´Energie potentielle -´Energie mécanique - Probl`emes `a un degré PDF

Em=Ec + Ep

Chapitre 9 : Energie potentiel et mécanique (classe 3ème). I- L'énergie de position (potentiel de pesanteur). L'énergie de position noté Ep (ou de potentielle

Bille qui roule namasse pas mousse !

énergie de position (potentielle de gravitation) max et min et une énergie cinétique max et min. » L'enseignant demande aux élèves de venir positionner sur ...

Lénergie potentielle

Energie potentielle:Ep(J). Masse:m(kg). Représentation graphique de Ep en *L'énergie potentielle est l'énergie que possède un corps du fait de sa hauteur ...

M2 - Énergie potentielle I. Transfert dénergie

Si on dépose sans vitesse la masse m dans l'une de ces positions elle devrait y demeurer

Il existe différents types dénergie que nous connaissons déjà. Mais

De quoi dépend l'énergie potentielle de position ? L'energie potentielle de position dépend de l'altitude (de sa position donc) et de la masse. Pourquoi un

´Energie potentielle -´Energie mécanique - Probl`emes `a un degré

4 Probl`eme `a un degré de liberté. 3. 4.1 Positions d'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 4.1.1 Équilibre stable - Exemple du ressort

Partie Mécanique Thème 2 : Mouvement et interactions

1 – Lorsque la pomme est accrochée à la branche de l'arbre possède-t-elle une énergie de position ou une énergie cinétique ? énergie potentielle de position ...

3eme_Dans le garage_Chapitre 1_Activite 2_Correction.pages

L'énergie de position aussi appelé énergie potentielle de pesanteur

Correction Énergie potentielle Cours Énergie potentielle

2) La vitesse du personnage augmente au cours de sa glissade. Interprétation. 1) L'énergie de position diminue car la hauteur par rapport au sol du personnage.

´Energie potentielle -´Energie mécanique - Probl`emes `a un degré

4 Probl`eme `a un degré de liberté. 3. 4.1 Positions d'équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 4.1.1 Équilibre stable - Exemple du ressort

Em=Ec + Ep

Chapitre 9 : Energie potentiel et mécanique (classe 3ème) L'énergie de position noté Ep (ou de potentielle de pesanteur Epp) d'un objet de masse « m ...

TD - M2 - Énergie potentielle 1 Détermination de positions d

1 Détermination de positions d'équilibre. Un point matériel repéré par sa position x

Chapitre 3 :Aspect énergétique de la mécanique du point

indépendante de la position et du temps E est l'énergie potentielle de M dans le champ de force F ... 1) Energie potentielle de pesanteur Epp.

The Monist: Année 1907

l'énergie quelques physiciens ont pensé qu'on pourrait en faire la énergie de position (potentiel)

Lénergie potentielle

Avec: Ep est l'énergie potentielle en J m est la valeur de la masse kg

3ch11c.pdf

Un objet possède une énergie potentielle dépendant de sa position. ) Au cours d'une chute d'eau de l'énergie .pgte..ntje.lle est conveftie en énergie

Ep = m.g.h Ec= m.

Un objet au voisinage de la Terre possède une énergie de position appelée énergie potentielle notée Ep. Cette énergie dépend de hauteur ( altitude) où se

´Energie potentielle -´Energie mécanique - Probl`emes `a un degré

x = 0 le minimum d'énergie potentielle

M2 - Énergie potentielle I. Transfert dénergie

Déterminer pour chacun des exemple suivants la position d'équilibre et sa stabilité. • masse sur un ressort (amortisseur de voiture). Système : masse m.

SAVOIR SON COURS CH.9 ÉNERGIES – exercices - correction

L'énergie de mouvement est appelée énergie cinétique Lorsqu'un objet tombe il perd de l'énergie de position. Si sa vitesse augmente lors de la chute

MPSI - 2006/2007 - M´ecanique I -´Energie potentielle -´Energie m´ecanique - Probl`emes `a un degr´e de libert´e page 1/6´Energie potentielle -´Energie

m´ecanique - Probl`emes `a un degr´e de libert´e Dans le chapitre pr´ec´edent nous avons ´etabli, `a partir de la 2eloi de Newton,

le th´eor`eme de l"´energie cin´etique et d´efini l"´energie cin´etique, le travail et

la puissance d"une force.Table des mati`eres1 Travail d"une force - Exemples 1

1.1 Force de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Force de rappel ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Force de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

´Energie potentielle2

2.1 Force conservative... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 ...ou force d´erivant d"une ´energie potentielle . . . . .. . . . 2

