[PDF] [PDF] Systèmes de numération - base

View - Download [PDF] Systèmes de numération - base

Previous PDF

Next PDF

Systèmes de numération - base - système positionnel & système additionnel

Notre système décimal actuel, de base 10, utilise les chiffres de 0 à 9, dits arabes, mais d'origine indienne. Ces

chiffres ne furent introduits en Europe que vers l'an 1000. Utilisés en Inde, ils furent transmis par les Arabes

au monde occidental par le pape Gerbert d'Aurillac lors de son séjour en Andalousie à la fin du 9è siècle et

leur graphisme a beaucoup évolué.Les notations actuelles sont très semblables aux chiffres arabes dits occidentaux (Afrique du Nord) en usage

dès le 15è siècle. Les chiffres arabes (ci-dessus) dits orientaux (Moyen-Orient : Égypte, péninsule Arabique,

pays du golfe Arabo-Persique, ...) sont différents et encore utilisés. Le mot français chiffre est une déformation

du mot arabe sifr désignant zéro. En italien, zéro se dit zero, et serait une contraction de zefiro (source :

dictionnaire étymologique Larousse) on voit là encore la racine arabe. Ainsi nos termes chiffre et zéro ont la

même origine. Notre système décimal positionnel : L'usage précoce d'un symbole numérique désignant "rien" -au sens de "aucune quantité" ou "absence de

quantité", c'est à dire notre zéro, provient du fait que les Indiens utilisèrent un système positionnel. Notre

système actuel est décimal (dix chiffres) et positionnel : la position d'un chiffre dans l'écriture d'un nombre

exprime la puissance de 10 présente et le nombre de fois qu'elle intervient. L'absence d'une puissance est

notée par un petit rond... : c'est le zéro.

10 (dix) signifie 9 + 1 unités : une (1) dizaine et aucune unité (0) 100 (cent) signifie dix dizaines (10 x 10) : une centaine; on écrit aussi 102 (10 puissance 2) 1000 (mille) signifie dix centaines (10 x 100) : un millier; on écrit aussi 103 (10 puissance 3)On parle aussi de système à base 10. On peut envisager d'autres bases. Les notations 101 pour 10 et 100 pour 1

sont conventionnelles et s'expliquent pour des raisons opératoires :

•Le nombre 324 s'écrit de gauche à droite comme étant trois centaines : 3 x 102, auxquelles s'ajoutent

deux dizaines : 2 x 101 et quatre unités : 4 x 100.

304 signifie 3 centaines, aucune dizaine complémentaire : 0 (zéro) dizaine, mais 4 unités. Exercice 1 : En écrivant les nombres de 1 à 100, combien écrit-on le chiffre 9 ?

Rep1 : on écrit 20 fois le chiffre 9; si vous avez répondu 10 ou 11, vous avez sans doute oublié 91, 92, 93, ...,99 ! Exercice 2 : Un nombre de 3 chiffres est impair; en lui enlevant son chiffre des centaines et en multipliant le

nombre obtenu par 9, on le retrouve ! Quel est donc ce nombre ? (il y a en fait deux solutions).Rep2 : le chiffre des unités doit être 5 car 9 x 5 = 45 se termine par 5 et 9 x 0 = 0 est à rejeter puisque le

nombre est impair. Dans cette multiplication, on retient 4 qui s'ajoute au chiffre des dizaines; en écrivant la

table de 9 et ajoutant 4 au chiffre des unités obtenus, on obtient deux cas possibles pour le chiffre des dizaines

•2 car 9 x 2 = 18 et 8 + 4 = 12•7 car 9 x 7 = 63 et 3 + 4 = 7ce qui conduit à deux solutions : 225 et 675

Exercice 3-1 : Je suis un nombre inférieur à 1000 et je m'écris avec 4 chiffres. Mon nombre de

dizaines est 34 et je me termine par 6. En ajoutant mon chiffre des dizaines à celui de mes

dixièmes, tu trouveras le double du chiffre de mes unités.Rep 3-1 : Le nombre est au moins égal à 340 puisqu'il contient 34 dizaines. Comme il est inférieur à

1000 et s'écrivant avec 4 chiffres, il n'est pas entier et s'écrit avec un chiffre après la virgule qui sera

le 6, soit : 34?,6. Le chiffre des dizaines est 4, 6 + 4 = 10, le chiffre des unités est donc 5. Rép : 345,6.Exercice 3-2 : Un nombre entier de 5 chiffres, commençant par 3, possède la propriété suivante : si on déplace

le 3 en dernière position (en chiffre des unités), alors on obtient un nombre augmenté de 29205. Quel est le

nombre initial ?rep 3-2 : Le problème revient à une soustraction à trous : a b c d 3 - 3 a b c d = 29 205. Rép. : 36 578.Un système additionnel : celui des Égyptiens de l'antiquité :

Un tel système ne requiert pas un symbole " zéro » : le résultat est la somme des nombres représentés par des

pictogrammes (petits dessins hiéroglyphiques). Les plus simples furent :On écrivait de droite à gauche en finissant par les unités.Exercice 4 : comment s'écrirait, avec ces symboles, notre nombre décimal 324 ?

