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FONCTION EXPONENTIELLE

Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable sur ? telle que et . On note cette fonction exp. Conséquence : Avec la calculatrice 



Exponentielle et logarithme

La fonction exponentielle (de base e) et la fonction logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes.



Fonction exponentielle

FONCTION EXPONENTIELLE. 1.1. Définition et premières propriétés. Nous pouvons généraliser la démarche qui nous a permis d'introduire dans le.



La fonction exponentielle - Lycée dAdultes

24 nov. 2015 On en déduit alors : f(x)f(?x) = 1 donc la fonction f ne peut s'annuler. • Unicité. On suppose que deux fonctions f et g vérifient les ...



08 ? fonction exponentielle

La fonction exponentielle est strictement positive sur R. PROPRIÉTÉ. Pour tout nombre réel x d'après la relation fonctionnelle



Calculer des dérivées avec la fonction exponentielle

avec la fonction exponentielle. Quand on ne sait pas ! Tout d'abord apprendre les formules de dérivation avec les fonctions exponentielles.



FONCTION EXPONENTIELLE

Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note exp. Conséquence : exp(0) = 1. Avec la calculatrice il est possible d'observer l'allure de la.



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Dans tout ce formulaire on ne parle pas du domaine de définition de la formule : par exemple ?a Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x.



Cours sur les fonctions exponentielles et logarithmes - Bacamaths

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES. 1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien. 1.1. Théorème.



Les limites et la fonction exponentielle Les techniques pour

Les limites et la fonction exponentielle Pour lever une indétermination avec des exponentielles il y a donc deux nouvelles méthodes :.



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1) Relation fonctionnelle Théorème : Pour tous réels x et y on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement



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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 FONCTION EXPONENTIELLE Partie 1 : Définition de la fonction exponentielle de base



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Étudier la fonction exponentielle et ses limites Dans ce chapitre in est important de bien connaître les notions de dérivation revues au chapitre précédent 5 



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Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln( ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ? 



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24 nov 2015 · On obtient la courbe suivante pour : A = 2 et P = 1/10 On prendra comme fenêtre : X ? [?2; 2] et Y ? [?05; 7]



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Définition 1 : On appelle fonction exponentielle la fonction f définie sur R par f(x) est l'unique antécédent y de x par la fonction ln c'est-`a-dire ln(y) 



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Plan du cours 1 Fonctions exponentielles 2 Fonctions logarithmes 1 Fonctions exponentielles A Etude de la fonction exponentielle Définition :



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?x ? Rexp(x) × exp(?x) = 1 Supposons alors qu'il existe un réel x0 tel que exp(x0) = 0 Alors d'après la formule obtenue au-dessus 



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On pourra poser X = ?x Limite avec la fonction exponentielle Étudier les limites suivantes : a) lim x?+?

  • Comment trouver la formule fonction exponentielle ?

    Lorsqu'on cherche la règle d'une fonction exponentielle à l'aide d'un graphique ou d'une table de valeurs, on peut laisser tomber la forme y=a1(c1)b(x?h) y = a 1 ( c 1 ) b ( x ? h ) puisque la forme y=a2(c2)x y = a 2 ( c 2 ) x lui est équivalente.

  • Comment s ecrit une fonction exponentielle ?

    Le fonction exponentielle, notée exp, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Pour tout réel x et tout réel y strictement positif : ln y = x équivaut à y = exp(x) . Pour tout réel x, on pose : exp(x) = ex. Selon les cas, pour une bonne lisibilité, on utilise soit la notation exp(x) , soit ex.

  • Quand exponentielle s'annule ?

    Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction exponentielle ne s'annule jamais. Or, par définition, donc pour tout x, . Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante.
  • Par exemple, si 103 = 10 x 10 x 10 = 1000 alors log(1000) = 3 et si 10x = y alors log(y) = x. Le nombre e permet de savoir pour quelle valeur le logarithme népérien est-il égal à 1. Si ln(x) = y alors x = exp(y), or exp(1) = e.
1

FONCTION EXPONENTIELLE

I. Définition

Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que et

Démonstration de l'unicité (exigible BAC) :

L'existence est admise

- Démontrons que f ne s'annule pas sur ℝ.

Soit la fonction h définie sur ℝ par .

Pour tout réel x, on a :

La fonction h est donc constante.

Comme , on a pour tout réel x :.

La fonction f ne peut donc pas s'annuler.

- Supposons qu'il existe une fonction g telle que et .

Comme f ne s'annule pas, on pose .

k est donc une fonction constante.

Or donc pour tout x : .

Et donc . L'unicité de f est donc vérifiée. Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que et .

On note cette fonction exp.

