[PDF] –Texte– Décompositions datomes radioactifs

View - Download –Texte– Décompositions datomes radioactifs

Previous PDF

Next PDF

Universit

´es Rennes I -´Epreuve de mod´elisation - Agr´egation Externe de Math´ematiques -2007.Page n°1.-Texte-

D´ecompositions d"atomes radioactifs1 Mod´elisation

On consid`ere un fragment de kryptonite. Celle-ci est constitu´ee d"atomes radioactifs susceptibles de se

d´ecomposer en atomes instables qui se d´ecomposent eux-mˆemes pour donner une forme stable et inerte.

La premi`ere d´ecomposition est tr`es lente et, durant l"exp´erience, peu d"atomes de kryptonite se seront

d´ecompos´es. Un atome donn´e choisit de se d´ecomposer ind´ependamment des autres (pas de r´eactions en

chaˆıne) et sans que son ˆage n"ait d"influence sur son taux de d´ecomposition. Le s´ejour d"un atome dans

la forme instable est beaucoup plus court mais ob´eit au mˆeme principe d"absence de vieillissement et

d"ind´ependance par rapport aux autres atomes.

Pour mod´eliser l"apparition de la forme instable, on utilise un processus de Poisson, dont nous noterons

l"intensit´eλ. Nous supposerons qu"un atome instable se d´ecomposera `a nouveau (pour rejoindre la position

inerte) au bout d"un temps exponentiel dont le param`etre sera not´eμ. Le processus de Poisson et les

temps de s´ejour dans l"´etat instable de tous les atomes seront suppos´es ind´ependants.

On s"int´eresse `aXtle nombre d"atomes au tempstpr´esents sous la forme instable et `a la fa¸con

d"estimer les param`etres du mod`ele.

2 Quelques remarques classiques sur les lois exponentiellesProposition 2.1(Absence de m´emoire).Une variable al´eatoireT`a valeurs dansR+? {+∞}suit une

loi exponentielle si et seulement si elle v´erifie la propri´et´e d"absence de m´emoire :

?s,t?0,P(T > t+s|T > s) =P(T > t).Proposition 2.2.SoitIun ensemble fini et(Tk)k?Ides v.a. exponentielles de param`etres respectifs

(λk)k?I. SoitT= infkTketλ=? kλk. Alors, avec probabilit´e 1, l"infimum est atteint en un unique

K(al´eatoire) ´el´ement deI. De plus,TetKsont ind´ependantes,Tsuit la loiE(λ)et pour toutk?I,

P(K=k) =λk/λ.D´emonstration.Soitk?Iett?0.

P(K=k,T?t) =P(Tk?t,Tj> Tk,j?=k) =?

t ke-λksP(Tj> s,j?=k)ds t ke-λks? j?=ke -λjsds=? t ke-λsds=λkλ e-λt. On conclut en remarquant que les ensembles{K=k} × {T?t}engendre la tribu produit.3

´Equations de Chapman-Kolmogorov

Pour toutt?R+et toutn?N, on notepn(t) =P(Xt=n).Proposition 3.1.Les fonctions(pn(·))n?Nsont de classeC1et satisfont le syst`eme d"´equations diff´eren-

tielles lin´eaire suivant : ?n?N, p?n(t) =-(λ+nμ)pn(t) +λpn-1(t) + (n+ 1)μpn+1(t),(1)

avec la conventionp-1(t) = 0pour toutt?0, la loi initiale(pn(0))n?N´etant donn´ee.Mars 2007. Copyright

c?F. Malrieu . GNU FDL Copyleft.Page n°1.

Universit

´es Rennes I -´Epreuve de mod´elisation - Agr´egation Externe de Math´ematiques -2007.Page n°2.D´emonstration.Pour calculerpn(t+h), on remarque que siXt+h=nalors l"une des conditions incom-

patibles suivantes est r´ealis´ee :1.X u=npour toutu?[t,t+h[,2.X t=n-1 et une seule transition a lieu (den-1 versn),3.X

t=n+ 1 et une seule transition a lieu (den+ 1 versn),4.durant l"intervalle ]t,t+h[, au moins deux transitions ont lieu.

D"apr`es les propositions2.1et2.2, le processus reste dans l"´etatnun temps al´eatoire de loi exponen-

tielle de param`etreλ+nμpuis saute den`an-1 oun+ 1 avec probabilit´es respectivesnμ/(λ+nμ) et

λ/(λ+nμ). On en d´eduit, par conditionnement, que p n(t+h) =pn(t){1-λh-nμh}+λhpn-1(t) + (n+ 1)μhpn+1(t) +o(h). Il reste `a faire tendrehvers 0.4 Loi du nombre d"atomes Il y a plusieurs fa¸cons de d´eterminer la loi deXt.

