´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs PDF

CAHIER COURS SIMPLIFIES 100 EXERCICES CORRIGES

Exercice 1.10. Calculer l'incertitude relative sur la mesure de la capacité ( )C d'un condensateur équivalent à deux condensateurs montés :.

Untitled

15 juin 2013 Dans le cas du calcul d'incertitudes ? et ? ne sont pas ... Exercice 4 : Ascenseur corrigé en version complète. La charge maximale d'un ...

´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la 3 Approximation affine Calcul d'incertitude ... Exercice 1.

Dosages par titrage direct 10 Extraits de sujets corrigés du bac S

calculs d'incertitudes. l'incertitude d'une mesure obtenue lors de la ... EXERCICE 2 – UN EXEMPLE DE CHIMIE VERTE : LA SYNTHÈSE DE L'IBUPROFÈNE.

correction exercices Précis de Physique-Chimie chapitre1 à 4

Physique-Chimie ainsi que sur la correction des exercices n'hésitez pas à m'en Exercice 10 : Calcul d'incertitude sur une densité de flux thermique.

Devoirs Surveillés et Examens

Questions de cours : (10 points) Exercice : (10 points). Un topographe est chargé de calculer la surface d'un terrain de forme triangulaire ABC.

´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la 3 Approximation affine Calcul d'incertitude ... Exercice 1.

L1-S1 2018-2019 PHYS 102 : PHYSIQUE EXPERIMENTALE

Le module Phys102 comprend des cours TD et TP intégrés. Des corrigés d'exercices

Cours et Exercices de mécanique du point matériel

Ce recueil de cours d'exercices et problèmes d'examens de mécanique du point continus et examens du Semestre 1. ... L'incertitude résultant d'un calcul.

PARTIE 2 : TD DS et Examens

Facicule de Cours TD DS et Examens corrigés 1- Calculer la fonction de transfert en boucle fermée du système. ... EXERCICE N°4 : Critère de Naslin.

INSTITUTUNIVERSITAIREDE TECHNOLOGIE

IUT"A"Pa ulSabatier ,Toulouse3.

DUTG´enieC ivil

ModuledeMath´ematiq ues.

MATH

EMATIQUES

El´ementsdecalculspourl'´ etude

desfonc tionsdeplusieursvariables etdes ´equati onsdi

´erentielles.

G.Ch `eze

guillaume.cheze@iut-tlse3.fr http://www.mat h.univ-toulouse.fr/!cheze/Enseignements.html 2

R`egledujeu

Ceciestunsup portdecou rspou rlemoduleM3del'IUTG´enieCiv ilde Toulouse.Danscemoduleilest questiondefo nctions deplusieursvariableset d'´equationsdi

´erentielles.

Certainspassagesdecec ourscomportentdestrous, ilssontl` avolontairement. C'est`avousde lescomp l´eterduran tl'heure decour shebdomadaire.Lapar tie ducour strait´eeenamph ith´eˆatreseracompl´e t´eeet disponibler´eg uli`erementsur internet`al'adresse:http://www.ma th.univ-toulouse.fr/!cheze/. Lesexercic es`afaireenTDsetrouvent` alasuite ducoursetles corrections`ala findech aquech apitre. Jeser aireconnaissant` atoutepersonnemesignalantuneoudeserreursse trouvantdanscedocum ent.

