Calculs dintégrales
Exercice 6. Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. ? (cosx)1234 sinxdx. 2. ? 1 xlnx dx. 3.
Exercices Corrigés Statistique et Probabilités
Correction de l'exercice 1. Examen Statistique et Probabilités (1) . ... cumulés) calculer les valeurs de tendance centrale et ceux de la dispersion et ...
calcul différentiel et intégral notes de cours
FIGURE 4.1 Comment calculer l'aire de cette région? Aucune formule de la géométrie élémentaire ne permet de calculer cette aire: il ne s'agit ni d'un.
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
Elles interviennent dès que l'on s'intéresse à des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. Position d'une comète en fonction du temps
ANNALES DE MATHEMATIQUES
Calculer la probabilité conditionnelle ? (B) de l'év`enement B sachant que l'év`enement D est réalisé. EXERCICE 2 ( 5 points). On consid`ere le polyn ôme P´?µ ?
livre-analyse-1.pdf
dans lesquels le formalisme mathématique s'applique et permet de résoudre des les vidéos correspondant à ce cours ainsi que des exercices corrigés.
Exercices de mathématiques pour la classe terminale - 2e partie
C'est l'intelligence du calcul et l'adéquation des calculs à l'objectif énoncé dans la conjecture qui permet de s'en rendre compte. La diversité des approches
Cours de Statistiques niveau L1-L2
7 mai 2018 la répartition statistique d'une variable au sein de la population est souvent voisine de modèles mathématiques proposés par le calcul des ...
Calcul intégral Exercices corrigés - Lycée Laroche
Terminale S. 1. F. Laroche. Calcul Calcul d'intégrales fonction rationnelle ... Soit S l'aire de la plaque exprimée en unité d'aire. Calculer S.
Exercices de mathématiques
Exercice 3 : Aire et calcul intégral . Ce document propose des exercices conformes aux programmes de Terminale pour les filières S
Calculs d"intégrales
Fiche d"Arnaud Bodin, soigneusement relue par Chafiq Benhida1 Utilisation de la définition
Exercice 1Soitfla fonction définie sur[0;4]par
f(x) =8 >>>>>:1 six=01 si 0 3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8
3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8
4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8
Calculer
R40f(t)dt.
2.Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]?Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex;Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR10f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban :Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2. Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3. On remarquera que
R1 0f(x)dx12
=R1 0(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. Pour Rxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1. Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2. R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3. R13+exp(x)dx=13
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8
On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR10f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d.Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 11.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3.Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4.Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5.Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7.Si fest paire alorsFest impaire.
Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1.Rx2lnxdx
2.Rxarctanxdx
3.RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4.Rcosxexpxdx
Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1.R(cosx)1234sinxdx
2.R1xlnxdx
3.R13+exp(x)dx
4.R1p4xx2dx
Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x23x4dx
2. Rx1x2+x+1dx
3.Rsin8xcos3xdx
4.R1sinxdx
5.R3sinx2cosx+3tanxdx
3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p20xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R101(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R103x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x2arctanxdx(changement de variableu=1x
Calculer les intégrales suivantes :
Z p2011+sinxdxetZ
p20sinx1+sinxdx:
p20(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR111x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3.Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
pSoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2.Calculer In+In+1.
3.Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1:Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale.Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n22.vn=nÕ
k=1 1+k2n 2 1n Indication pourl"exer cice2 NLes fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ?Il faut se souvenir de ce que vaut la somme desnpremiers entiers, la somme des carrés desnpremiers entiers
et la somme d"une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est queRb
af(x)dxest la limite (quandn!+¥) de S n=ban n1å k=0f a+kban:Indication pourl"exer cice3 N1.Re venirà la définition de la continuité en x0en prenante=f(x0)2
par exemple. 2.Soit fest tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n"est pas le cas (et
alors utiliser un théorème classique...). 3.On remarquera que
R10f(x)dx12
=R10(f(x)x)dx.Indication pourl"exer cice5 N1.Pour
Rx2lnxdxposerv0=x2,u=lnx.
2. PourRxarctanxdxposerv0=xetu=arctanx.
3. Pour les deux il f autf aireune intégration par parties a vecv0=1. 4. Pour Rcosxexpxdxil faut faire deux intégrations par parties.Indication pourl"exer cice6 N1.Rcos1234xsinxdx=11235
cos1235x+c(changement de variableu=cosx) 2.R1xlnxdx=lnjlnxj+c(changement de variableu=lnx)
3.R13+exp(x)dx=13
quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] calcul d'échelle exercice PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul d'échelle formule PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul d'engrenage pdf PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul d'extremum d'une fonction a deux variables PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul d'impôt en ligne PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul dincertitude exercice corrigé PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul dincertitude physique PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul d'incertitude physique terminale s PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul d'incertitude physique ts PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul d'incertitude relative et absolue exercices PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul d'intégrale double exercice corrigé PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul d'intégrale en ligne PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul d'intégrale exercice corrigé PDF Cours,Exercices ,Examens
[PDF] calcul d'intégrale exercice corrigé pdf PDF Cours,Exercices ,Examens