4.1 Fonctions g´en´eratrices

On cherche `a d´eterminer la fonction g´en´eratrice deXt. Pour toutt?R+et touts?]-1,1[, on pose

G(s,t) :=E?sXt?=∞?

n=0s

npn(t).Lemme 4.1.La fonctionGest de classeC1sur]-1,1[×R+et satisfait l"´equation aux d´eriv´ees partielles

suivante

tG(s,t) = (1-s)[μ∂sG(s,t)-λG(s,t)].(2)Proposition 4.2.SiG0est la s´erie g´en´eratrice deX0alors, pour toutt?0et touts?]-1,1[,

G(s,t) = exp?λμ

(1-e-μt(1-s))? G

0(1-e-μt+se-μt).D´emonstration.On pourra poserH(s,t) = logG(s,t) puis faire le changement de variables (s,τ) =

(s,(1-s)e-μt). En notant˜Hla fonction telle queH(s,t) =˜H(s,τ), on montre que˜Hs"´ecrit sous la

forme

˜H(s,τ) =λμ

s+h(τ), o`uhreste `a d´eterminer. Ceci revient `a dire queHest de la forme

H(s,t) =λμ

s+h((1-s)e-μt).

La fonctionhest caract´eris´ee par le fait queH(s,0) = logG0(s) pour touts?]-1,1[.Corollaire 4.3.On obtient par exemple les lois deXtlorsqueX0est d´eterministe :

L(Xt|X0= 0) =P?λμ

?1-e-μt?? et, pour toutk?N?,

L(Xt|X0=k) =P?λμ

?1-e-μt?? ? B(k,e-μt).Mars 2007. Copyright c?F. Malrieu . GNU FDL Copyleft.Page n°2.

Universit

´es Rennes I -´Epreuve de mod´elisation - Agr´egation Externe de Math´ematiques -2007.Page n°3.4.2 Un raisonnement plus probabiliste

Supposons dans un premier temps queX0= 0. Notons (Nt)t?0le processus de Poisson de param`etreλ

r´egissant l"apparition des atomes instables. Soitt >0. La variable al´eatoireNtsuit la loi de PoissonP(λt).

De plus, sachant queNt=n, la loi desninstants de saut deNsont distribu´es comme unn-´echantillon

r´eordonn´e de variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi uniforme sur [0,t]. Un atome, apparu `a un

instant al´eatoire de loi uniforme sur [0,t], est encore pr´esent `a l"instanttavec une probabilit´e ´egale `a

q(t) :=1t t 0 (1-Fμ(s))ds=1μt (1-e-μt),

o`uFμest la fonction de r´epartition de la loiE(μ). On obtient donc, par ind´ependance des atomes, pour

toutk?N1,

P(Xt=k) =∞?

n=kP(Xt=k|Nt=n)P(Nt=n) n=kC knq(t)k(1-q(t))n-ke-λt(λt)nn! =eλtq(t)(λtq(t))kk!.

On en d´eduit donc que la loi deXtsachant queX0= 0 est la loi de Poisson de param`etreλ(1-e-μt)/μ.Remarque4.4.Si les temps de d´esint´egration des atomes instables ne sont plus de loi exponentielle mais

sont i.i.d. de fonction de r´epartitionF, on montre de mˆeme que la loi deXtsachant queX0= 0 est une

loi de Poisson de param`etreλ?t

0(1-F(s))ds.

D´eterminer la loi deXtsachant queX0=k, pourk?N?, est tr`es facile. Il suffit de remarquer que,

puisque les temps de d´esint´egration des atomes sont ind´ependants et de loi exponentielle (absence de

m´emoire), la loi deXtsachant queX0=kest la convolution de la loi deXtsachant queX0= 0 et de la loi du nombre d"atomes non encore d´esint´egr´es `a l"instanttparmi leskatomes initiaux.

Enfin la loi deXtpour une mesure initiale donn´ee sera une combinaison convexe des lois pr´ec´edentes.