Apr ´esent,autravailetboncourag e`atou s!

i iiR`egledujeu

Tabledesmati` eres

R`egledujeui

IFonctionsdeplusieursvariables1

1Fonctionsdeplusieursvariables5

1.1D´efi nition.................................5

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariable s......6

1.2.1D´efin ition.............................6

1.2.2Commen trepr´esenterlegraphe d'unefonctiondedeuxvariables8

1.3Exer cicesduTD.............................14

1.4Cor rectiondesexercices.........................17

2D´eriv´eespartielles,Di

´erentielles25

2.1Rapp el...................................25

2.2D´er iv´eespartielles.............................26

2.3Di

2.4Utilisa tiondesdi

´erentielles,di

´erentielled'unefonctioncomp os´ee.30

2.5Exer cicesduTD.............................33

2.6Cor rectiondesexercices.........................34

3Approximationa

ne,Calculd'incertitude37

3.1App roximationd'unefonction`auneseulevaria ble...........37

3.2Appr oximationd'unefonctiondeplusieursvaria bles..........39

3.3Calcu ld'erreur..............................40

3.3.1Lecasd esfonc tionsd'une seulevariab le............40

3.3.2Lecasd esfonc tionsdeplu sieursvaria bles...........42

3.4Exer cicesduTD.............................45

3.5Corr ectiondesexercices.........................48

4Extremad'unefonctiondedeuxvariables55

4.1Rapp eldanslecasd'uneseu levariable.................55

4.2Extr ´emumlocald'unefonctiondeplusie ursvariables.........58

4.3Exer cicesduTD.............................64

4.4Cor rectiondesexercices.........................65

iii ivTABLEDESMATI ERES II

Equationsdi

´erentielles71

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre173

1.1Pr´e sentationg´en´erale...........................73

1.1.1

Equationsdi

1.1.2Solution sd'une´equationdi

´erentielle..............74

1.1.3Inter pr´etationg´eom´etrique....................75

1.2M´e thodesder´esolutiondes´equat ionsdi

´erentielleslin´eairesd'o rdre177

1.2.1

1.2.2Calcul d'unesolutionpartic uli`ere................79

1.2.3Solution g´en´erale.........................81

1.2.4Astuce s..............................81

1.3Exer cicesduTD.............................85

1.4Corr ectiondesexercices.........................87

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre2`ac oe

cientscons tants95

2.1G´en ´eralit´es................................95

2.2R´es olution.................................96

2.2.1R´esolu tiondel'´equationhomog`eneass oci´ee ..........96

2.2.2Calculd 'unesolutionpartic uli`ere................99

2.3Exe rcicesduTD.............................101

2.4Corr ectiondesexercices.........................102

IIIA nnexes109

AAnnalescorrig´ees111

BTrouverl'erreur121

CAlphabetgrec125

Premi`erepartie

Fonctionsdeplusieursvari ables

1 Jusqu'`apr´esentvousav ezsurtoutrencontr´edesf onctionsd'unevariable. Cepen- dantlesph´eno m`enes naturelsned´ependentpaseng´en´erald'uneseulevar iable.Par exemple:lavitessemoye nne vd´ependdeladistanceparc ourue detdu tempstmis poure ectuerceparcours,o nav=d/t.Un autree xempleestdonn´ep arlecalcul del'aired 'unrectang le:A=L"l.L 'aireestunefon ctiondelalon gueurLetdela largeurl.Da nscettepartie ,nousallons´etud ierlesfonctionsdeplus ieursvariables. Nousauronsun eattentiontoutepar ticuli`erep ourlesfonctionsdedeux variablescar danscecasnou spourr onsencor efairedesdess ins.Ensuitenousverronsquenous pouvonsaussifairedesca lculsded´eriv´ees .Celaserautilis´ epoure !ectuerdescalculs d'incertitudeetpourtrouverlesextr ema(ma ximum,minimum)d 'unefonctionde plusieursvariables. 3 4

Chapitre1

Fonctionsdeplusieursvari ables

Nousallonsdan scechapitred´ efinirlesfonct ionsdep lusieursvariables.Nousno us int´eresseronsplusparticuli`erementauxfonc tionsdedeu xvariablesetauxdive rses

1.1D´efinit ion

L'exempleleplussimpledefon ctio nsdedeux variablesestdo nn´epa rl'aired'un rectangle:A=L"l.Letl´etantdesnombresp ositifsnous repr´esentonscette fonctiondelamani`eresuiv ante: f:R "R #$R (L,l)%#$L"l R "R s'appelleledomaineded´ efin itiondelafonctionf. D'unemani`ere g´en´eralenouspouvonsavo irnvariableso`und´esigneunnombre entier. D´efinition1.Soitnunn ombreentieretDunepart iedeR n .Unefonctionfde nvariablesestunproc´ ed´e quiatoutn-uplet(x 1 ,...,x n )deDassocieununiqu e nombrer´eel.

