMvérifiantkf(x)k Mkxk.

2. Il s"agit bien d"une norme!

ThéorèmeSiFest un espace de Banach, alorsL(E;F)est un espace de

Banach.

DémonstrationOn se place sur la bouleBrfermée deEde centre0et de rayonr >0et on considèreCb(Br;F). Nous avons vu que c"est un espace de Banach, par conséquent, si(fn)nest une suite de Cauchy dansL(E;F) et si(gn)ndésigne la suite des restrictions desfnàBr,(gn)est une suite de Cauchy dans l"espace completCb(Br;F)(muni de la norme du sup), elle converge donc vers une certaine limitegappartenant àCb(Br;F), ceci étant vrai pour toutr >0. Cette limite est continue. Ceci étant vrai pour tout r >0, on a alors l"existence d"une limite notéefdansL(E;F)et telle que la restriction defàBestg. ( Voir l"appendice 1 pour les étapes détaillées.)

Isomorphismes d"espaces vectoriels normés.

Définition.Un isomorphisme d"un espace vectoriel norméEdans un es- pace vectoriel norméFest une application linéaire, bijective, continue dont l"inverse est également linéaire et continue. Remarques1. Si une application est bijective est linéaire, alors son inverse est également linéaire.

2. Si une application est un homéomorphisme linéaire, alors c"est un iso-

morphisme linéaire. Les deux points sont faciles à établir. Par contre, une autre implication 8 résulte d"un théorème beaucoup plus difficile à démontrer que nous allons simplement énoncer: ThéorèmeSif:E!Fest une application entre deux espaces de Ba- nach linéaire, bijective et continue, alors c"est un isomorphisme d"espaces de

Banach.

DéfinitionOn appelle isométrie toute application bijective, linéairef vérifiant kf(x)k=kxk: ConséquenceToute isométrie est continue et est un isomorphisme. La réciproque est évidemment fausse. Il suffit de considérer les homoth-

éties.

III. Normes équivalentes.

Définition1et2désignent deux normes sur un espace vectoriel normé E. Elles sont dites équivalentes si l"application

Id: (E;1)!(E;2)est bicontinue.

Comme conséquence directe de la caractérisation de la continuité d"une application linéaire, on a le résultat suivant: PropositionElles sont équivalentes si et seulement si il existe deux con- stantesmetMstrictement positives telles que m

1(x)2(x)M1(x);pour toutx2E:

Il s"avère qu"en dimension finie, toute les normes sont équivalentes. Pour cela, nous allons d"abord établir ce résultat dans le cas deIRn. 9 PropositionDansIRn, toutes les normes sont équivalentes. DémonstrationNous allons montrer que toute normesurIRnest équivalente à la norme euclidienne. Siest une norme surIRn, alors elle est continue. En effet, d"après l"inégalité triangulaire, on a j(x)(y)j (xy); et en posantx=Pni=1xieiety=Pni=1yiei, on aura d"après les propriétés d"une norme (xy)n X i=1jxiyij(ei): Ainsi, quandxtend versy, alors lesxitendent vers lesyiet par suite j(x)(y)jtend vers0. Ceci signifie queest continue et que par suite elle est bornée sur la sphère unité fermée. Il existe donc deux constantes strictement positivesmetMvérifiant m(x)M:

On aura donc bien

mkxk (x)Mkxkpour toutx2E; etk:ksont bien équivalentes.

Nous déduisons le résultat suivant

CorollaireSoitEun espace vectoriel normé etf:IRn!Eune appli- cation linéaire et bijective, alorsfest un isomorphisme. DémonstrationSidésigne la norme surE,fest une norme surIRn (à vérifier!). Puisque toutes les normes surIRnsont équivalentes, il existe donc deux constantesmetMstrictement positives telles que mkxk f(x)Mkxk: 10 Une des inégalités précédentes prouve quefest continue, l"autre montre que f

1l"est aussi.

Nous pouvons à présent énoncer le résultat qui règle la question de la continuité des applications linéaires quand la dimension est finie. ThéorèmeSoitEun espace vectoriel normé de dimension finie, alorsE est un espace de Banach et toute application linéairef:E!F, oùFest un espace vectoriel normé est continue. DémonstrationMontrons d"abord queEest complet et considérons une suite de Cauchy(xn)ndansE. La dimension étant finie, il existe une application linéaire bijectiveg:IRn!E, et d"après ce qui précède,gest un isomorphisme d"espaces vectoriels normés. Il admet donc une application réciproque linéaire et continueh:E!IRn. Il existe alors une constanteM strictement positive telle que kh(xn)h(xp)k Mkxnxpk: Ceci justifie que la suite(h(xn))nest de Cauchy dansIRn, elle converge donc vers une certaine limitel, et la continuité degprouve quexn=gh(xn) converge versg(l). Par suite,Eest un espace de Banach. Soit maintenantf:E!Fune application linéaire, si on montre que '=fgest continue, alorsf='g1sera continue. Or, l"application 'est continue car elle est continue en0. En effet, si(x1;:::;xn)désigne un élément quelconque deIRn, etfe1;:::;engla base canonique deIRn, alors '(x1;:::;xn) =Pni=1xi'(ei)et ceci explique que quand(x1;:::;xn)tend vers

0alors'(x1;:::;xn)tend aussi vers0.

