Entraînement sur les récurrences
k2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 . Exercice 2. Soit a ? [0+?[ un réel fixé. Démontrer que
Calcul Algébrique
n. ? k=0. 2k désigne la somme. 20 + 21 + 22 + 23 + ··· + 2n?1 + 2n . de 1 à n est n!. Démonstration : On montre le théorème par récurrence sur n.
Chapitre 3: La démonstration par récurrence
n(n +1)(2n +1). 6. Marche à suivre : Pour effectuer une démonstration par récurrence il faut : 1°) Vérifier que la proposition est vraie pour n = 1 ;.
CH IV : Récurrence calculs de sommes et produits
k2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 . 1. Initialisation. • On a : 1. ? k
Récurrence ; Sommes produits
27 sept. 2011 Proposition 1. Principe de récurrence : On cherche à prouver simultanément un ensemble de propriétés Pn dépendant d'un entier naturel n.
Raisonnement 1 Différents types de raisonnements
Certaines démonstrations utilisent des variantes très utiles du raisonnement Exemple : démontrer que n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 2 et 3.
Analyse combinatoire
6 mars 2008 Le nombre d'arrangements est donc 6. Notation : La fonction 'factorielle' est la fonction de domaine N = {01
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Tous les diviseurs de 60 sont : 1 2
Nombre pair - Nombre impair
Un nombre impair est un nombre qui n'est pas pair. Exemples : 1 3
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Démonstration : La suite arithmétique (un) de raison r et de premier terme u0 vérifie la relation u n+1 = u n + r . En calculant les premiers termes :.
Solutions to Exercises on Mathematical Induction Math 1210
12+ 22+ 32+ +n2= 6Proof:1 2 3For n= 1 the statement reduces to 12= Assuming the statement is true for n=k: 6 and is obviously true k(k+ 1)(2k+ 1) 12+ 22+ 32+ +k2=; (1) 6 we will prove that the statement must be true forn=k+ 1: (k+ 1)(k+ 2)(2k+ 3) 12+ 22+ 32+ + (k+ 1)2=: (2) 6 The left-hand side of (2) can be written as
SelectedSolutionsfor AnIntroductiontoMathematicalProofs Chapter4
1 ( +1) equals 1/2 2/3 3/4 4/5 and 5/6 for n= 12345 (respectively) This suggests that for general n the sum evaluates to n/(n+1) You will prove this by induction in part (b) 9 (b) We prove: for all n? Z?1 n! = Q n j=1 j We use induction on n Base Case We prove 1! = Q1 j=1 j We know 1! = 1 · 0! = 1 · 1 = 1 (by de?nition
Past day
Proof of finite arithmetic series formula by induction
Mathematical induction is a method of mathematical proof typically used to establish a given statement for all natural numbers. It is done in two steps. The first step, known as the base case, is to prove the given statement for the first natural number. The second step, known as the inductive step, is to prove that the given statement for any ... lgo algo-sr relsrch fst richAlgo" data-a5c="64603c1e942f6">www.khanacademy.org › math › algebra-homeProof of finite arithmetic series formula by induction www.khanacademy.org › math › algebra-home Cached
Analyse combinatoire
Mathematiques Generales B
Universite de Geneve
Sylvain Sardy
6 mars 2008
1 Le but de l'analyse combinatoire (techniques de denombrement) est d'ap- prendre a compter le nombre d'elements d'un ensemble ni de grande cardinalite.Notation : la cardinalite d'un ensemble
, noteecard( ) =j j= # , est le nombre d'elements contenus dans l'ensemble .Analyse combinatoire 21. Principe de multiplication
Permet de compter le nombre de resultats d'experiences qui peuvent se decomposer en une succession de sous-experiences. Principe : suppose qu'une experience est la succession demsous-experiences. Si laieme experience aniresultats possibles pouri= 1;:::;n, alors le nombre total de resultats possibles de l'experience globale est n= mi=1ni=n1n2:::nm:Analyse combinatoire 3 Exemple : Vous achetez une valise a code 4 chires. Combien de possibilites avez-vous de choisir un code? Reponse :m= 4avecn1= 10,n2= 10,n3= 10,n4= 10, donc le nombre total de code possible est10101010 = 104. Exemple : les plaques mineralogiques aux U.S.A. sont formees de 3 lettres, suivies de 3 chires. Quel est le nomb rede plaques m ineralogiquesp ossibles? Quel est le nomb rede plaques qui commencent pa rla lettre U ?Analyse combinatoire 42. Permutations
Denition : une
p ermutation de nelementsdistincts e1;:::;enest un rearrangement o rdonne sans r epetition de ces nelements. Exemple : "a", "b" et "c" sont trois elements. Les arrangements possibles sont abc;acb;bac;bca;cab;cba:Le nombre d'arrangements est donc 6.