Celasenote delaman i`eresuivant e:

f:D#$R (x 1 ,...,x n )%#$f(x 1 ,...,x n

Destle domaineded´ efinitiondef.

Remarque:Lanotation(x

1 ,...,x n )es tl`apourm ontrer quenousavons nva- riables.Enpratique,lo rsquen ousn'avonsquedeuxvariables nouslesnoton sxety plutˆotquex 1 etx 2 5

6Fonctionsdeplusieursvariables

Parexemple ,lafonctionsuivantedonn elad istanced'unpointdecoordonn´ees(x,y) `al'origin eduplan. f:R 2 #$R (x,y)%#$ x 2 +y 2 festunefon ctiondedeu xvariables,R 2 estsondom aineded´efi nition. Voici,iciunexe mpled'un efonct iondetroisvariables:( x;y;z). g:R"R"R #$R (x,y,z)%#$ xcos(y)+2y 3 z 5 gestunefo nctiondetr oisvariables,R"R"R estsondo maineded´e finition. Exercice1.Lafo rmulesuivantepermetd ed´efinirunefonctionde2v ariables: f(x,y)=ln (x)+s in(y)

1.Donner l'imagede (e,0).

2.D onnerleplus granddomainede d´efinitionpossibl epourf.

Solution:

1.f(e,0)=ln(e)+s in(0 )=1+0=1.

L'imagede(e,0)par fest1.

2.Pour queln(x)ex isteilfaut(etilsu"t)quex>0.Don cx&R

sin(y)ex istepourtouty&R.Doncy&R. Ainsileplusgra ndd omaineded´ efinitionpossiblepo urfest:R "R.

1.2Repr´es entationgraphiqued'unefonctionde

deuxvari ables

1.2.1D´efini tion

Avantdedonnerlad ´efinitio ndugraphed'unefonc tion dedeuxvariablesnous allonsrappeler cequ'estlegraphed'unefon ctiond 'unevariable.

D´efinition2.Soit

f:D#$R x%#$f(x)

Legra pheC

f def(fonctiond'uneseule variable)estl'ensemble despointsduplan deco ordonn´ees(x;f(x))avecx&D.

Celasenote :

C f ={(x,y)&R 2 |y=f(x),x&D}

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les7

Ainsipourtrac erlegraphed'un efonctiond'unevariab lenousavons rajout´e unenouvelle variabley.Legrap heestalorsunecourb edansleplan R 2 Pourlesfonct ionsded euxvariablesxetynousallonsaus sirajouterunevariablez etlegra ph eseraalorsunesurfac edel'espaceR 3

D´efinition3.Soit

f:D#$R (x,y)%#$f(x,y)

Legra pheS

f def(fonctiondedeuxvariables) estl'en sembledespoin tsdel'espace deco ordonn´ees(x;y;f(x,y))avec(x,y)&D.

Celasenote :

S f ={(x,y,z)&R 3 |z=f(x,y),(x,y)&D}

Remarque:

S f estunes urfacedan sR 3 Ach aquepoint(x,y)&DcorrespondunpointsurlasurfaceS f .Vo icicomment onplac elespointsdans unrep` ere. (x,y) z x y (x,y,f(x,y))

Figure1.1-Utilis atio nd'unrep`ere`a3dimensio ns.

Afindevous familiar iseraveclesgra phesdesfonctionsdedeuxva riablesvoici quelquesexemples.

