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Chapitre 3 : Num´erisation

John Klein

Universit´e de Lille - CRIStAL UMR CNRS 9189

John Klein (UdL)SiS1/33

Paradoxe:

Un signalnum´eriqueest extrait d"un signal analogique, il contient donc moins d"informations. Pourtant lenum´eriqueoffre unequalit´ede traitement largement sup´erieure. →Pourquoi?

John Klein (UdL)SiS2/33

Paradoxe: explications

Unordinateurne sait manipuler que des donn´ees binaires (donc num´eris´ees). Les ordinateurs offrent une capacit´e de calcul avec laquelle les syst`emes analogiques ne peuvent pas rivaliser. Il est plus facile deprot´egerune information dans un signal num´erique que dans un signal analogique. On utilise pour cela des codes-correcteurs d"erreurs. L"arch´etype du code-correcteur est le checksumbinaire.

John Klein (UdL)SiS3/33

Conversion analogique num´erique

Plan du chapitre

1Conversion analogique num´erique

Echantillonnage

Quantification

2Analyse des signaux num´eriques

Analyse temporelle

Analyse fr´equentielle

John Klein (UdL)SiS4/33

Conversion analogique num´erique

Les signaux num´eriques n"existent pas dans la nature. Les signaux num´eriques que nous traitons sur ordinateurs sont tous issus d"un signal analogique originel pass´e en entr´ee d"un syst`eme appel´e convertisseur analogique/num´erique(CAN). Ce dispositif peut se mod´eliser en deux sous-syst`emes : l"´echantillonneur: il transforme le signal analogiquex(t)en unesuite de valeurs r´eelles (ou complexes)xk. lequantifieur: il transforme chaque valeurxkr´eelle en unniveau xk?D, avecDun ensemble de taille finie. Comme le nombre de niveaux est fini, on peut donc attribuer un code entier `a chaque niveau et ainsi les sauvegarder num´eriquement sur 1 ou plusieurs octets.

John Klein (UdL)SiS5/33

Conversion analogique num´eriqueEchantillonnage

Echantillonnage:

L"´etape d"´echantillonnage consiste simplement `a enregistrer `a pas (temporel) constant le signal analogique. Le pas est appel´ep´eriode d"´echantillonnagenot´eeTe. Figure-Vue sch´ematique ? entr´ee / sortie ?d"un ´echantillonneur.

John Klein (UdL)SiS6/33

Conversion analogique num´eriqueEchantillonnage

Echantillonnage:

Si l"entr´ee de l"´echantillonneur estx(t), on notexe(t)sa sortie (voir figure 1) qui vaut : x e(t) =? x(t)si?n?Z|t=nTe

0sinon.(1)

On peut aussi voirxe(t)comme untrain d"impulsions: x e(t) =? n?Zx(nTe)δ(t-nTe),(2) ou encorexe(t) =ШTe(t)×x(t).(3)

John Klein (UdL)SiS7/33

Conversion analogique num´eriqueEchantillonnage

Echantillonnage:

-1 1 2 3 4 512tx(t)signal analogique Te1

2tШ

Te(t)peigne

Te1 2tx e(t)signal ´echantillonn´e Figure-Graphique illustrant l"´echantillonnage d"un signal analogiquex(t).

John Klein (UdL)SiS8/33

Conversion analogique num´eriqueEchantillonnage

Echantillonnage:

D"un point de vue informatique, on conserve d"une part la valeur de T e, et d"autre part, la suite de valeursxn=x(nTe). Chaque valeurxnenregistr´ee individuellement est appel´ee´echantillon du signal analogique.

