[PDF] Terminale S 3 Fonction exponentielle et équation





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Terminale ES - Fonction exponentielle

Fonction exponentielle. I) Définition de la fonction exponentielle. 1) Définition. Nous avons étudié dans la leçon précédente la fonction 



FONCTION EXPONENTIELLE

1) Relation fonctionnelle. Théorème : Pour tous réels x et y on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.



Fiche technique sur les limites

1 sur 3. Terminale ES 5 Fonctions logarithme et exponentielle. 5.1 Fonction ... Comparaison de la fonction exponentielle avec la fonction puissance.



Terminale ES - Fonction exponentielle de u (x)

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante alors d'après le théorème des fonctions composées le sens de variations.



T ES Fonction exponentielle

Le fonction exponentielle notée exp



Terminale ES

On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur et à valeurs dans ]0;+ ?[. Ainsi pour tout nombre réel a > 0



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2) Déduisez en la primitive F de f qui s'annule pour x=0 S = (b) Par bijectivité de la fonction exponentielle e.



Exercices de mathématiques

Exercices de Mathématiques - Terminales S ES



Terminale S

3 Fonction exponentielle et équation différentielle. 11. 4 Fonction logarithme népérien. 12. 5 Fonctions puissances et croissances comparées.



Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) ? Les nombres

Remarque : un nombre complexe admettant une infinité d'arguments il admet une infinité de formes complexes. Propriétés de la forme exponentielle. • Soit z un 



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Soit A et B deux réels l'équation = équivaut à = c'est-à-dire : Deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux



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Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I que la fonction exponentielle ne s'annule jamais Or par définition donc pour tout x



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Avec a e = on retrouve la fonction exponentielle Celle-ci est donc rigoureusement la fonction exponentielle de base e Ce que vous devez savoir faire



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pour tous nombres réels x et y f(x + y) = f(x) × f(y) (On dit qu'il s'agit d'une relation fonctionnelle) Cette fonction est appelée la fonction exponentielle 



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24 nov 2015 · Nous noterons dans la suite cette fonction exp PAUL MILAN 2 TERMINALE S Page 3 



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2) Déduisez en la primitive F de f qui s'annule pour x=0 S = (b) Par bijectivité de la fonction exponentielle e



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Programme selon les sections : - exponentielle et logarithme népérien : S ES/L STI2D STL hôtellerie - exponentielles de base a : ES/L ST2S STI2D STL



  • Comment trouver la formule fonction exponentielle ?

    Lorsqu'on cherche la règle d'une fonction exponentielle à l'aide d'un graphique ou d'une table de valeurs, on peut laisser tomber la forme y=a1(c1)b(x?h) y = a 1 ( c 1 ) b ( x ? h ) puisque la forme y=a2(c2)x y = a 2 ( c 2 ) x lui est équivalente.

  • Ou s'annule exponentielle ?

    Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard. Démonstration : Conséquence immédiate de sa définition 2) Variations Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ?. Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction exponentielle ne s'annule jamais.

  • Comment montrer qu'une fonction exponentielle est croissante ?

    Pour tout nombre réel x, exp?(x)=exp(x)>0. La fonction dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive sur R donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
  • La fonction exp prend en 1 une valeur notée e, qui vaut environ 2,718 et est un nombre transcendant.

Terminale S

Anne-Sophie PHILIPPE

BA CA 3A4A 2A 1 B 3B 4 B 2B 1 C 3 C 4C 2 C 1

Table des matières

1 Suites2

1.1 Rappels sur les suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Démonstration par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Limite d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Les fonctions6

2.1 Les limites d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Opérations sur les limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Propriétés des limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 8

2.5 Dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11

3 Fonction exponentielle et équation différentielle11

4 Fonction logarithme népérien12

5 Fonctions puissances et croissances comparées13

5.1 Fonctions puissancesxnet1xn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2 Fonctions racinenième. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 Croissances comparées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.4 Fonctions exponentielles de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Les produits scalaires16

6.1 Produits scalaires dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.2 Produits scalaires dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Représentation analytique d"une droite de l"espace18