Conséquence :

Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : f'=f f(0)=1 h(x)=f(x)f(-x) h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)-f'(-x) =f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x) =f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0 h(0)=f(0)f(0)=1 f(x)f(-x)=1 g'=g g(0)=1 k(x)= g(x) f(x) k'(x)= g'(x)f(x)-g(x)f'(x) f(x) 2 g(x)f(x)-g(x)f(x) f(x) 2 =0 k(0)= g(0) f(0) 1 1 =1 k(x)=1 f(x)=g(x) f'=f f(0)=1 exp(0)=1 2 Remarque : On prouvera dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard.

II. Etude de la fonction exponentielle

1) Dérivabilité

Propriété : La fonction exponentielle est continue et dérivable sur ℝ et Démonstration : Conséquence immédiate de sa définition

2) Variations

Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction exponentielle ne s'annule jamais.

Or, par définition, donc pour tout x, .

Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante.

3) Limites en l'infini

Propriété : et

- Propriété démontrée au paragraphe III. -

4) Courbe représentative

On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x 0 expx '=expx exp(0)=1 expx>0 expx '=expx>0 lim x→-∞ expx=0 lim x→+∞ expx=+∞ expx expx 3

III. Propriété de la fonction exponentielle

1) Relation fonctionnelle

Théorème : Pour tous réels x et y, on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.

Démonstration :

Comme , on pose avec y un nombre réel.

Pour tout x, on a .

Donc la fonction f est constante.

Comme , on en déduit que .

Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :

a) b) c) avec expx+y =expxexpy expx≠0 f(x)= exp(x+y) expx f'(x)= exp(x+y)expx-exp(x+y)expx expx 2 =0 f(0)= exp(y) exp(0) =expy exp(x+y) expx =expy exp-x 1 expx expx-y expx expy expnx =expx n n∈! 4

Démonstration :

a) b) c) La démonstration s'effectue par récurrence.

L'initialisation est triviale.

La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition :

2) Le nombre e

Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.

On a ainsi

Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e.

Notation nouvelle :

On note pour tout x réel,

Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique .

Ses premières décimales sont :

e 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995

9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...

Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est t ranscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers. Le nombre par exempl e, est irrationnel mais n'est pas transcendant puisqu'il est solution de l'équation . Un tel nombre est dit "algébrique».

Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard

Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'il s'agisse de l'initiale de son nom ma is peut être car e est la première lettre du mot exponentiel. expxexp-x =expx-x =exp(0)=1 expx-y =expx+(-y) =expxexp-y =expx 1 expy expx expy expn+1 x =expnx+x =expnx expx=expx n expx=expx n+1 exp1=e expx=exp(x×1)=exp(1) x =e x expx=e x 2 x 2 =2 5 Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : Rappelons que par exemple 5! se l it "factorielle 5" et e st égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) et b) et c) , , , , avec . d) et Remarque : On retrouve les propriétés des puissances.

Démonstration de d) (exigible BAC) :

- Soit la fonction g définie par . Pour x positif, car la fonction exponentielle est croissante.

Donc la fonction g est croissante sur .

On dresse ainsi le tableau de variations :

x 0

0 +

1

Comme , on a pour tout x, .

Et donc , soit .

D'après le théorème de comparaison des limites, on en déduit que car

Dériver une fonction exponentielle :

Vidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk

e=1+ 1 1! 1 2! 1 3! e 0 =1 e 1 =e e x >0 (e x )'=e x e x+y =e x e y e x-y e x e y e -x 1 e x e x n =e nx n∈! lim x→-∞ e x =0 lim x→+∞ e x g(x)=e x -x g'(x)=e x -1≥e 0 -1=0

0;+∞

g'(x) g(x) g(0)=1 g(x)≥1 g(x)=e x -x≥0 e x ≥x lim x→+∞ e x lim x→+∞ x=+∞ lim x→-∞ e x =lim

X→+∞

e -X =lim

X→+∞

1 e X =0 6

Méthode : Simplifier les écritures

Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY

Simplifier l'écriture des nombres suivants :

Propriétés : Pour tous réels a et b, on a : a) b) Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation

Vidéo https://youtu.be/dA73-HT-I_Y

Vidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y

a) Résoudre dans ℝ l'équation . b) Résoudre dans ℝ l'inéquation . a)

Les solutions sont -3 et 1.

b) A= e 7 ×e -4 e -5 B=e 5 -6 ×e -3 C= 1 e -3 2 e 4 -1 e 2 ×e -6 A= e 7 ×e -4 e -5 e 7-4 e -5 e 3 e -5 =e

3-(-5)

=e 8 B=e 5 -6 ×e -3 =e

5×(-6)

×e -3 =e -30 ×e -3 =e -30-3 =e -33 C= 1 e -3 2 e 4 -1 e 2 ×e -6 1 e -3×2 e

4×(-1)

e 2-6 1 e -6 e -4 e -4 =e 6 +1 e a =e b ⇔a=b e a