´Energie m´ecanique2

3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.2 Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Probl`eme `a un degr´e de libert´e 3

4.1 Positions d"´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4.1.1´Equilibre stable - Exemple du ressort . . . . . . . . . 3

4.1.2´Equilibre instable - Exemple du pendule . . . . . . . 3

4.1.3 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2 Petits mouvements au voisinage d"une position d"´equilibre

stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2.1 Exemple du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2.2 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.3 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.3.1 D´eterminisme m´ecanique -´Etat d"un syst`eme . . . . 5

4.3.2 Lecture et interpr´etation . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Travail d"une force - Exemples1.1 Force de pesanteur

δW=F.dOM=-mg dz

12=-mg(z2-z1) =mgz1-mgz2=Ep1-Ep2

avec

Ep(z) =mgz+cte

Attention `a l"orientation des axes!

1.2 Force de rappel ´elastique

δW=F.dOM=-kxdx

12=-k(x22

2-x21

2) =Ep1-Ep2

avec

Ep(x) =1

2kx2+cte

1.3 Force de frottement

δW=F.dOM=-kvxdx

12ne peut pas se mettre sous la formeEp1-Ep2.

Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007

MPSI - 2006/2007 - M´ecanique I -´Energie potentielle -´Energie m´ecanique - Probl`emes `a un degr´e de libert´e page 2/61.4 ExerciceSoit dans le planOxyun point mat´eriel soumis `a la force :

F= (y2-x2)ex+ 4xyey

Calculer le travail deO(0,0) `aA(1,1)

- suivant la droiteOA. - suivantOxdex= 0 `ax= 1 puis suivantOydey= 0 `ay= 1. - suivantOydey= 0 `ay= 1 puis suivantOxdex= 0 `ax= 1.

Wd´epend du chemin suivi.2´Energie potentielle2.1 Force conservative...Une force estconservative(ou encore d´erive d"une ´energie potentielle)

s"il existe une fonctionEp(x,y,z,(t)) appel´ee´energie potentielletelle que

δW=-dEp.L"´energie potentielle est d´efinie `a une constante pr`es.Le travail ne d´epend plus du chemin suivi

W=?

δW=-?

dE p=Ep1-Ep2=-ΔEp en particulier ?δW= 0. ?δW=?F.dOMest aussi appel´ee circulation deF.

2.2 ...ou force d´erivant d"une ´energie potentielle

dE p=-δW=-F.dOM=-(Fxdx+Fydy+Fzdz)

Ep(x,y,z)?dEp=∂Ep

∂xdx+∂Ep ∂ydy+∂Ep ∂zdz ?F x=-∂Ep ∂x F y=-∂Ep∂y F z=-∂Ep∂z que l"on peut ´ecrire de mani`ere plus condens´eeF=-grad(Ep). Exemple : le poids est oppos´e au gradient demgz. Dans le planOxy,Fd´erive d"une ´energie potentielle si∂Fx ∂y=∂Fy ∂x. Exemple :F= (y2-x2)ex+ 4xyeyne d´erive pas d"une ´energie po- tentielle.

3´Energie m´ecanique3.1 D´efinition

dE c= (Fc+Fnc).dOM dE c=δWc+δWnc=-dEp+δWnc d(Ec+Ep) =δWncEc+Ep=Emappel´e´energie m´ecanique Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007

MPSI - 2006/2007 - M´ecanique I -´Energie potentielle -´Energie m´ecanique - Probl`emes `a un degr´e de libert´e page 3/6Dans un r´ef´erentiel galil´een, la variation d"´energie m´ecanique est ´egale au

travail des forces non conservatives :

ΔEm=Wnc

ou encore dans un r´ef´erentiel galil´een, la d´eriv´ee de l"´energie m´ecanique par

rapport au temps est ´egale `a la puissance des forces non conservatives : dE m dt=Pnc

3.2 ConservationSi la puissance dissip´ee par les forces non conservatives est nulle `a tout

instant alorsEm=cte(´equation appel´eeint´egrale premi`ere de l"´energie).Exemple du ressort :Em=1

2mx2+1

2kx2=cte

dE m dt= 0?mx¨x+kxx= 0

Exemple du pendule :Em=1

2m(lθ)2+mg l(1-cosθ) =cte

dE m dt= 0?ml2θ¨θ+mg lsinθθ= 0

4 Probl`eme `a un degr´e de libert´e4.1 Positions d"´equilibre4.1.1´Equilibre stable - Exemple du ressort

E p=1 2kx2 xE pE p -aaE cE m? F?F CommeEm=cte=Ec+EpetEc≥0,Emest la plus grande valeur que puisse prendreEp. Le mouvement est donc limit´e parx=-aetx= +a. F x=-dEp dx=-kx Entre 0 et-a,Fx≥0 ram`ene aussi le syst`eme enx= 0. x= 0, le minimum d"´energie potentielle, correspond `a une position d"´equi- libre stable pour le ressort.4.1.2´Equilibre instable - Exemple du pendule E p=mgl(1-cosθ) Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007