Deux cas particuliers deL(E;F)

- SiEestIR, alorsL(IR;F)s"identifie àFpar un isomorphisme naturel qui est une isométrie de la manière suivante: A tout élémenty2F, on 11 associe l"application'y2 L(IR;F)définie par y:IR!F 7!y: Il est alors facile de se convaincre qu"on ak'yk=kyk.

On a donc une application

:L(IR;F)!F '7!'(1); ou ce qui revient au même une application ='1:F! L(IR;F) y7!'y; etvérifiekk= 1.( aussi!) - SiFestIR,L(E;IR)est l"espace des formes linéaires continues appelé aussi dual topologique.

IV. Le groupeIso(E;E)et l"applicationu7!u1.

Dans l"optique d"étudier l"existence de certains inverses, nous avons be- soin de rappeler des résultats sur les séries convergentes dans les espaces de

Banach.

DéfinitionSoit(un)nune suite dans un espace de BanachE. On dit que la série Punest normalement convergente si la sériePkunkest convergente dansIR. ThéorèmeSi une série est normalement convergente, alors elle est con- vergente. 12 DémonstrationCeci se justifie par l"inégalité k

Xunk Xkunk:

et donc le fait d"être de Cauchy pour l"une dansIRimplique que l"autre est aussi de Cauchy mais cette fois-ci dans l"espaceEqui est de Banach.

Nous avons les deux propositions suivantes

PropositionSiEest un espace de Banach, alorsL(E;E)est de Banach et siu2 L(E;E)est tel quekuk<1, alors1uest inversible. DémonstrationLe premier point a déjà été établi précédemment. Soitutel quekuk<1. La sériePunoùun=un=uu:::u,nfois, est convergente car elle est normalement convergente. Cela résulte de l"inégalité kunk kukn et si on posev=P1n=0unalorsvvérifie uv=vu=1 X n=1un: Par suite,Id=vuv= (Idu)v=u=vvu=v(Idu)ce qui prouve que1uest inversible. Proposition1.Iso(E;E)est un ouvert deL(E;E). (Eest supposé de

Banach)

2. L"applicationu7!u1est continue.

DémonstrationPour montrer qu"il s"agit d"un ouvert, il suffit de montrer queu10uest un inversible siuest proche deu02Iso(E;E). D"après le résultat précédent, il suffit de vérifier quek1u10uk<1siuest suffisamment proche deu0.

Or1u10u=u10(u0u), d"où en passant aux normes

k1u10uk ku10kku0uk: 13 Ainsi si on supposeku0uk<1ku10k, alors on aurau10uinversible et par suiteuinversible. Pour l"autre point, on poseu=u0(1v)aveckvk<1. On au1= (1v)1u10, d"où on déduit ku10u1k kvk1 kvk() et quandutend versu0,vtend vers0(v= 1u10udonckvk ku10kku0 uk) et, en vertu de (*),u1tend versu10. D"où la continuité. On montre, dans un cours de calcul différentiel, que cette application est mêmeC1et on peut donner sa différentielle en tout point deIso(E;E). Pour finir ces rappels et compléments, nous allons étendre des notions vues dans le cadre linéaire au cadre multilinéaire.

V. Applications multilinéaires continues

Dans ce qui va suivreE1;:::; En; Fsont des espaces vectoriels normés et une applicationf:E1x:::xEn!Fest dite multilinéaire si elle est linéaire par rapport à chaque variable. Nous allons caractériser les applications mul- tilinéaires continues. PropositionIl y a équivalence entre les trois affirmations suivantes: a)fest continue. b)fest continue en zéro. c)fest bornée sur le produit des boules unités, c"est à dire, il existe une constanteMstrictement positive telle quekf(x1;:::;xn)k Mpour tous kx1k 1,...,kxnk 1. La démonstration est similaire à celle établie dans le cas linéaire en ap- portant les traductions qui s"imposent. 14 Si on posekfk=supkx1k1;:::;kxnk1kf(x1;:::;xn)k, on vérifie quekfk est le plus petit des réels positifsMvérifiantkf(x1;:::;xn)k Mpour touskx1k 1,...,kxnk 1et on vérifie que ceci définit une norme sur L(E1x:::xEn;F)(ensemble des applications multilinéaires continues) Exemple d"applications bilinéaires: La composée..

On considère l"application

:L(F;G)xL(E;F)! L(E;G) (g;f)7!gf: Commek(g;f)k=kgfk kgkkfk,est donc continue et sa norme est inférieure ou égale à 1.

L"isométrie naturelleL(ExF;G)' L(E;L(F;G)).

L"isométrie est donnée par

:L(ExF;G)! L(E;L(F;G)) f7! (f) avec (f)(x), pourx2E, est l"élément deL(F;G))défini pour touty2F par (f)(x)(y) =f(x;y). Il est facile de vérifier quek (f)k=kfket que par suite,k k= 1. 15

Chapitre 2: Espaces métriques.

I. Définition et exemples d"espaces métriques. Définition.Un espace métrique est un ensembleEsur lequel on a défini unedistance, c"est à dire une applicationd:ExE!IR+qui vérifie, pour tousx,yetz2E d(x;y) =d(y;x)symétriequotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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