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Universit´e de Nice L1SV, ann´ee 2017-2018

Math´ematiques pour la Biologie (semestre 1)

CORRIG´E

TD 9 : R´egression lin´eaire

Exercice 1. :On reprend l"exemple des 5 sp´ecimens fossiles d"un animal disparu pour lesquels on poss`ede les mesures de la longueur en cm de leur hum´erusxet de leur f´emury.

1. Compl´eter le tableau suivant et en d´eduire les valeurs des variances et covariance :

ix i y i x 2i y 2i x i y i

14440193616001760

26560422536003900

37159504134814189

47565562542254875

58777756959296699

μ68,460,24879,237674284,6

Calculs eectu´es pour variances et covariance :

Var(x)=μ(x

2 )-μ(x) 2 = 4879,2-68,4 2 = 200,64

Var(y)=μ(y

2 )-μ(y) 2 = 3767-60,2 2 = 142,96 Cov(x,y)=μ(xy)-μ(x)μ(y) = 4284,6-68,4·60,2

Cov(x,y) = 166,92

Var(x) = 200,64 Var(y) = 142,96 Cov(x,y) = 166,92

2. D´eterminer, par la m´ethode des moindres carr´es ordinaires, l´equation de la droite de r´egression de

yenx.

ˆa=Cov(x,y)

Var(x)=166,92200,64?0,83194 etˆb=μ(y)-ˆaμ(x)?60,2-0,83194×68,4?3,2955 y=0,83194x+3,2955

3. Passe-t-elle par le centre de gravit´eG? Justifier par un calcul.

Le centre de gravit´eGa pour coordonn´ees (μ(x)μ(y)) = (68,460,2).

On v´erifie que 60,2?0,83194×68,4+3,2955.

Plus g´en´eralement, plus abstraitement et plus exactement, vu la d´efinition deˆbon a donc la droite de r´egression passe par le centre de gravit´eG.

4. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire. Commenter.

ρ(x,y)=Cov(x,y)

Var(x)Var(y)=166,92

200,64×142,96?0,9856

ρ(x,y)=0,9856

ρ(x,y)esttr`es proche de 1, l"approximation du nuage de points par la droite de r´egression est donc

tr`es bonne.

5. Calculer la longueur, selon ce mod`ele, du f´emur d"un sp´ecimen dont l"hum´erus mesurerait 55 cm.

D"apr`es ce mod`ele la longueur du f´emur serait :

0,83194×55 + 3,2955?49,05cm.

Exercice 2. :Pour ´etudier les probl`emes de malnutrition dans un pays pauvre, on a calcul´elepoids

moyen par ˆage d"un ´echantillon de 2400 enfants r´epartis uniform´ement en 12 classes d"ˆage.

On a obtenu le tableau suivant :

x i =classe d"ˆage123456789101112 y i =poids moyen3,53,53,34,44,44,25,15,35,55,56,25,7 y 2i x i y i

1. Compl´eter ce tableau. D´eterminer la droite des moindres carr´es.

On calculeμ(x)=6,5etμ(x

2 )?54,167puisμ(y)?4,716667etμ(y 2 )?23,1067enfinμ(xy)=33,7.

D"o`uVar(x)=μ(x

2 )-μ(x) 2 ?11,917 et Cov(x,y)=μ(xy)-μ(x)μ(y)?3,0417. Donc finalement :

ˆa=Cov(x,y)

Var(x)?3,041711,917?0,25524 etˆb=μ(y)-ˆaμ(x)?4,716667-0,25524×6,5?3,0576

2. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire. Commenter.

On calcule Var(y)?μ(y

2 )-μ(y) 2 ?0,8597 d"o`ulecoefficientdecorr´elation lin´eaire

ρ(x,y)=Cov(x,y)

Var(x)Var(y)?3,0417

11,917×0,8597?0,9503

ce qui est proche de 1 : le nuage est proche de la droite.

3. Compl´eter le tableau

x i

123456789101112

y i

3,53,53,34,44,44,25,15,35,55,56,25,7

y i

3,33,63,84,14,34,64,85,15,45,65,96,1

e i o`uy i est la valeur pr´evue par le mod`ele par classe d"ˆage ete i =y i -ˆy i le r´esidu.

4. Tracer les r´esiduse

i en fonction des classes d"ˆage et commenter.

00,10,20,30,4

-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5123456789101112 x i e i

Les r´esidus sont distribu´es au hasard ce qui confirme que la droite de r´egression repr´esente bien

l"´evolution du poids en fonction de la classe d"ˆage.quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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