MPSI - 2006/2007 - M´ecanique I -´Energie potentielle -´Energie m´ecanique - Probl`emes `a un degr´e de libert´e page 4/6

Ep ?F?F Comme pour le ressort,θ= 0, le minimum d"´energie potentielle, correspond

`a une position d"´equilibre stable pour le pendule.Regardons maintenant ce qui se passe autour du maximum d"´energie poten-

tielleθ=π:

δW=Frdr+Fθrdθ=Fθldθ=-dEp

θ=-1

ldE pdθ=-mgsinθ Entreπet 2π,Fθ≥0 ´eloigne aussi le syst`eme deθ=π. θ=π, le maximum d"´energie potentielle, correspond `a une position d"´equi- libre instable pour le pendule.

4.1.3 G´en´eralisation

xE p ?F?F?F x1x2 Un minimum d"´energie potentiellex1correspond `a une position d"´equilibre stable:?dEp dx? x

1= 0 et?d2Ep

dx2? x 1>0 Un maximum d"´energie potentiellex2correspond `a une position d"´equilibre instable: ?dEp dx? x

2= 0 et?d2Ep

dx2? x 2<0 SiEm< Ep(x1), le syst`eme peut s"´echapper vers lesx >0, on a un´etat de diffusion. SiEp(x1)< Em< Ep(x2), le syst`eme est confin´e entrexaetxb, on a un

´etat li´e.

SiEm> Ep(x2), on a encore un ´etat de diffusion. (Faire 3 sch´emas diff´erents) Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007

MPSI - 2006/2007 - M´ecanique I -´Energie potentielle -´Energie m´ecanique - Probl`emes `a un degr´e de libert´e page 5/64.2 Petits mouvements au voisinage d"une position

d"´equilibre stable

4.2.1 Exemple du pendule

Ep=mgl(1-cosθ)

Au voisinage deθ= 0, cosθ?1-θ2

2 E p?mglθ2 2 E m=cte=1

2m(lθ)2+mglθ2

2?0 =ml2θ¨θ+mg lθθ

θ+g

lθ= 0 Ce que l"on retrouve aussi en faisant sinθ?θ.

4.2.2 G´en´eralisation

Une fonctionf(x) peut ˆetre d´evelopp´ee autour dex0selon f(x) =f(x0) +∞? n=1(x-x0)n n!f(n)(x0) (D´eveloppement en s´erie de Taylor)

Exemple :f(x) = cosxautour dex= 0

cosx= 1-x2 2+x4

24+...

D´evelopponsEp(x) autour d"une position d"´equilibrex=xe E p(x) =Ep(xe) + (x-xe)?dEp dx? x e+(x-xe)2 2? d2Ep dx2? x e+... =Ep(xe) + 0 +1

2k(x-xe)2+...

en posantk=?d2Ep dx2? x eL"´energie m´ecanique se conservant E m=cte=12mx2+Ep(xe) +1

2k(x-xe)2?m¨x+k(x-xe) = 0

ou encore en posantX=x-xe m

¨X+kX= 0

Sik >0, on retrouve l"´equation diff´erentielle de l"oscillateurharmonique, le syst`eme oscille autour de la position d"´equilibre qui est donc stable. Sik <0,X=Acosh(ωt+?), le syst`eme s"´eloigne de la position d"´equilibre qui est donc instable.

4.3 Portrait de phase

4.3.1 D´eterminisme m´ecanique -´Etat d"un syst`eme

Pour un probl`eme `a un degr´e de libert´ex, la 2eloi de Newton donne m d2x dt2=F? x,dx dt,t? Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007

MPSI - 2006/2007 - M´ecanique I -´Energie potentielle -´Energie m´ecanique - Probl`emes `a un degr´e de libert´e page 6/6´equation diff´erentielle du 2eordre ´equivalent `a

?dx dt=v m dvdt=F(x,v,t) syst`eme de deux ´equations diff´erentielles d"ordre un. Ce syst`eme admet une solution unique six(0) etv(0) sont donn´es. Les syst`emes m´ecaniques ont une ´evolution unique pour des conditions

initiales d´etermin´ees (principe du d´eterminisme m´ecanique).L"´etat d"un syst`eme`a un degr´e de libert´e est repr´esent´e `a tout instant,

par un pointP(t) de coordonn´ees (x,v) dans un plan appel´eplan de phase. x Ov P(0) P(t) x(0)x(t)v(0) v(t) Quand le temps s"´ecoule, le pointP(t) d´ecrit une courbe appel´eetrajec- toire de phase. Toute trajectoire de phase d´ebute enP(0) de coordonn´ees (x(0),v(0)). Leportrait de phased"un syst`eme est l"ensemble des trajectoires de phase du sys obtenues en consid´erant l"ensemble des conditions initiales r´ealisables.

