PHQ114: Mecanique I
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1 Lois deKepler , lois de Newton ...
1.1 Les loisde Kepler
• Première loi : Les planètes décrivent une ellipse dont le Soleil occupe l"un des foyers. ra(1e2)1ecos(θ)
?O ?Soleil ?F ?A ?Planète r c a • Deuxième loi : Le rayon Soleil-Planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux. dS dtconstante. ?O F ?A ?M1 ?M2?M1 ?M2 ?A • Troisième loi :Le carré de la période de révolution
est proportionnel au cube du demi grand-axe de l"orbite. a 3T2cste
Planètea en uaP en année
Mercure0.3870.241
Vénus0.7230.615
Terre11
Mars1.5241.882
Jupiter5.20211.86
Saturne9.55529.46
111 2 311/2 grandaxe enUAPériode en années
échelleslogarithmiques
Mercure?
Vénus?
Terre?Mars?
Jupiter?
Saturne
Mercure?
Vénus?
Terre?Mars?
Jupiter?
Saturne
y1.5x1.2 Les loisde Newton
• Loi de la gravitation universelle :Deux corps quelconques s"attirent en raison directe de leurmasse et en raison inverse du carré de la distance de leurs
centres de gravité. • Première loi de Newton ou principe de l"inertie (initialement formulé par Galilée) :Dansun référentiel galiléen, le centre d"inertie G d"un solide soumis à un ensemble de forcesdont la somme vectorielle est
nulle est soit au repos, soit animé d"un mouvement rectiligne et uniforme (le vecteur vitesse demeure constant).
• Deuxième loi de Newton (ou théorème du centre d"inertie) :Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la
masse de l"objet par son vecteur accélération. • Troisième loi de Newton :Lorsqu"un solideS1exerce une force sur un solideS2, le solideS2exerce sur le solideS1, la force directement opposée.
Gravitation1
Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril20142 Deuxième loi de Kepler: la loi des aires
On considère un corps célestePde massemsoumis à l"attraction d"un corps céleste S de masseM. Il est soumis à une force
d"attraction ?F. r rdθ (rdr)dθrdrSθ?
Passons en coordonnées polaires.
On arf(θ) et l"aire balayée par le rayon vecteur?rpendant l"intervalle de tempsdtest telle que : 12rrdθdS12(rdr)(rdr)dθ.
On en déduit :
dS12r2dθ.
Et : dS dt12r2dθdt.(1) ?rSP ?F S× P? S Pv v rvn D"après le principe fondamental de la dynamique, on a : Fmd?v dt(variation de la quantité de mouvement).Le moment cinétique
?σest le moment de la quantité de mouvement, au- trement dit :σ?rm?v.
Comme ?Fet?rsont colinéaires, on a : d dt?rmd?vdt?0.Le moment cinétique est constant.
On a?v?vr?vn.
vret?rsont colinéaires et?σ?rm?vn..Mais?vnrdθ
dt, alorsσmr2dθ
dtconstante.(1)De (1) et (1"), on déduit :
dS dtσ2m12r2dθdtconstante.(2)3 Première loi de Kepler.
3.1 Trajectoire d"un corps soumisà une accélération centrale.
ur x× S× P On considèreun corps célestePde massemsoumis àl"attrac- tion d"un corps céleste S de masseM.On note :SPr,SP?ret?u1
r?r.Le rayon vecteur
SP?rdu corps céleste P de massemsou-
ment mais l"énergie totale de P reste constante. On sait que l"énergie totale est :EtotECEPavec l"énergie cinétique :EC12mv2et l"énergie potentielle :EPGMmr.