8 Les nombres complexes19

8.1 Introduction aux nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8.2 Calculs avec les nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8.3 Equation du second degré à coefficientsréels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8.4 Module et argument d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.5 Propriétés du module et des arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.6 Lien avec le plan complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.7 Notation exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8.8 Nombres complexes et transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9 Intégration25

9.1 Intégration des fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

9.2 Propriétés de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9.3 Primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 27

9.4 Intégrale et primitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9.5 Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

10 Les probabilités29

10.1 Introduction aux probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10.2 Calculs de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10.3 Variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Fiches de MathématiquesTABLE DES MATIÈRES

11 Dénombrement et lois de probabilité31

11.1 Dénombrement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

11.2 Exemples de lois discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

11.3 Lois de probabilité continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

12 Probabilités conditionnelles34

12.1 Les probabilités conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

12.2 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34

1

Fiches de Mathématiques1 SUITES

1 Suites

1.1 Rappels sur les suites

Variations d"une suite

?La suite(un)n??est croissante à partir du rangn0si et seulement si, pour toutn?n0,un+1?nn. ?La suite(un)n??est décroissante à partir du rangn0si et seulement si, pour toutn?n0,Un+1?Un. ?Une suite(un)n??est dite monotone si elle est croissante ou décroissante.

Etude du sens de variation d"une suite

?Etude du signe deun+1-un. ?un=f(n), sifest monotone sur[0;+∞], alors la suite(un)n??est monotone, de même variation quef(formule explicite). ?Si(un)n??est strictement positive, on peut comparerun+1 unet 1. Si un+1 un>1,(un)n??est strictement croissante. Si un+1 un<1,(un)n??est strictement décroissante.

Suites majorées, minorées, bornées...

?La suite(un)n??est majorée s"il existe un réelMtel que pour tout entiern,un?M. ?La suite(un)n??est minorée s"il existe un réelmtel que pour tout entiern,un?m. ?La suite(un)n??est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites arithmétiques

?Une suite(un)n??est arithmétique s"il existe un réelr(la raison) indépendant dentel que, pour tout

n??, u n+1=un+r ?Pour tous entiersnetp,un=up+(n-p)×r. ?un=u0+n.r. ?limn→+∞un="+∞, sir>0 -∞, sir<0 ?Somme de termes consécutifs : (nombre de termes)×1erterme×dernier terme 2

Exemple :

1+2+...+n=n×(n+1)2

2

Fiches de Mathématiques1 SUITES

Suites géométriques

?Une suite(un)n??est géométrique s"il existe un réelq(la raison) indépendant dentel que, pour tout

n??, u n+1=un+q ?Pour tous entiersnetp,un=up×qn-q. ?un=u0×qn. ?limn→+∞qn="+∞, siq>1

0, si 0 ?Somme de termes consécutifs : (1ertermes)×1-qnombre de termes 1-q

Exemple :

1+q1+q2+...+qn=1×1-qn+11-q

Attention : nombre de termes=n+1-1erterme

1.3 Démonstration par récurrence

Démonstration par récurrence

Pour démontrer que pour tout entiern?n0,Pn(proposition qui dépend den) est vraie, il faut : ?Initialisation: vérifier quePn0est vraie pourn0?0. ?Hypothèse de récurrence: considérer quePkest vraie pour un certain entierk?n0. ?Propriété d"hérédité: démontrer quePn+1est vraie. ?Conclusion: pour toutn?n0,Pnest vraie.

1.4 Limite d"une suite

Limites d"une suite numérique(un)n??

?La suite(un)n??converge vers un réel?. Ceci signifie que tout intervalle contenant?contient aussi

tous les termes de la suite à partir d"un certain rangp. lim n→+∞un=? (un)n??est convergente et converge vers?.

?La suite(un)n??a pour limite+∞. Cela signifie que tout intervalle ouvert]A;+∞[contient tous les

termes de la suite à partir d"un certain rangp. La suite est divergente.