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariab les9

Remarque:Cesdeuxderniersp lan snesontpa sdesrepr´ese ntationsgraphiq ues d'unefonctiond edeuxvariables(x,y).Ene !etnous nepouvonspas fairec orres- pondreunpointde(xOy)av ecunseulpoint decesp lans.

Exercice2.Soit

f:R 2 #$R (x,y)%#$x 2 +y 2

1.D´ eterminer,nommerettracerlaprojectiondans leplanxOzdeS

f {y=k} pourk=1;2;puispourk&R.

2.E stcequeS

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] ´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

INSTITUTUNIVERSITAIREDE TECHNOLOGIE

IUT"A"Pa ulSabatier ,Toulouse3.

DUTG´enieC ivil

ModuledeMath´ematiq ues.

EMATIQUES

El´ementsdecalculspourl'´ etude

´erentielles.

G.Ch `eze

R`egledujeu

´erentielles.

Apr ´esent,autravailetboncourag e`atou s!

Tabledesmati` eres

R`egledujeui

IFonctionsdeplusieursvariables1

1Fonctionsdeplusieursvariables5

1.1D´efi nition.................................5

1.2Repr ´esentationgraphiqued'unefonctiondedeuxvariable s......6

1.2.1D´efin ition.............................6

1.2.2Commen trepr´esenterlegraphe d'unefonctiondedeuxvariables8

1.3Exer cicesduTD.............................14

1.4Cor rectiondesexercices.........................17

2D´eriv´eespartielles,Di

´erentielles25

2.1Rapp el...................................25

2.2D´er iv´eespartielles.............................26

2.4Utilisa tiondesdi

´erentielles,di

´erentielled'unefonctioncomp os´ee.30

2.5Exer cicesduTD.............................33

2.6Cor rectiondesexercices.........................34

3Approximationa

3.1App roximationd'unefonction`auneseulevaria ble...........37

3.2Appr oximationd'unefonctiondeplusieursvaria bles..........39

3.3Calcu ld'erreur..............................40

3.3.1Lecasd esfonc tionsd'une seulevariab le............40

3.3.2Lecasd esfonc tionsdeplu sieursvaria bles...........42

3.4Exer cicesduTD.............................45

3.5Corr ectiondesexercices.........................48

4Extremad'unefonctiondedeuxvariables55

4.1Rapp eldanslecasd'uneseu levariable.................55

4.2Extr ´emumlocald'unefonctiondeplusie ursvariables.........58

4.3Exer cicesduTD.............................64

4.4Cor rectiondesexercices.........................65

Equationsdi

´erentielles71

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre173

1.1Pr´e sentationg´en´erale...........................73

Equationsdi

1.1.2Solution sd'une´equationdi

´erentielle..............74

1.1.3Inter pr´etationg´eom´etrique....................75

1.2M´e thodesder´esolutiondes´equat ionsdi

´erentielleslin´eairesd'o rdre177

1.2.2Calcul d'unesolutionpartic uli`ere................79

1.2.3Solution g´en´erale.........................81

1.2.4Astuce s..............................81

1.3Exer cicesduTD.............................85

1.4Corr ectiondesexercices.........................87

Equationsdi

´erentielleslin´eairesd'ordre2`ac oe

2.1G´en ´eralit´es................................95

2.2R´es olution.................................96

2.2.1R´esolu tiondel'´equationhomog`eneass oci´ee ..........96

2.2.2Calculd 'unesolutionpartic uli`ere................99

2.3Exe rcicesduTD.............................101

2.4Corr ectiondesexercices.........................102

IIIA nnexes109

AAnnalescorrig´ees111

BTrouverl'erreur121

CAlphabetgrec125

Premi`erepartie

Fonctionsdeplusieursvari ables

Chapitre1

Fonctionsdeplusieursvari ables

1.1D´efinit ion

Celasenote delaman i`eresuivant e:

Destle domaineded´ efinitiondef.

Remarque:Lanotation(x