John Klein (UdL)SiS9/33

Conversion analogique num´eriqueEchantillonnage

Echantillonnage: impact en fr´equence

On poseFe=1Te, lafr´equence d"´echantillonnage. Appliquons laTF`a la formule de l"´echantillonnage : X e(f) =F {xe}(f), =F {x×ШTe}(f), ={F {x}?F {ШTe}}(f), ={X?FeШFe}(f), X?Fe? n?Zδ nFe? (f), =Fe? n?Z{X? δnFe}(f),

John Klein (UdL)SiS10/33

Conversion analogique num´eriqueEchantillonnage

Echantillonnage: impact en fr´equence

Propri´et´e g´en´erale de la distribution deDirac: g(v-a) =?+∞ -∞g(u)δa(v-u)du, pour toute fonctiong. Dans le calcul pr´ec´edent, cela donne donc : X e(f) =Fe? n?ZX(f-nFe).(4) L"´echantillonnage induit unereproduction du spectre d"origineX(f) tous les multiples de la fr´equences d"´echantillonnage. Chaque reproduction du spectre est appel´eer´eplique.

John Klein (UdL)SiS11/33

Conversion analogique num´eriqueEchantillonnage

Echantillonnage: impact en fr´equence

Fmax1fX(f)spectre du signal analogique

avant ´echantillonnage Fe1fX e(f)spectre du signal ´echantillonn´e Figure-Graphique illustrant le ph´enom`ene de r´epliques spectrales apr`es

´echantillonnage.

John Klein (UdL)SiS12/33

Conversion analogique num´eriqueEchantillonnage

Echantillonnage:perted"information?

Sur la figure, on peut r´ecup´ererX(f)`a partir deXe(f)car

X(f) =1

FeXe(f)×Π[-Fe2;Fe2](f).

-Fe2F e21 fX e(f)spectre du signal ´echantillonn´e

Spectre du signal ´echantillonn´eXe(f)

Spectre r´ecup´er´e apr`es filtrage

Filtre id´eal passe-basΠ[-Fe

2;Fe2](f)

Figure-Fenˆetrage du spectre du signal ´echantillonn´e.

John Klein (UdL)SiS13/33

Conversion analogique num´eriqueEchantillonnage

Echantillonnage:perted"information?

En faisant la TF inverse deX(f), il est possible contre toute attente de r´ecup´erer le signal originelx(t)`a partir du signal ´echantillonn´e x e(t). En revanche, la figure n"est pas repr´esentative du cas g´en´eral! On a en effet le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme (de l"´echantillonnage de Shannon) Soit un signalx(t)dont le spectreX(f)est `a support born´e, c"est `a dire qu"il existe une fr´equenceFmaxtelle que?f>Fmax,X(f) =0. Si on ´echantillonne le signalx(t)`a une fr´equenceFetelle que : F e≥2Fmax(5) alors l"´echantillonnage se fait sans perte d"informations.

John Klein (UdL)SiS14/33

Conversion analogique num´eriqueEchantillonnage

Echantillonnage:perted"information?

Pour se convaincre, poussons le calcul quand les hypoth`eses du th´eor`eme sont respect´ees :

X(f) =1

FeXe(f)×Π[-Fe2;Fe2](f),

? F -1{X}(t) =1

FeF-1?

X e×Π[-Fe2;Fe2]? (t), ?x(t) =1

Fe{xe?Fesinc(πFet)}(t).

n?Zx e(nTe)sinc(πFe(t-nTe)).

John Klein (UdL)SiS15/33

Conversion analogique num´eriqueEchantillonnage

Echantillonnage:perted"information?

Et si Shannon n"est pas respect´e?-→recouvrement Fe1fX e(f)spectre du signal ´echantillonn´e Figure-Graphique illustrant le ph´enom`ene de recouvrement en cas d"´echantillonnage avec perte. Impossible de r´ecup´ererX(f)en fenˆetrant par une fonction porte. On a tout de mˆemexe-→xquandFe-→+∞. Plus on pr´el`eve de points, plusxeest proche dex.

