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ATS Préparation au chapitre EM8 Lycée Le Dantec

Révisions d"analyse vectorielle

Toutes les définitions et les expressions de chaque opérateur dans les différents systèmes de coordonnées sont

dans le polycopié d"analyse vectorielle.

I. Quelques rappels

I.1. Champ scalaire - champ vectoriel

Soit

~rAE¡¡!OMle vecteur position d"un pointM(en coordonnées cartésiennes~rAEx~uxÅy~uyÅz~uz).

.Champ scalaire : f:R3!R r7!f(~r)Donner des exemples physiques de champs scalaires :

Champ de température, de pression, de salinité (dans l"océan), de potentiel électrostatiqueV...

.Champ vectoriel :

A:R3!R3

r7!~A(~r)Donner des exemples physiques de champs vectoriels :

Champ de vitesse (pour l"écoulement d"un fluide, voir par exemple une carte des vents en météorologie),

champ gravitationnel ~g, champ électrique~E, champ magnétique~B... 1 ATS Préparation au chapitre EM8 Lycée Le Dantec I.2. Flux d"un champ vectoriel à travers une surface (ouverte ou fermée) .Rappeler la définition dufluxÁd"un champ vectoriel~Aà travers une surface§.ÁAEÎ

§~A.d~S

Comment modifie-t-on la notation lorsque la surface§est fermée?

ÁAEÓ

~A.d~S .Exemples : flux de ~jà travers une surface? D ~|.d~SavecDmle débit massique ~E.d~SAEQint" 0

Le flux sortant du champ électrostatique à travers une surface est égal à la charge intérieure divisée

par"0. .Définir un champ vectoriel à flux conservatif (deux formulations équivalentes).

²Un champ vectoriel~Aest à flux conservatif si et seulement si le flux de~Aà travers toute surface fermée

est nul. ~A.d~SAE0

²Un champ vectoriel~Aest à flux conservatif si et seulement si le flux de~Aà travers toute section d"un

tube de champ se conserve.Ainsi, si on définit le flux entrantÁeAEÎ

1~A.d~Seet le flux sortant parÁsAEÎ

2~A.d~S2, on a

eAEÁs 2 ATS Préparation au chapitre EM8 Lycée Le Dantec I.3. Circulation d"un champ vectoriel le long d"un circuit (ouvert ou fermé)

.Rappeler la définition de la circulation d"un champ vectoriel~Ale long du cheminCallant du pointAau

pointB. CAE B A C~

A¢d~`

Comment modifie-t-on la notation lorsque le circuitCest fermée? CAE C ~A¢d~` .Exemple : rappeler le théorème d"Ampère de la magnétostatique. CAE C ~B¢d~`AE¹0Ienlacés tation du circuit par la règle de la main droite). .Définir un champ vectoriel à circulation conservative (deux formulations équivalentes).

²Un champ vectoriel~Aest à circulation conservative si et seulement si la circulation de~Asur tout

contour fermé est nulle. C ~A.d~`AE0

²Un champ vectoriel~Aest à circulation conservative si et seulement si la circulation de~Asur d"un point

Aà un pointBdonné est indépendante du chemin suivi deAàB B A C 1~

A¢d~`AE

B A C 2~

A¢d~`

II. L"opérateur gradient

II.1. Définition

Le gradient est un champ vectoriel qui caractérise les variations spatiales d"un champ scalaire.Soitfun champ scalaire. Le gradient defau pointMest défini par la relation :

df(M)AE¡¡¡!gradf(M).d¡¡!OMPropriétés :

Le vecteur gradient est perpendiculaire aux surfaces iso-f(définies parfAECte) et orienté vers les

valeurs defcroissantes.Expression en coordonnées cartésiennes : gradfAE@f@x~uxÅ@f@y~uyÅ@f@z~uz 3 ATS Préparation au chapitre EM8 Lycée Le Dantec