Notation : La fonction `factorielle' est la fonction de domaineN=f0;1;2;:::g qui a toutn2 Nassocien! =n(n1):::321. Ainsi0! = 1,1! = 1,2! = 2,3! = 6,:::,10! = 306280800.Analyse combinatoire 5 Le nombre de permutations denelementsdistincts est n!. Demonstration : par application du principe de multiplication a une experience anetapes :1 ere etape: n1=nchoix possibles.
2 eme etape: n2= (n1)choix possibles.
{nieme etape :nn= 1choix possible. Exemple : 4 Americains, 5 Suisses et 7 japonais doivent s'asseoir sur un m^eme banc, et doivent rester groupes par nationalite. Combien y a-t-il de dispositions possibles?Reponse :3!4!5!7!.Analyse combinatoire
6Denition : Un
a rrangement est une p ermutationde kelements pris parmi nelementsdistincts ( k6n). Les elements sont prissans r epetitionet sont ordonnes Notation : le nombre de permutations dekparminest noteAn;k. Exemple : les arrangements de 2 elements pris dansf1;2;3;4gsontIl y en a 12.
Peut-on trouver une formule pour compter le nombre d'arrangements?Analyse combinatoire 7 Il s'agit encore du principe de multiplication a une experience aketapes :1 ere etape: n1=nchoix possibles.
2 eme etape: n2= (n1)choix possibles.
{kieme etape :nk= (nk+ 1)choix possible.Donc :
A n;k=n(n1)(nk+ 1) =n(n1)(nk+ 1)(nk)(nk1)21(nk)(nk1)21:Le nombre d'arrangements est :
A n;k=n!(nk)!:Analyse combinatoire 8Exemple : Combien de mots de 3 lettres
distinct es p euvent^ etrefo rmesdans un alphabet de 26 lettres?Reponse :A26;3= (26)(25)(24) = 150600.
Exemple : Combien de mots de 3 lettres peuvent ^etre formes dans un alphabet de 26 lettres? Reponse :263= 170576, naturellement plus de possibilite qu'avec les arrange- ments.Analyse combinatoire 93. Combinaisons et coecients binomiaux
Denition : Un
combinaison de kelements pris dans un ensemble anelements distincts est un sous-ensemble akelements de cet ensemble. Les elements sont pris san sr epetition et ne sont pas o rdonnes Notation : le nombre de combinaisons dekparminest noteCn;koun k qui est appele coecient binomial. Exemple : les combinaisons de 2 elements pris dansf1;2;3;4gsont f1;2g;f1;3g;f1;4g;f2;3g;f2;4g;f3;4g:Il y en a 6.
Peut-on trouver une formule pour compter le nombre de combinaisons?Analyse combinatoire 10 Dans un sous-ensemble, les elements ne sont pas ordonnes, au contraire d'un arrangement. Par consequence, a chaque sous-ensemble correspondk!arrangements, donc : C n;k=An;kk! n!k!(nk)!: Exemple : on a 15 medicaments et on veut tester leur compatibilite en groupe de 4. Combien y a-t-il de groupes possibles?Reponse :C15;4=15!4!11!
= 10365possibilites.Analyse combinatoire 11Proprietes :
{Cn;k=Cn;nkF ormulede r ecurrenceCn;k=Cn1;k1+Cn1;k.
Demonstration : Soit
=fw1;:::;wng. Le nombreCn;kest le nombre de sous-ensembles de de cardinalitek. Soit kcet ensemble de sous- ensembles; il se decompose en l'union de deux ensembles disjoints : k= k;w1=a[ k;w16=a Orj kj=j k;w1=aj+j k;w16=aj j k;w1=aT k;w16=aj. Doncj kj=Cn1;k1+Cn1;k0. Le tr ianglede P ascalest une cons equencede la f ormulede r ecurrence: Analyse combinatoire 12 0 0 1 0 1 1 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 3 3 etc... 1 1 1 1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 1.........Analyse combinatoire
13 Combien y a-t-il de sous-ensembles d'un ensemble de ca rdinaliten? fe1,e2,:::,engoui non oui non :::oui non soit un total de2nsous-ensembles.Le b in^omede Newton : (x1+x2)n=Pn
k=0n k x k1xnk2.Analyse combinatoire 144. Coecients multinomiaux
Le but est de decouper un ensemble denelements enrsous-ensembles de taillesn1;n2;:::;nr, tels quen1+n2+:::+nr=n, et de determiner le nombre de decoupages possibles. Exemple : L'ensemblef1;2;3;4gen 3 sous-ensembles de tailles 2, 1 et 1.Il y en a 12.