John Klein (UdL)SiS16/33

Conversion analogique num´eriqueQuantification

Plan du chapitre

1Conversion analogique num´erique

Echantillonnage

Quantification

2Analyse des signaux num´eriques

Analyse temporelle

Analyse fr´equentielle

John Klein (UdL)SiS17/33

Conversion analogique num´eriqueQuantification

Quantification:

Une machine informatique est incapable de m´emoriser une valeur avec une pr´ecision infinie. Ceci est valable pour la variable temporelle (t) comme pour les relev´es de mesures effectu´es (lesxe(t)). Il faut donc appliquer une ´etape appel´eequantificationqui permettra d"obtenir une suite r´eelle tronqu´ee(xn).

John Klein (UdL)SiS18/33

Conversion analogique num´eriqueQuantification

Quantification: principe de la troncature

112nx
nsignal ´echantillonn´e

112nxnsignal num´erique

Figure-Quantification d"un signal ´echantillonn´exn.

John Klein (UdL)SiS19/33

Conversion analogique num´eriqueQuantification

Quantification:

Pour quantifier un signal, il faut d´ej`a pr´ed´efinir les valeurs que celui-ci peut prendre apr`es quantification. On appelle ces valeursniveauxet ils sont rep´er´es par des lignes en pointill´es dans la figure pr´ec´edente. La distance s´eparant deux niveaux est appel´eepas de quantification. Plus ce pas est important, plusxnest diff´erent dexnet donc plus la perte d"informationsest importante. Apr`es la quantification, lanum´erisationesttermin´ee, on peut donc qualifierxnde signal num´erique. Dans la suite du cours, nous n´egligerons les effets de quantification et nous confondrons donc signaux discrets et signaux num´eriques.

John Klein (UdL)SiS20/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse temporelle

Plan du chapitre

1Conversion analogique num´erique

Echantillonnage

Quantification

2Analyse des signaux num´eriques

Analyse temporelle

Analyse fr´equentielle

John Klein (UdL)SiS21/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse temporelle

Analyse temporelle:

La plupart des caract´eristiques et op´erations s"obtiennent en num´erique en transformant les int´egrales en sommes. Pour l"´energieet lapuissancemoyenne totale, on a : E x=? n?Z|xn|2,(6) P x= limk-→+∞1 2kk n=-k|xn|2.(7)

John Klein (UdL)SiS22/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse temporelle

Analyse temporelle:

L"inter-corr´elationnum´erique est donn´ee par : C xy,k=? n?Zx nyn-k(si infinit´e d"´echantillons),(8) N? n=0x nyn-k(siN´echantillons).(9) Leproduit de convolutiondevient en num´erique : {x?y}k=? n?Zx nyk-n(si infinit´e d"´echantillons),(10) N? n=0x nyk-n(siN´echantillons).(11)

John Klein (UdL)SiS23/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse temporelle

Analyse temporelle:

Comme dans le cas analogique,{x?y}kest bien laversion temporelle d"un nouveau signal. Pour ces formules, un´echantillon inexistantest remplac´e par unz´ero.

Ex :y-1pour le calcul de{x?y}0.

John Klein (UdL)SiS24/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse fr´equentielle

Plan du chapitre

1Conversion analogique num´erique

Echantillonnage

Quantification

2Analyse des signaux num´eriques

Analyse temporelle

Analyse fr´equentielle

John Klein (UdL)SiS25/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse fr´equentielle

Analyse fr´equentielle:

On peut appliquer aux signaux num´eriques la transform´ee de Fourier en les consid´erant comme un train d"impulsions. Cette manipulation poss`ede une limitation pratique importante : un syst`eme informatique ne peut traiter aucune donn´ee continue. Nous avons vu dans la section pr´ec´edente que le spectre d"un signal discret peut de son cˆot´e ˆetre continu! Il convient de passer en ?tout num´erique? et d"avoir un spectre discret, donc sauvegardable et manipulable par un ordinateur. -→cr´eation d"unnouvel outild´edi´e `a l"analyse fr´equentielle en num´erique : la

Transform´ee de Fourier discr`ete(TFD).