On peut formellement écrire, en utilisant l"opérateur symboliquenabla(que l"on n"utilisera qu"encoordon-

nées cartésiennes) : r AE@@x~uxÅ@@y~uyÅ@@z~uz gradfAE#rf

Les expressions du gradient en coordonnées cylindriques et sphériques sont précisées dans le formulaire

d"analyse vectorielle. Leurs expressions dans des géométries simples sont cependant à connaître :

E ncoor donnéesc ylindriques,si fAEf(r) :¡¡¡!gradfAEdfdr~ur E ncoor donnéessp hériques,si fAEf(r) :¡¡¡!gradfAEdfdr~ur

II.2. Quelques calculs

.Soit le champ scalairef(x,y,z)AExy2¡yz2. Calculer¡¡¡!gradf. gradf¯

¯¯¯¯¯y

2

2xy¡z2

¡2zy

.Soit le champ scalairef(x,y,z)AExyzsin(xy). Calculer¡¡¡!gradf. gradf¯ xzsin(xy)Åx2yzcos(xy) xysin(xy)

II.3. L"opérateur gradient en physique

a) Électrostatique Rappeler le lien entre le champ électrostatique ~Eet le potentiel électrostatiqueV.

EAE¡¡¡¡!gradV

Calculer la circulation de

~Ele long d"une ligne reliant le pointAau pointB: B

A~E.d~`AEV(A)¡V(B)

Quelle remarque peut-on faire?

La circulation est indépendante du chemin suivi : le champ ~Eest à circulation conservative. 4 ATS Préparation au chapitre EM8 Lycée Le Dantec .Piège de Paul Le piège de Paul est un dispositif permettant de piéger des ions. Il est notamment utilisé dans les horloges de très haute précision. Il est constitué d"une électrode latérale en anneau portée au potentielÅU/2 et de deux électrodes supérieures et inférieures (coupelles) distantes de

2zcet portées au potentiel¡U/2.

Le potentiel électrostatique créé par ce dispositif a pour expression :

EAE¡¡¡¡!gradVAE¡U4z2c¯

¯¯¯¯¯2x

2y

¡4zAEU2z2c¯

¯¯¯¯¯¡x

¡y 2z Ce dispositif seul permettrait-il de stocker des ions? soit dans le planxOy. Ce dispositif seul permettrait-il de stocker des ions?Visualisation du champ ~E.2.0 1.5 1.0 0.5

0.00.51.01.52.0x=zc2.0

1.5 1.0 0.5

0.00.51.01.52.0z=zcVisualisation des isopotentielles dans le planyAE0 ( valable

dans tout plan contenant l"axeOzcar les éléctrodes sont invariantes par rotation quelconque autour deOz) : les électrodes coïncident avec des surfaces isopotentielles (VAEU/2 etVAE¡U/2) 5 ATS Préparation au chapitre EM8 Lycée Le Dantec2.0 1.5 1.0 0.5

0.00.51.01.52.0x=zc2.0

1.5 1.0 0.5

0.00.51.01.52.0z=zcSuperposition des isopotentielles et des lignes de champ électrostatique orientées dans le sens des potentiels

décroissants.

Considéronsunionde chargeqÈ0. Il estsoumis aune force~FAEq~E(le poids estnégligeable). Le champ

électrique est nul enO: le pointOcorrespond à une position d"équilibre. Si l"ion de déplace légèrement

dans le planzAE0, la force~FAEq~Ede même sens que~EpourqÈ0 tend à le ramener versO. Par contre,

si l"ion se déplace verticalement la force ~FAEq~Etend à l"éloigner davantage deO: la position d"équilibre est instable verticalement.

Pour un ion négatif on observerait une instabilité dans le plan horizontal. Ainsi, le dispositif en l"état ne

permet pas de stoker un ion.