?La suite(un)n??a pour limite-∞. Ceci signifie que tout intervalle ouvert]-∞;B[contient tous les

termes de la suite à partir d"un certain rangp. La suite est divergente. ?La suite(un)n??n"admet aucune limite. La suite est divergente. 3

Fiches de Mathématiques1 SUITES

Suites monotones

?Si une suite(un)n??est croissante et non majorée, alors : lim n→+∞un=+∞ ?Si une suite(un)n??est décroissante et non minorée, alors : lim n→+∞un=-∞ ?Une suite croissante et majorée est convergente. ?Une suite décroissante et minorée est convergente. ROC 1 : limite d"une suite croissante non majorée

?La suite(un)n??n"est pas majorée : quelque soit le réelA, on peut trouver un entierptel queup?A.

?La suite(un)n??est croissante. Pour toutn?p:#un?up u n>A. ?A partir du rangp, tous les termes de la suite sont dans]A;+∞[. ?Conclusion : par définition, cela prouve : lim n→+∞un=+∞ ROC 2 : limite d"une suite décroissante non minorée

?La suite(un)n??n"est pas minorée : quelque soit le réelB, on peut trouver un entierptel queup?B

?La suite(un)n??est décroissante. Pour toutn?p:#un?up u n?Soit la suite(un)n??, croissante et majorée par un réelM. NotonsA, le plus petit des majorants.

?Tout intervalle]A-α;A+α[contient au moins un termeupde la suite. Sinon,A-αserait un majorant de la suite, ce qui contredit le fait queAsoit le plus petit des majorants. ?La suite(un)n??est croissante : pour toutn?p,un?up.

?Conclusion: l"intervalle]A-α;A+α[contient tous les termes de la suite à partir du rangp. Ceci

est vrai, quel que soit le réelα >0. Par définition, la suite(un)n??converge et à pour limiteA. 4

Fiches de Mathématiques1 SUITES

ROC 4 : limite d"une suite décroissante et minorée

?Soit la suite(un)n??décroissante et minorée par un réelm. NotonsB, le plus grand des minorants.

?Tout intervalle]B-α;B+α[contient au moins un termeupde la suite. Sinon,B+αserait un minorant de la suite, ce qui contredit le fait queBsoit le plus grand des minorants. ?La suite(un)n??est décroissante : pour toutn?p,un?up.

?Conclusion: l"intervalle]B-α;B+α[contient tous les termes de la suite à partir du rangp. Ceci

est vrai, quelque soit le réelα >0. Par définition, la suite(un)n??converge et à pour limiteB.

Limite d"une suite géométrique

?Soit(un)n??, une suite géométrique de raisonqnon nulle.

Pour tout entiern:

un=u0×qn ?Si|q|<1, limn→+∞qn=0 ?Siq>1, limn→+∞qn= +∞ ?Siq=1, limn→+∞qn=1 ?Siq?-1,qnn"a pas de limite. Théorème d"encadrement (" des gendarmes ») Soient trois suites(un)n??,(vn)n??,(wn)n??telles que : ?n?n0,v n?un?wnlimn→+∞vn=? lim n→+∞wn=???? limn→+∞un=?

1.5 Suites adjacentes

Théorème et définition

Deux suites(un)n??et(vn)n??sont adjacentes si et seulement si : ?(un)n??est croissante. ?(un)n??est décroissante. ?limn→+∞un-vn=0

Théorème: Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et elles ont la même limite.

5

Fiches de Mathématiques2 LES FONCTIONS

2 Les fonctions

2.1 Les limites d"une fonction

Définitions

?Limite finie d"une fonction en+ou-∞: présence d"une assymptote horizontale (d"équationy=?)

à?fen+ou-∞.

lim x→+∞1 xn=0 lim x→+∞1 ?x=0 ?Limite infinie d"une fonction à l"infini. Pas d"assymptote. lim x→+∞xn= +∞ lim x→+∞? x=+∞ lim x→-∞xn= +∞(npair) lim x→+∞xn=-∞(nimpair) ?Cas particulier : limx→+∞f(x)-(ax+b)=0 La droite d"équationy=ax+best assymptote oblique à?fen+∞. ?Limite def(x)quandxtend versaen+∞: présence d"une assymptote verticale (x=a) à?f. lim x→0+1 xn=lim x→0-1xn=+∞(npair) lim x→0+1 xn= +∞et limquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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