Loi binomiale cours
http://mathsfg.net.free.fr/terminale/TSTMG2020/binomiale/binomialecoursTSTMG.pdf
LOI BINOMIALE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LOI BINOMIALE. I. Répétition d'expériences identiques et indépendantes. Exemples :.
Lois normales cours
http://mathsfg.net.free.fr/terminale/TSTMG2013/loinormale/loinormalecoursTSTMG.pdf
Exercices de mathématiques
Exercices de Mathématiques - Terminales S ES
Cours de mathématiques – Terminale STMG
Cours de mathématiques – Terminale STMG : 1/32. Page 2. b) Utilisation d'un arbre. a) Approximation de la loi binomiale par une loi normale.
FICHE DE RÉVISION DU BAC
probabilités conditionnelles : STMG ST2S
Cours de Mathématiques en terminale STMG
Cours de Mathématiques en terminale STMG. Michel IMBERT 7 La loi binomiale ... IV Intervalle de fluctuation 2? d'une loi normale.
Diapositive 1
introduite à partir de la loi binomiale. (théorème de Moivre-Laplace) en ES/L. S et STMG ; à partir de la loi uniforme en STI2D et STL … « on s'appuie sur l'
Première STMG - Schéma de Bernoulli – Loi binomiale
Schéma de Bernoulli – Loi binomiale. I) Epreuve et loi de Bernoulli. 1) Définition. On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre toute expérience
Exercices de mathématiques pour la classe terminale - 2e partie
1Exercices de mathématiques - classes de terminale S ES
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On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si : • X prend pour seules valeurs 1 (« succès ») et 0 (« échec ») ; • P(X = 1) = p et P(X =0)=1 ? p
[PDF] Loi de Bernoulli et loi binomiale cours terminale STMG - Mathsfg
Loi de Bernoulli et loi binomiale cours terminale STMG et de calculer les coefficients binomiaux et qui s'appuie sur la formule précédente
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Définition : Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité qui suit le schéma suivant : - la probabilité d'obtenir un succès est égale à p - la probabilité
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Définition Soit la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de paramètre La loi de est appelée loi
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Schéma de Bernoulli – Loi binomiale I) Epreuve et loi de Bernoulli 1) Définition On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre toute expérience
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Epreuve de Bernouilli loi binomiale espérance variance écart-type : STMG ES/L S Prérequis calcul de puissances Plan du cours 1 Vocabulaire
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Partie A : Loi binomiale Exercice 1 Dans une région pétrolifère la probabilité qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est 01
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Une loi normale a 2 paramètres : • µ (« mu ») est l'espérance mathématique (ou moyenne) • ? (« sigma ») est l'écart type Si une variable aléatoire X suit une
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Propriété : Deux paramètres caractérisent une loi normale : • Son espérance ? égale à celle de la loi binomiale qu'elle approche c'est-à-dire n× p
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Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale • en ES/L et S – coefficients binomiaux est le nombre de chemins qui réalisent exactement k succès
Schéma de Bernoulli - Loi binomiale
I) Epreuve et loi de Bernoulli
1) Définition
On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre , toute expérience aléatoire admettant deux issues exactement :• L'une appelée succès notée ࡿ dont la probabilité de réalisation est
• L'autre appelée échec notée ࡱ ou ࡿExemples
1) Un lancer de pièce de monnaie bien équilibrée est une épreuve de Bernoulli de
paramètre ( le succès S étant indifféremment " obtenir PILE » ou " obtenirFACE » ).