Rep 4 : 324 représente 4 unités, 2 dizaines et 3 centaines, il s'écrirait alors : Plutôt que les hiéroglyphes, les scribes utilisaient une écriture cursive plus sophistiquée, dite hiératique : Un

système additionnel devient très vite inutilisable pour gérer de grands nombres ou des nombres non entiers.

Pour cette raison les Egyptiens manipulèrent avec brio les fractions et les décompositions de fractions en

fractions élémentaires, dites unitaires : le numérateur étant 1).

Un autre système additionnel : celui des Grecs de l'Antiquité Le système domestique et commercial utilisé par

les anciens Grecs était décimal et additionnel. Ils se servaient de lettres, éventuellement accentuées, et de

signes complémentaires : il fallait de nombreux symboles et un codage savant pour comprendre la valeur

représentée.Certains nombres avaient droit à des caractères spéciaux comme 900 (sampi). Pour distinguer un nombre d'un

mot, on le surlignait. Comme on le voit ci-dessus pour le nombre 1000, la présence d'une sorte de virgule

désignait une multiplication par 1000; autre exemple : ,ß = 2000. Pour exprimer une fraction unitaire, on

ajoutait un "prime" à droite du nombre; par exemple, ß' = 1/2.

Dans ce système additionnel :12 s'écrit iß : 10 (i) suivi de 2 (ß), signifiant 10 + 2Ces écritures engendraient de nombreuses ambiguïtés que le contexte était censé lever. Pour effectuer des

calculs commerciaux, ils utilisaient des abaques.

Le système positionnel sexagésimal (base 60) des Babyloniens et des scientifiques de l'Antiquité :Les calculs astronomiques, comme ceux de Hipparque ou Ptolémée se faisaient en base 60, à la manière des

Babyloniens : leur écriture cunéiforme (c'est à dire en forme de coins) , frappée dans l'argile, utilisaient un

système positionnel de base 60, qu'utilisèrent les mathématiciens Indiens et Arabes pour leurs calculs

trigonométriques. L'usage de la base 60 avait l'avantage de posséder de nombreux diviseurs, donc de faciliter les opérations de

partage (division) : 60 = 22 x 31 x 51

60 possède donc (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 12 diviseurs. Leur ensemble est : D60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Par exemple, 5112 (dans notre écriture décimale de base 10), se décompose en : 1 x 602 + 25 x 60 + 12 , soit :

(1,25,12)L'unité (1) et la base (60) étaient représentées par le même symbole (forme de clou : signes 1) et 10 par un

chevron (signes 2); suivant le support, la frappe et le scribe, on rencontre des variantes d'écriture :

On séparait les puissances de 60 par un double chevron ou, plus simplement, selon le scribe, par un espace. Le

contexte devait éviter toute confusion malgré l'absence du concept de " zéro ». Exercice 6 : comment s'écrirait, avec ces symboles, notre nombre décimal 5112 ?

On utilise aujourd'hui pour le traitement électronique de l'information (langages informatiques) les systèmes :•binaire (base 2 : les chiffres sont 0 et 1); dans un tel système notre 2 s'écrit 10, mais il faut lire un-zéro

et non dix !

•octal (base 8 : les chiffres sont 0,1, ...,7) : en désuétude compte tenu des processeurs 32 bits des

ordinateurs modernes; on lui préfère le système :•hexadécimal (base 16 : les chiffres sont alors 0,1 , ..., 9, A, B, C, D, E, F) : par exemple, FA2B en base

16 signifie B + 2 x 16 + A x 162 + F x 163; mais, en base 10, A s'écrit 10, B s'écrit 11 et F s'écrit 15;

donc FA2B(16) = 64043(10).

Vigésimal : base 20.