5 Mesure invariante et entropie relative

Il est clair que, pour toute loi initiale deX0, la loi deXtconverge vers la loi de Poisson de param`etre

λ/μ. On souhaite ici quantifier la vitesse de convergence.D´efinition 5.1.Soitν1etν2deux mesures de probabilit´e surR. La relationν1<< ν2signifie queν1est

absolument continue par rapport `aν2. Si tel est le cas, on notera alorsdν1dν

2la densit´e deν1par rapport

`aν2. On d´efinit l"entropie relative deν1par rapport `aν2de la fa¸con suivante :

Ent(ν1|ν2) :=?

dν1dν

2log?dν1dν

2? dν 2=? log?dν1dν 2? dν

1siν1<< ν2,

+∞sinon,Proposition 5.2.Soitν1etν2deux mesures de probabilit´e surR. AlorsEnt(μ1|μ2)est positif (ou ´egal

`a+∞) et nul si et seulement siν1=ν2.Corollaire 5.3.L"entropie relative de la loi deXtsachant queX0= 0par rapport `a la mesure invariante

converge exponentiellement vite vers 0.1 ´etant sous-entendu queX0= 0Mars 2007. Copyright c?F. Malrieu . GNU FDL Copyleft.Page n°3.

Universit

´es Rennes I -´Epreuve de mod´elisation - Agr´egation Externe de Math´ematiques -2007.Page n°4.6 Chaˆıne de Markov et estimation

Les atomes instables sont d´enombr´es par un compteur de type compteur Geiger qui ne peut pas

fonctionner en temps continu mais fournit des observations `a temps r´egulier. Pourα >0, on d´efinit la

suite de variables al´eatoires?

Y(α)n?

n?N:= (Xαn)n?N. Le corollaire4.3assure que

Y(α)n?

n?Nest une chaˆıne de Markov surNd´efinie par sa loi initiale et la relation ?k?N,L?

Y(α)

n+1???Y(α)n=k? =P?λμ (1-e-μα)? ? B(k,e-μα), avec la conventionB(0,e-μα) =δ0.Proposition 6.1.La chaˆıne de Markov

Y(α)n?

n?Nest irr´eductible, r´ecurrente et ap´eriodique. De plus,

elle admet pour mesure de probabilit´e invariante la loi de Poisson de param`etreλ/μ. Elle est donc r´ecur-

rente positive.Remarque6.2.Cette proposition permet d"estimerλ/μ`a partir de?

Y(α)

k?

1?k?ngrˆace au th´eor`eme

ergodique.Proposition 6.3.La conclusion du th´eor`eme ergodique peut ˆetre pr´ecis´ee : pour toutα >0, il existe

2(α)>0tel que

⎷n 1n n i=1Y (α)n-λμ

L----→n→∞N(0,σ2(α)).Remarque6.4.On peut de plus remarquer queα?→σ2(α) est croissante et non nulle en 0. De plus

1n n i=1Y t 0 X sds

qui est l"estimateur deλ/μconstruit `a partir de l"observation du processusXpour toutt >0 et non plus

seulement aux instantsαN. On peut alors prouver un r´esultat analogue `a la proposition6.3: ⎷t ?1t t 0 X sds-λμ

L---→t→∞N(0,σ2(0)).

7 Suggestions1.On pourra pr´esenter et commenter le mod`ele.

2.On pourra d´emontrer la proposition3.1.

3.On pourra d´eterminer par la m´ethode de son choix la loi deXtsachant queX0=kpourk?N.4.On pourra d´emontrer la proposition5.2, calculer l"entropie relative deL(Xt|X0= 0) par rapport `a

P(λ/μ) et en d´eduire le corollaire5.3.

5.On pourra d´emontrer la proposition6.1.

6.On pourra d´etailler la remarque6.2.

7.On pourra illustrer par la simulation la proposition6.3et l"utiliser pour pr´eciser l"estimation de

λ/μ.8.On pourra commenter et illustrer par la simulation la remarque6.4. Perd-on beaucoup d"informa-

tions en n"observant pas la trajectoire `a tout instantt >0?Mars 2007. Copyright c?F. Malrieu . GNU FDL Copyleft.Page n°4.quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

[PDF] composition noyau helium 4

[PDF] quels sont les noyaux concernés par une réaction de fission

[PDF] courbe d'aston

[PDF] description d'un hero

[PDF] énergie de cohésion du noyau formule

[PDF] energie libérée definition

[PDF] norme nsf alimentaire

[PDF] nsf certification france

[PDF] norme nsf h1

[PDF] nsf h1 h2 h3

[PDF] nsf h1 definition

[PDF] norme nsf 51

[PDF] certification nsf h1

[PDF] que veut dire nsf

[PDF] graphique nuage de points interpretation