2) Un lancer de dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, dans
lequel on s'intéresse à l'apparition de S : " obtenir un 1» est une épreuve de Bernoulli
de paramètre et la probabilité de ܵ3) Extraire une carte d'un jeu de 32 cartes et s'intéresser à l'obtention d'un as est une
épreuve de Bernoulli de paramètre
et la probabilité de ܵIllustration
Note historique : Jacques Bernoulli est un mathématicien suisse (1654 - 1705)II) Schéma de Bernoulli
1) Définition 1 : Schéma de Bernoulli
On appelle schéma de Bernoulli comportant épreuves ( entier naturel non nul) de paramètre , toute expérience consistant à répéter fois de façon indépendantes une même épreuve de Bernoulli de paramètre .Exemples :
1) 5 lancers successifs d'une pièce bien équilibrée, en appelant succès l'obtention de
PILE constitue un schéma de Bernoulli avec
ൌ et de paramètre ൌ2) 10 lancers de dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, en
appelant succès l'apparition de S : " obtenir un 1» constitue un schéma de Bernoulli avec ݊ ൌ ͳͲ et de paramètre ൌRemarques :
• Un schéma de Bernoulli peut être illustré par un arbre (ci-dessous cas de = 3)
• Un résultat est une liste de ݊ issues ܵ ou ܵҧ ( par exemple {ܵ, ܵҧ, ܵҧ, ܵ, ܵ
schéma à 5 épreuves ) • Le chemin codé ܵ ܵҧ ܵҧ ܵ ܵIllustration :
2) Définition 2 : Schéma de Bernoulli
On considère un schéma de Bernoulli de épreuves entier naturel non nul), représenté par un arbre comme ci-dessus Sur chaque branche de l'arbre on indique la probabilité de l'événement placé à droite de cette branche. On admet que, pour la répétitions d'expériences identiques et indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chacun des résultats.Exemple :
Dans l'arbre représenté ci-dessus on a :
La probabilité de la liste ( ܵ ; ܵҧ ; ܵLa probabilité de la liste ( ܵҧ ; ܵ
ഥ ) est :III) Loi binomiale
1) Définition
On considère une épreuve de Bernoulli dans laquelle la probabilité du succès est . On répète fois cette épreuve de façon identique et indépendante. Soit ࢄ la fonction qui à chaque issue du schéma de Bernoulli prend pour valeurs le nombre de succès obtenus. On dit que ࢄ est la variable aléatoire associée à ce schéma.On note "ࢄ ൌ " l'événement " on obtient succès" et P(ࢄ ൌ )
la probabilité de cet événement. On appelle "loi de ࢄ" la donnée de chacune des valeurs de P(ࢄ ൌ ) pour variant de 0 à On dit que ࢄ suit une loi binomiale de paramètres et , notée B( , )Exemple 1 :
On considère l'expérience suivante : On lance 10 fois de suite un dé bien équilibré dont
les faces sont numérotées de 1 à 6. On appelle X la variable aléatoire qui prend la valeur
correspondant au nombre de fois où la face 1 apparaît.Quelle est la loi suivie par la variable ܺ
Solution :
Les lancers étant identiques et indépendants ܺ݊ = 10 et = ଵ
B(ͳͲ ,Exemple 2 :
Deux joueurs Alain et Bernard s'affrontent dans un tournoi de tennis. Alain et Bernard jouent 9 matchs. La probabilité qu'Alain gagne un match est 0,6.Le vainqueur est celui qui gagne le plus de matchs. Soit ܺ gagnés par Bernard.Quelle est la loi suivie par ?.
Solution :
Les matchs étant identiques et leurs résultats indépendants ܺ paramètresExemple 3 : (Loi d'une variable aléatoire)
On lance 3 fois un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et
on s'intéresse à l'apparition de S : " obtenir un 1» c'est une épreuve de Bernoulli de paramètre et la probabilité de ܵSoit ܺ
lancers. Les lancers étant identiques et indépendants ܺ݊ =3 et =
B(͵ ,
L'expérience peut être illustrée par l'arbre ci-dessous :La loi suivie
La loi suivie par ࢄ est la suivante :
P(ܺ
H 9 H 9 L 56965:
P(ܺ
H 9 H 9 H 5 H 9 E 9 H 9 H 5 L ;9 65:P(ܺ
H 5 H 9 H 9 H 5 E 9 H 5 H 5 L 5965:
P(ܺ
H 5 H 5 L 5 65:2) Espérance, Ecart type
L'espérance de la variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres ݊ et est E(X) = ݊ et son écart type estı(X) =
Exemples
Dans l'Exemple 1 précédent
E(ܺ
1,67 et ı ( ܺ H 9 9 1,18Dans l'Exemple 2 précédent
E(ܺ
= 3,6 et ı (ܺ 1,47Dans l'Exemple 3 précédent
E(ܺ
= 0,5 et ı (ܺ H 9 0,653) Représentation graphique d'une loi binomiale
Exemple :
On considère un paquet de cartes contenant 3 coeurs et 7 piques, on effectue100 tirages d'une carte en remettant à chaque fois la carte dans le paquet. A l'aide du
tableur, on veut déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence d'une carte de coeur dans l'échantillon prélevé.Solution :
Le nombre ܺ
B (100 ; 0,3 )
Ci-dessous une copie d'écran du tableur avec les valeurs prises par la variable ܺ l'histogramme représentant cette loi :quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13[PDF] série es
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