MAT 099 – Compléments de mathématiques
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Exo7 Calculs d"intégrales
Fiche d"Arnaud Bodin, soigneusement relue par Chafiq Benhida1 Utilisation de la définition
Exercice 1Soitfla fonction définie sur[0;4]par
f(x) =8 >>>>>:1 six=01 si 0 3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? H???Exercice 2 Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
HH???Exercice 3 Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. HH???Exercice 4 Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
H???2 Calculs de primitives Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
HH???Exercice 6 Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
HH???Exercice 7 Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
HH???2 3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
HH???Exercice 9 Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
HH???Exercice 10Intégrales de WallisSoitIn=Z p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p HH???Exercice 11 SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k HH???3 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. HH???Exercice 13 Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. HH???Exercice 14 Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
3 six=1
2 si 1 4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? H???Exercice 2 Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
HH???Exercice 3 Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. HH???Exercice 4 Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
H???2 Calculs de primitives Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
HH???Exercice 6 Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
HH???Exercice 7 Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
HH???2 3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
HH???Exercice 9 Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
HH???Exercice 10Intégrales de WallisSoitIn=Z p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p HH???Exercice 11 SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k HH???3 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. HH???Exercice 13 Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. HH???Exercice 14 Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
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4 si 2 1. Calculer
R4 0f(t)dt.
2. Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? H???Exercice 2 Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex; Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR1 0f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
HH???Exercice 3 Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. HH???Exercice 4 Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
H???2 Calculs de primitives Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
HH???Exercice 6 Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
HH???Exercice 7 Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
HH???2 3 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
HH???Exercice 9 Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
HH???Exercice 10Intégrales de WallisSoitIn=Z p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p HH???Exercice 11 SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k HH???3 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. HH???Exercice 13 Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. HH???Exercice 14 Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
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Calculer
R40f(t)dt.
2.Soit x2[0;4], calculerF(x) =Rx
0f(t)dt.
3. Montrer que Fest une fonction continue sur[0;4]. La fonctionFest-elle dérivable sur[0;4]? H???Exercice 2Soient les fonctions définies surR,
f(x) =x,g(x) =x2eth(x) =ex;Justifier qu"elles sont intégrables sur tout intervalle fermé borné deR. En utilisant les sommes de Riemann,
calculer les intégralesR10f(x)dx,R2
1g(x)dxetRx
0h(t)dt.
HH???Exercice 3Soitf:[a;b]!Rune fonction continue sur[a;b](a 1. On suppose que f(x)>0 pour toutx2[a;b], et quef(x0)>0 en un pointx02[a;b]. Montrer queRb af(x)dx>0. En déduire que : "sifest une fonction continue positive sur[a;b]telle queRb af(x)dx=0 alorsfest identiquement nulle». 2. On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR1 0f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. HH???Exercice 4 Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 1 1.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3. Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4. Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5. Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7. Si fest paire alorsFest impaire.
H???2 Calculs de primitives Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1. Rx2lnxdx
2. Rxarctanxdx
3. RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4. Rcosxexpxdx
HH???Exercice 6 Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. R(cosx)1234sinxdx
2. R1xlnxdx
3. R13+exp(x)dx
4. R1p4xx2dx
HH???Exercice 7 Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x 23x4dx
2. Rx1x 2+x+1dx
3. Rsin8xcos3xdx
4. R1sinxdx
5. R3sinx2cosx+3tanxdx
HH???2 3 Calculs d"intégrales
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1. R p2 0xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R1 01(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R1 03x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x 2arctanxdx(changement de variableu=1x
HH???Exercice 9 Calculer les intégrales suivantes :
Z p2 011+sinxdxetZ
p2 0sinx1+sinxdx:
HH???Exercice 10Intégrales de WallisSoitIn=Z p2 0(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR1 11x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3. Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
p HH???Exercice 11 SoitIn=Z
1 0x n1+xdx. 1. En majorant la fonction intégrée, montrer que lim n!+¥In=0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n!+¥ nå k=1(1)k+1k HH???3 4 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. HH???Exercice 13 Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1: Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
en fonction dex. Enfin calculer une intégrale. HH???Exercice 14 Calculer la limite des suites suivantes :
1.un=nn1å
k=01k 2+n2 2.vn=nÕ
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On suppose que
Rb af(x)dx=0. Montrer qu"il existec2[a;b]tel quef(c) =0. 3. Application: on suppose que fest une fonction continue sur[0;1]telle queR10f(x)dx=12
. Montrer qu"il existed2[0;1]tel quef(d) =d. HH???Exercice 4Soitf:R!Rune fonction continue surRetF(x) =Rx
0f(t)dt. Répondre par vrai ou faux aux affirmations
suivantes: 11.Fest continue surR.
2.Fest dérivable surRde dérivéef.
3.Si fest croissante surRalorsFest croissante surR.
4.Si fest positive surRalorsFest positive surR.
5.Si fest positive surRalorsFest croissante surR.
6. Si festT-périodique surRalorsFestT-périodique surR. 7.Si fest paire alorsFest impaire.
H???2 Calculs de primitives Exercice 5Calculer les primitives suivantes par intégration par parties. 1.Rx2lnxdx
2.Rxarctanxdx
3.RlnxdxpuisR(lnx)2dx
4.Rcosxexpxdx
HH???Exercice 6 Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1.R(cosx)1234sinxdx
2.R1xlnxdx
3.R13+exp(x)dx
4.R1p4xx2dx
HH???Exercice 7Calculer les primitives suivantes, en précisant si nécessaire les intervalles de validité des calculs :
1. Rx+2x23x4dx
2. Rx1x2+x+1dx
3.Rsin8xcos3xdx
4.R1sinxdx
5.R3sinx2cosx+3tanxdx
HH???23 Calculs d"intégrales
Exercice 8Calculer les intégrales suivantes :
1. R p20xsinxdx(intégration par parties)
2. R1 0expe x+1dx(à l"aide d"un changement de variable simple) 3. R101(1+x2)2dx(changement de variablex=tant)
4. R103x+1(x+1)2dx(décomposition en éléments simples)
5. R212 1+1x2arctanxdx(changement de variableu=1x
HH???Exercice 9Calculer les intégrales suivantes :
Z p2011+sinxdxetZ
p20sinx1+sinxdx:
HH???Exercice 10Intégrales de WallisSoitIn=Z p20(sinx)ndxpourn2N.
1. Montrer que In+2=n+1n+2In. ExpliciterIn. En déduireR111x2ndx.
2. Montrer que (In)nest positive décroissante. Montrer queInIn+1 3.Simplifier InIn+1. Montrer queInpp
2n. En déduire13(2n+1)24(2n)2pn
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n!+¥ nå k=1(1)k+1k HH???34 Applications : calculs d"aires, calculs de limites
Exercice 12Calculer l"aire de la région délimitée par les courbes d"équationy=x22 ety=11+x2. HH???Exercice 13 Calculer l"aire intérieure d"une ellipse d"équation : x 2a 2+y2b 2=1:Indications.On pourra calculer seulement la partie de l"ellipse correspondant àx>0,y>0. Puis exprimery
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