John Klein (UdL)SiS26/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse fr´equentielle

Analyse fr´equentielle: TFD

D´efinition

Soitxnun signal num´erique `a ´energie finie etN´echantillons. On appelle transform´ee de Fourier discr`ete(TFD) dexn, la repr´esentation fr´equentielle discr`ete not´eeXmtelle que : X m=N-1? n=0x ne-2iπnm

N,(12)

avecmun entier compris entre 0 etN-1. On noteT FDl"op´erateur qui `a x nassocieXm=T FD{xn}.

John Klein (UdL)SiS27/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse fr´equentielle

Analyse fr´equentielle: TFD

Elle fournitautant d"´echantillons fr´equentiels(lesXm) qu"on en avait en temporel (lesxn). Elle offre une repr´esentation fr´equentielle sur l"intervalle[0,Fe]. Il est inutile d"observer le spectre sur le reste des fr´equences car l"´echantillonnage provoque des r´epliques spectrales. La repr´esentation fr´equentielle est alors p´eriodiqueet sa p´eriode est justementFe. Les ´echantillons fr´equentiels sont equi-r´epartis sur le segment[0,Fe]. La r´esolution fr´equentielle(l"´ecart en fr´equence entre deux

´echantillons) est donc forc´ementΔf=Fe

N=1τavecτla dur´ee

d"enregistrement du signal en seconde.

John Klein (UdL)SiS28/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse fr´equentielle

Analyse fr´equentielle: TFD

Formellement, la repr´esentation fr´equentielleXnum(f)qu"on obtient grˆace `a la TFD est donc une fonction des fr´equences qui est F e-p´eriodique et telle que?f? [0;Fe]: X num(f) =? X msif=mFe

N=m×Δf

0sinon.(13)

On confondra la suiteXmet la fonctionXnum(f), de mˆeme qu"on confond la suitexnet la fonctionxe(t).

John Klein (UdL)SiS29/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse fr´equentielle

Analyse fr´equentielle: TFD (illustration)

Te1 2tx nsignal discret -FeFe2Fe246 Δf

´echantillons

fournis par la TFD´echantillonsobtenue par p´eriodicit´e´echantillonsobtenue par p´eriodicit´ef|Xm|

John Klein (UdL)SiS30/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse fr´equentielle

Analyse fr´equentielle: TFD (illustration)

-FeFe2Fe -22 Δf

´echantillons

fournis par la TFD´echantillonsobtenue par p´eriodicit´e´echantillonsobtenue par p´eriodicit´e f? m

John Klein (UdL)SiS31/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse fr´equentielle

Analyse fr´equentielle: TFD

Tout comme la TF, la TFD est une op´erationsans perte. Il existe donc un processus inverse appel´etransform´ee de Fourier discr`ete inverse x n=T FD-1(Xm), 1 NN-1? m=0X me2iπmn

N.(14)

Pour la mise en pratique sur ordinateur, il existe un algorithme appel´e

Fast Fourier Transform(

FFT) qui fonctionne si le nombre

d"´echantillonsNest une puissance de 2.

John Klein (UdL)SiS32/33

Analyse des signaux num´eriquesAnalyse fr´equentielle

Analyse fr´equentielle: TFD et TF

Il faut bien comprendre que la TFD est un outil d"analysediff´erentde la TF.

Un lien existe dans certains cas seuleument :

Partons d"unsignal analogiquex(t)a priori non-nul pour toute valeur det. Lesignal enregistr´eestx(t) =x(t)×Π[0;τ](t).

Supponsons queShannons"applique, on a alors :

1

FeXm=X?mFeN?

,(15) pour tout entiermcompris entre-?N

2?et?N2?1.

Dans le prochain chapitre, nous ne sp´ecifierons plus que le signal est fenˆetr´e en abandonnant la notationxnau profit dexn.

1. pour tout r´eelx,?x?d´esigne la partie enti`ere dex.

John Klein (UdL)SiS33/33

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