La numération romaine :Ce système fut très particulier et totalement inadaptée à des calculs même élémentaires ! C'est un système

décimal. Les symboles principaux sont I, X, C et M (1, 10, 100 et 1000), les symboles secondaires sont V, L

et D (multiples de 5) :1510501005001000

IVXLCDM

Pour leur calculs les romains utilisaient des casiers réunis en damier dans lesquels ils plaçaient de petits

cailloux pour désigner les unités, dizaines, centaines, etc. De cette technique romaine, nous est resté le mot

calcul (calculus = petit caillou). Cette numération est additionnelle car la valeur du nombre écrit est obtenue

par somme ou soustraction des caractères juxtaposées. Par exemple, avec ce système : •9 s'écrit IX, soit 10 - 1

•24 s'écrit XXIV : 10 + 10 + 5 - 1

Il n'est pas autorisé d'écrire un symbole du groupe secondaire ou plusieurs symboles du groupe principal à

gauche d'un symbole plus grand : cette règle exclut toute ambiguïté d'écriture. Plus de trois symboles

consécutifs identiques sont également illégaux (en fait, ces améliorations datent du moyen âge, tout comme le

M pour désigner 1000). 1995 s'écrit : MCMXCVL'écriture MCMVC étant illégale. De même MCMLXXXXV. Pour les très grands nombres, une barre

supérieure, signifiant une multiplication par 1000, permettait de les écrire :Une double barre signifiait une multiplication par 1 000 000.

12345

678910

1112131415

1617181920

75347650614532007

DCCLIII CDLXXVI DVI MCDLIII Ces nombres ne sont utilisés aujourd'hui que pour paginer (numérotation d'une table des matières) ou pour

écrire certaines dates sur des bâtiments (certains trouvent cela plus joli...). Exercice 7 : écrire, avec ce système,

les nombres 5112 et 3774. e7/ 5112 et 3774 s'écriraient respectivement :

Le système vigésimal des Mayas : La civilisation Maya s'étale dans le temps sur environ 3000 ans de 1600

avant J.-C. à 1500 et, géographiquement, entre les deux Amériques : Yucatan (sud du Mexique), Guatemala,

Honduras. Les Aztèques occupèrent les territoires plus au nord (du Mexique actuel). Leur système de

numération était hiéroglyphique. L'empire Maya, constitué de grandes cités fédérées, disparut à la suite des

invasions espagnoles. La science des anciens Mayas est principalement astronomique et architecturale. Leur écriture était de type hiéroglyphique et leur système de calcul était positionnel, de base 20, car ils

comptait avec les mains et les pieds : 10 doigts et 10 orteils : système vigésimal (à quelques irrégularités près,

voir ci-dessous...). Ce système s'appliquait aux calendriers fondés sur les observations des prêtres astronomes

: l'année solaire civile comptait 360 jours + 5 : 20 x 18 + 5. L'adjonction de 5 jours s'avérait nécessaire eu

égard aux observations astronomiques.

L'année sacrée des prêtres, année vénusienne, comptait 260 jours vénusiens : 20 x 13 correspondant au

temps de révolution de Vénus autour du Soleil.Ci-contre les "chiffres" de 1 à 19 du système maya : les symboles utilisés étaient limités à un point ( : l'unité) répété jusqu'à 4 fois et un trait ( : 5 unités). On écrivait verticalement de haut en bas par

puissances décroissantes de 20. En fait, pas tout à fait car par respect pour l'année solaire, ils utilisaient dans la

décomposition 20 x 18 au lieu de 202 = 20 x 20, mais les puissances suivantes s'obtenaient par multiplication

par 20.

Cherchons à écrire, par exemple, 8527 :8527 = 7200 + 1327 = 7200 + 3 x 360 + 247 = 1 x 7200 + 3 x 360 + 12 x 20 + 7

8527 = 7200 + 1327 = 7200 + 3 x 360 + 247 = 1 x 7200 + 3 x 360 + 12 x 20 + 7

18 x 204 18 x 203 18 x 202 18 x 20 (au lieu

de 202) 201 unités 144000 7200 360 20 1 à 19 1 3 12 7

8527 (base 10 usuelle) = (base vigésimal maya) Si une puissance de 20 venait à manquer, les Mayas utilisaient un symbole spécifique, équivalent au zéro

arabo-indien qui est aujourd'hui le nôtre : haut de page , Brahmagupta. Ce signe ressemble à une petite

coquille; les historiens y voient aussi le symbole d'un oeil entrouvert :Voici quelques nombres où ce symbole apparaît : 20100..... = 1800 ......= 435961

quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

[PDF] système positionnel définition

[PDF] exercice fraction décimale

[PDF] passer d une fraction ? un nombre décimal

[PDF] chiffre en lettre pdf

[PDF] leçon fraction décimale 6ème

[PDF] fraction décimale définition

[PDF] numération égyptienne cycle 3

[PDF] numération égyptienne avantages inconvénients

[PDF] comment lire les chiffres egyptiens

[PDF] numeration egyptienne exercice

[PDF] chiffre egyptien exercices

[PDF] chiffre egyptien de 1 a 1000

[PDF] droite graduée abscisse

[PDF] placer des fractions sur une droite graduée cm1

[PDF] raconter un combat entre ulysse et un monstre