4.3.2 Lecture et interpr´etation

(voir document)

Oscillateur

E m=1

2mv2+1

2kx2=1

2ka2 x 2 a2+v2 a2ω20= 1 c"est l"´equation d"une ellipse.

Oscillateur amorti

L"´energie m´ecanique diminue.

Pendule

Suivant les conditions initiales, le mouvement peut-ˆetre : - harmonique - p´eriodique mais non harmonique - r´evolutif Notons la sensibilit´e du pendule aux conditions initiales.

Retenons :

Si la trajectoire est ferm´ee, le mouvement est p´eriodique; sila trajec- toire est en plus elliptique, le mouvement est sinuso

¨ıdal; une bosse (vitesse

maximale) sur la trajectoire de phase correspond `a une positiond"´equilibre stable; un creux (vitesse minimale) correspond `a une position d"´equilibre instable. Damien DECOUT - Derniere modification : janvier 2007quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] ´Energie potentielle -´Energie mécanique - Probl`emes `a un degré

1.1 Force de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Force de rappel ´elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Force de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

´Energie potentielle2

2.1 Force conservative... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 ...ou force d´erivant d"une ´energie potentielle . . . . .. . . . 2

´Energie m´ecanique2

3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.2 Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Probl`eme `a un degr´e de libert´e 3

4.1 Positions d"´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4.1.1´Equilibre stable - Exemple du ressort . . . . . . . . . 3

4.1.2´Equilibre instable - Exemple du pendule . . . . . . . 3

4.1.3 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2 Petits mouvements au voisinage d"une position d"´equilibre

4.2.1 Exemple du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2.2 G´en´eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.3 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.3.1 D´eterminisme m´ecanique -´Etat d"un syst`eme . . . . 5

4.3.2 Lecture et interpr´etation . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Travail d"une force - Exemples1.1 Force de pesanteur

δW=F.dOM=-mg dz

12=-mg(z2-z1) =mgz1-mgz2=Ep1-Ep2

Ep(z) =mgz+cte

Attention `a l"orientation des axes!

1.2 Force de rappel ´elastique

δW=F.dOM=-kxdx

12=-k(x22

2) =Ep1-Ep2

Ep(x) =1

2kx2+cte

1.3 Force de frottement

δW=F.dOM=-kvxdx

12ne peut pas se mettre sous la formeEp1-Ep2.

F= (y2-x2)ex+ 4xyey

Calculer le travail deO(0,0) `aA(1,1)

δW=-?

2.2 ...ou force d´erivant d"une ´energie potentielle

Ep(x,y,z)?dEp=∂Ep

3´Energie m´ecanique3.1 D´efinition

ΔEm=Wnc

3.2 ConservationSi la puissance dissip´ee par les forces non conservatives est nulle `a tout

2mx2+1

2kx2=cte

Exemple du pendule :Em=1

2m(lθ)2+mg l(1-cosθ) =cte

4 Probl`eme `a un degr´e de libert´e4.1 Positions d"´equilibre4.1.1´Equilibre stable - Exemple du ressort

δW=Frdr+Fθrdθ=Fθldθ=-dEp

θ=-1

4.1.3 G´en´eralisation

1= 0 et?d2Ep

2= 0 et?d2Ep

´etat li´e.

4.2.1 Exemple du pendule

Ep=mgl(1-cosθ)

Au voisinage deθ= 0, cosθ?1-θ2

2m(lθ)2+mglθ2

2?0 =ml2θ¨θ+mg lθθ

θ+g

4.2.2 G´en´eralisation

Exemple :f(x) = cosxautour dex= 0

24+...

2k(x-xe)2+...

2k(x-xe)2?m¨x+k(x-xe) = 0

¨X+kX= 0

4.3 Portrait de phase

4.3.1 D´eterminisme m´ecanique -´Etat d"un syst`eme

4.3.2 Lecture et interpr´etation

Oscillateur

2mv2+1

2kx2=1

Oscillateur amorti

L"´energie m´ecanique diminue.

Pendule

Retenons :

¨ıdal; une bosse (vitesse