Pour palier ce problème il faut inverser régulièrement la tension pour que l"ion puisse être maintenu

dans le piège. La tensionUappliquée est en fait une tension alternative dont il faut ajuster la fréquence

pour stabiliser la position d"équilibre. 6 ATS Préparation au chapitre EM8 Lycée Le Dantec .Dipôle électrostatique Une molécule est électriquement neutre. Cependant, certains atomes attirent davantage les électrons que d"autres (on dit qu"ils sont plus électronégatifs). On peut alors modéliser une molécule par deux charges opposéesÅqet¡qdistantes dea. On cherche à exprimer le potentiel puis le champ électrosta- tique crée par cette distribution à une distancerÀa.

On pose

~pAEqa~uzAEp~uz. Ce vecteur~pest appelé moment di- polaire.z r 0

N¡qPqM

tion deq,PM,NM, et"0. On suppose le potentiel nul à l"infini. 1PM

¡1NM

r 0~ pM On supposerÀa. On peut montrer, à l"aide d"un dévelop- pement limité à l"ordre 1 ena/rque le potentiel a pour ex- pression approchée, en coordonnées sphériques :

V(M)AEpcosµ4¼"0r2

électrostatique.

E rAE¡@@rµ

AE2pcosµ4¼"0r3;EµAE¡1r

AEpsinµ4¼"0r3;E'AE¡1rsinµ@@'

AE0

Retrouver directement la valeur deE'en utilisant les propriétés de symétrie de la distribution.

pour la distribution donc ~E(M)2(M,~ur,~uµ) etE'AE0. 7 ATS Préparation au chapitre EM8 Lycée Le Dantec des lignes de champ. Représenter l"allure du champ ~EenMet enM0. Par des considérations de sy- métrie, retrouver la direction du champ électrostatique dans le planzAE0. Le planzAE0 est plan de d"anti-symétrie pour la distribution. SoitM0un point quelconque apparte- nant à ce plan : ~E(M0) est perpendiculaire au planzAE0.z M M 00~ p8 ATS Préparation au chapitre EM8 Lycée Le Dantec b) Mécanique

On considère un champ de force conservative

~Fqui dérive d"une énergie potentielleEp. .Exprimer le travail élémentaire±Wde cette force :

±WAE~F.d¡¡!OMAE¡dEp

.Donner le lien mathématique entre~FetEp:

FAE¡¡¡¡!gradEp

.En déduire l"expression du travail de A à B de la force~F. W

A!B(~F)AE

B

A~F.d¡¡!OMAE

B A

¡dEpAEEp(A)¡Ep(B)

.Citer des forces conservatives et donner l"énergie potentielle associée. c) Statique des fluides

On considère un volume mésoscopique dVde fluide à l"équilibre dans un référentiel galiléen et soumis à

un champ de pesanteur ~g. .À quoi correspond¡¡¡¡!gradPdV? Interpréter physiquement le signe "¡".

¡¡¡!gradPdVreprésente la résultante des forces de pression s"exerçant sur le volume mésoscopique dV.

Le signe "¡" devant le gradient indique que cette force est dirigée des hautes pressions vers les basses

pressions.

.Exprimer la condition d"équilibre de ce volume mésoscopique et en déduire la loi de la statique des

fluides.

Loi de la statique des fluides :

gradpAE½~g voir cours MF1. 9 ATS Préparation au chapitre EM8 Lycée Le Dantec

.Retrouver l"expression du champ de pression dans un fluide incompressible dans les différentes confi-

gurations suivantes.z OP 0(a)

P(z)AEP0¡½gzzOP

0(b)

P(z)AEP0Žgzz

OhP 0(c)

P(z)AEP0Žg(h¡z)

voir cours MF1. 10 ATS Préparation au chapitre EM8 Lycée Le Dantec

.Retrouver l"expression du champ de pression dans une atmosphère isotherme de températureT0, en

rappelant les hypothèses utilisées. On noteP0la pression à l"altitude nulle.

P(z)AEP0expµ

¡MgRT

voir cours MF1. 11quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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