Peut-on trouver une formule pour compter le nombre de decoupage?Analyse combinatoire 15On applique le principe de multiplication :
il y a Cn;n1choix pour le premier sous-ensemble il y a Cnn1;n2choix pour le deuxieme sous-ensemble il y a Cnn1:::nr1;nrchoix pour lerieme sous-ensembleSoit au total :
C n;n1Cnn1;n2Cnn1:::nr1;nr n!n1!(nn1)!(nn1)!n
2!(nn1n2)!(n(n1 nr1))!n
r!(n(n1 nr))! n!n1!n2!nr!=:n
n1;n2;;nr
:Analyse combinatoire 16Proprietes :
Quand r= 2, on retrouve le coecient binomial puisque n k;nk =n k =n nkTh eorememultinomial
(x1++xr)n=X n1;:::;nr:Pri=1ni=n
n n1;n2;;nr
x n11xn22xnrr:Analyse combinatoire 17 Exemple : Quatre joueurs Georges, Jacques, Tony et Angela recoivent 13 cartes d'un jeu de 52. Combien y a-t-il de repartitions possibles des cartes entre ces 4 joueurs?Reponse :52
13;13;13;13
52!(13!)
45:361028.
Exemple : Une usine delocalise et envoie les employes d'un bureau d'etude de 23 personnes dans un bureau de 13 personnes en Chine, et deux bureaux de 5 pesonnes en Pologne et Irlande. Combien de groupes peuvent ^etre formes?Reponse :23
13;5;5
.Analyse combinatoire 184. Applications
P1 : Quatre couples doivent ^etre assis dans une rangee de 8 chaises.Combien y a-t-il de facon de le faire si :
Il n'y a pas de contraintes.
R :8! = 400320
Les hommes doivent rester ensemble et les femmes au ssi.R :2(4!)2= 10152
Les hommes doivent rester ensemble.
R :5(4!)2= 20880
Chaque couple ma riedoit rester ensemble.
R :24(4!) = 384Analyse combinatoire
19 P2 : Combien de mots dierents (qui ont un sens ou non) peut-on former avec les lettres des mots suivants? v elos papier banane minimum Analyse combinatoire 20 P3 : on verra que, pour des evenements elementaires equiprobables, la probabilite d'un evenementGest donnee par : P(G) =Nombre de cas favorables pour Gnombre de cas possibles Exemple : on lance une piece de monnaie equitable deux fois de suite. Quelle est la probabilite que deux resultats soient identiques?Analyse combinatoire 21R : L'univers (ensemble des cas possibles) de l'experience est =f(P;P);(P;F);(F;P);(F;F)g: Doncj j= 4. L'ensemble "les deux resultats sont identiques" est
G=f(P;P);(F;F)g;
de cardinalitejGj= 2. Donc la probabilite que deux resultats soient identiques estP(G) =jGjj
j=24 = 0:5Analyse combinatoire 22Exemple : Il y anpersonnes dans une classe. Quelle est la probabilite de l'evenementG="au moins deux personnes ont le m^eme anniversaire"?
R : L'univers est
=f1;2;:::;365gn de cardinalitej j= 365n. Plut^ot que de travailler avec l'ensembleG, travaillons avec son complementaireGc="lesnanniversaires sont distincts".Cet ensemble a pour cardinalitejGcj=A365;n, donc
P(Gc) =A365;n365
n; et par consequentP(G) = 1P(Gc) = 1A365;n365 n.Q : Cette formule marche-t-elle pourn >365?
Q : A partir de quelle valeur dencette probabilite est superieure a 0.5?Analyse combinatoire 23Exemple : On repetenfois le lancer de deux des. Calculer la probabilite que le 6 apparaisse au moins une fois. Quelle valeur donner anpour que cette probabilite atteigne 1/2? La probabilite que le 6 n'apparaisse pas est52=62pour un jet. Par le principe de multiplication, la probabilite que le 6 n'apparaisse pas dans njets est(52=62)n. Donc la probabilite que le 6 apparaisse au moins une fois dansnjets est
1(5=6)2n:
Pour que cette probabilite soit superieure a 1/2, il faut quen>?.Analyse combinatoirequotesdbs_dbs24.pdfusesText_30[PDF] kg/cm2 en bar
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