[PDF] LANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.)

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L'ANALYSE EN

COMPOSANTES PRINCIPALES

(A.C.P.)

Pierre-Louis GONZALEZ

2

Données

n individus observés sur p variables quantitatives. L'A.C.P. permet d'explorer les liaisons entre variables et les ressemblances entre individus.

Résultats

Visualisation des individus

(Notion de distances entre individus)

Visualisation des variables

(en fonction de leurs corrélations)

INTRODUCTION

3 Mesurer la qualité des représentations obtenues : critère global critères individuels " Donner des noms aux axes »

Expliquer la position des individus

Utilisation éventuelle de variables supplémentaires (illustratives)

INTERPRÉTATION DES RÉSULTATS

4 X 1 X 2 X j X p x 11 x 21
x i 1 x n1 x j 1 x j 2 x ij x nj x p 1 x p 2 x ip x n p n

Variable X

j p individu e i X (n,p)

I. L'ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES

LE PROBLÈME

1. LES DONNÉES

p variables quantitatives observées sur n individus.

INDIVIDU = Élément de R

p

VARIABLE = Élément de R

n 5 On cherche à représenter le nuage des individus.

A chaque individu noté e

i , on peut associer un point dans R p = espace des individus. A chaque variable du tableau X est associé un axe de R p X 3 x i3 e i x i2 X 2 X 1 x i1

Impossible à

visualiser dès que p > 3. 6 On cherche une représentation des n individus , dans un sous-espace F k de R p de dimension k ( k petit 2, 3 ...; par exemple un plan) Autrement dit, on cherche à définir k nouvelles variables combinaisons linéaires des p variables initialesqui feront perdre le moins d'information possible.2. PRINCIPE DE L'A.C.P. Ces variables seront appelées "composantes principales les axes qu'elles déterminent : "axes principaux les formes linéaires associées : "facteurs principaux 7

ON VISUALISE

X 1 X 2 R p X i axe 3axe 1axe 2 F 3 axes principaux 8 " Perdre le moins d'information possible F k devra être " ajusté » le mieux possible au nuage des individus: la somme des carrés des distances des individus à F k doit être minimale. d F k est le sous-espace tel que le nuage projeté ait une inertie(dispersion) maximale. et sont basées sur les notions de : distance projection orthogonale 9 e j f j f i 2 i j i j 1 e i

La distance entre f

i et f j est inférieure ou

égale à celle entre e

i et e j 10

3. LE CHOIX DE LA DISTANCE ENTRE INDIVIDUS

y B y A x A x B AB

Dans le plan:

dAB x x y y

BA BA222

Dans l'espace R

p à p dimensions, on généralise cette notion : la distance euclidienne entre deux individus s'écrit ex iii ip 12 x . x.. ex jjjjp 12 x . x.. dee x x x x x x ij i j i j ip jp21122222 dee x x ij ik jk kp 22
1

Le problème des unités ?

11 Pour résoudre ce problème, on choisit de transformer les données en données centrées-réduites.

L'observation est alors remplacée par :

x ik

UNITÉS D'ÉCART TYPE:

où : moyenne de la variable X k s k = écart-type de la variableX k x ik x s k k x k

Exemple

Puissance moyenne de 30 voitures = 92 ch Ecart-type = 24 ch

La Renault 21 TXI a une puissance de 140 ch

La Renault 21 TXI a une puissance de :

2 écarts-type au-dessus de la moyenne.

140 92

242
12

4. INERTIE TOTALE

Ineg gi in d1 2 1 n2 gii i1

I p de,

g ou de façon plus générale L'inertie est la somme pondérée des carrés des distances des individus au centre de gravité L'inertie mesure la dispersion totale du nuage de points. g n i i1 p = 1 avec 13 L'inertie est donc aussi égale à la somme des variances des variables étudiées.

En notant V la matrice de variances-covariances :

V = s 12 12 s s 22
s p1 s p1 s p2 I gi ip s 2 1 ITr V g RemarqueDans le cas où les variables sont centrées réduites, la variance de chaque variable vaut 1. L'inertie totale est alors égale à p(nombre de variables). 14 Équivalence des deux critères concernant la perte d'information F g f i e i

Soit F un sous-ensemble de R

p la projection orthogonale de sur F

Projection orthogonale du

nuage sur un sous-espace f i e i eg ef fg i iiii 222

1 . n..

15

On va chercher F tel que :

pe f iii in soit minimal 2 1 ce qui revient d'après le théorème de Pythagore àmaximiser pf g ii in 2 1 16 eg ef fg i iiii 222

1 . n..

pe g pe f pf g iiquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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