Gravitation2
Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril2014 u? v r S× POn considère le repère mobile
P,?u,?u
. DeSPr?u, on déduit par dérivation : vdr dt?urdθdt?u.On a donc :?v2dr
dt 2 r2dθdt 2Et par conséquent :
E tot12mv2GMmr12mdrdt
2 r2dθdt 2 GMmr.D"après la loi des aires :
dS dtest une constante, on en déduit donc que :r2dθdtconstanteK.Et finalement :dθ
dtKr2. En remplaçant dans l"expression de l"énergie totale, on obtient : E tot12mdrdt
2 r2Kr2 2 GMmr.Ou encore :
E tot12mdrdt
2 K2r2 GMmr.Effectuons un changement de variable...On a :
dr dtdrdθdθdtKr2drdθ. On en déduit une autre expression de l"énergie totale : E tot12mKr2drdθ
2 K2r2 GMmr 12mK2r2
1r2drdθ
2 1 GMmr Effectuons un autre changement de variable en posant : 1 ru. On a alors en différenciant par rapport àθ:1 r2drdθdudθdont on déduit :drdθr2dudθ. On en tire une autre expression de l"énergie totale en fonction deu: E tot12mK2u2
r2dudθ
2 1 GMmu 12mK2dudθ
2 u2 GMmuL"énergie totale est constante, alors si on dérive l"expression précédente par rapport àθ, on obtient :
01 2mK22dudθd
2udθ22ududθ
GMmdudθ
0mK2du
dθd2udθ2ududθ
GMmdudθ
0mdu dθ K2d2udθ2u
GM0K2d2u
dθ2u GM K2d2u dθ2u GM d2u dθ2uGMK2Gravitation3
Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril2014 Cette équation différentielle admet comme solution :u1rAcos(θθ0)GMK2.On en déduit :r1
Acos(θθ0)GMK2.
On pose :(3)
1 pGMK2,(4)eAp; ce qui donne : rp ecos(θθ0)1.On reconnait l"équation polaire d"une conique d"excentricitée, de paramètrep, oùθ0est l"angle que fait le grand axe de la
conique avec l"axe polaire à l"origine des temps. • Sie0, la conique est un cercle. • Si 0e1, la conique est une ellipse. • Sie1, la conique est une parabole. • Sie1, la conique est une hyperbole.3.2 Cas de l"ellipse
p OFc OAa? F? F A? P OPrenons :θ00 etrpecosθ1.
Avecθπ
2,rpPF.
Par définition de l"ellipse on a :PFp,PFPF2aet
commePFF90o:FF2PF2PF2.
On en déduit :
pPF2a p2(2c)2PF2PF2ap
p2(2c)2(2ap)2
PF2ap p24c24a24app2PF2ap
c 2a2apMaisec
aetc2e2a2, alorspaae2a(1e2) et finalement : ra(1e2) ecosθ1. • Périhélie pourθ0, cosθ1 etra(1e) • Aphélie pourθ180o, cosθ1 etra(1e)4 Troisième loi deKepler
On a vu que :
rp ecos(θθ0)1,oùpa(1e2).D"après (2)
dS dtK2et en intégrant :S(t)σ2mtK2t. Sur une périodePpour une ellipse de grand axeaet de petit axeb, on a :S(P)πabK2Pet (6) :(πab)2K2P
2On a vu au 3.2 que :pa(1e2).
De (3), on déduit :K2GMpetK2GMa(1e2).
D"autre part :b2a2(1e2), alors (6) donne :
πa2a2(1e2)K2
4P2π2a2a2(1e2)K2P24
π2a2a2(1e2)GMa(1e2)P2
4GMa(1e2)P2
4π2a3GMP24
a3P2GM4π2.
Gravitation4
Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril20145 Orbite des planèteset équation deKepler.
E est une ellipse d"excentricitée, de centre O de grand axea, de petit axeba1e2et de foyersFetF.
On considère C le cercle de centre O et de rayona. M" est le point de C qui a même abscisse que le point M de l"ellipse. On va remplacerretθpar une variable unique : l"anomalie excentriqueu, oùuest l"angle que forme le rayonOMavec avec l"axe des abscisses.On va exprimerren fonction deuetdθ
dten fonction deu. ×O C×M?
MA×P×F×F
×H r uθ5.1 Expression deren fonction deu.
Soityl"ordonnée de M etycelle de M".
Pour M, on a :
x2 a2y2b21.Pour M" on a :
x2 a2y2a21. En soustrayant terme à terme ces deux relations, on obtient : y2 b2y2a2yyba. Orba1e2, alorsyy1e2.
De OMOFFM, on déduit :xacosucrcosθrcosθacosuca(cosue).DeOMOFFM, on déduit :yasinuy
On a les deux relations :
rcosθa(cosue) rsinθasinu 1e2On élève au carré et on ajoute terme à terme; on obtient : r
On a finalement :
(I):ra(1ecosu).5.2 Expression de
dθ dten fonction deu. rcosθa(cosue) ra(1ecosu)r cos 2θ 2 sin2θ2 a(cosue) r cos 2θ 2 sin2θ2 a(1ecosu) Par addition et par soustraction des égalités précédentes,on obtient :quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] EAJE - JIRP
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