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Je résous des problèmes

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J'effectue des divisions euclidiennes

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J'effectue des petits problèmes

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Je découvre la divisibilité

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Je découvre les critères de divisibilité

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J'utilise les critères de divisibilité

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Je travaille avec les durées

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J'effectue des problèmes de synthèse

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Cned, Mathématiques 6e -

191

Séquence 6séance 1 -

Séance 1

Je résous des problèmes

Avant de commencer cette séance, lis lentement les objectifs de la séquence n° 6. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret. je révise les acquis de l'école

1- Hugo possède 25 billes. Il veut les

partager équitablement entre ses quatre amis. Combien de billes va-t-il donner à chacun ? a) 5 b) 1 c ) 4 d) 62- Combien de billes reste-t-il à Hugo après avoir partagé ses 25 billes entre ses quatre amis ? a) 0 b ) 1 c ) 2 d) 3 3-

Parmi les nombres suivants, lequel est

un multiple de 5 ? a) 23 b ) 30 c) 24 d) 5014- La semaine dernière, le prix du baril d e pétrole était de 50 euros. Depuis, il a augmenté de 5 euros puis baissé de

3 euros. Quel est son nouveau prix ?

a) 13 euros b) 52 euros c) 15 euros d) 10 euros Nous allons maintenant commencer cette séquence. Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et écris : " SÉQUENCE 6 : DIVISION EUCLIDIENNE » . Il existe deux types de divisions : la division décimale (ou encore division à virgule) et la division euclidienne.

Nous allons dans cette séquence étudier la division euclidienne ; la division décimale sera vue plus

tard dans l'année. Effectue l'exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 1 : " Combien de fois ... ? »

a) Un album de BD coûte 8 . Caroline en achète un par semaine. Combien en a-t-elle acheté lorsqu'elle constate qu'elle a déjà dépensé 56 ? b ) L e chemin qui entoure le hameau où vit Charlotte est long de 9 km. À la fin de la semaine, elle a parcouru, au total, 63 km. Combien de fois a-t-elle fait le tour du hameau ? Prends ton cahier de cours et écris soigneusement le paragraphe suivant.

LES BASES

La notion de multiple :

56 s'écrit 7 x 8. On dit que 56 est un multiple de 7.

Remarques :

• Com me 56 s'écrit 8 x 7, on peut aussi dire que 56 est un multiple de 8. • Les multiples de 7 s'écrivent 7 x 0 ; 7 x 1 ; 7 x 2 ; 7 x 3 ; 7 x 4 ; 7 x 5 ; ... (c'est " la table de 7 »). j e retiens Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret.

Exercice 2 : " Combien de fois ... ? »

Le fleuriste, Alfred, compose des bouquets de 7 roses. Nous cherchons à savoir le nombre maximum de bouquets qu'il pourra confectionner avec 60 roses.

1- Écris les 11 premiers multiples de 7 ...............................................................................

2- On cherche à " approcher sans dépasser » 60 par le plus grand multiple de 7. Co mplète si tu le peux les 10 égalités ci-dessous :

60 = (7 x 1) +

.............................60 = (7 x 6) + .............................

60 = (7 x 2) +

.............................60 = (7 x 7) + .............................

60 = (7 x 3) +

.............................60 = (7 x 8) + .............................

60 = (7 x 4) +

.............................60 = (7 x 9) + .............................

60 = (7 x 5) +

.............................60 = (7 x 10) + ...........................

3- Quel nombre de bouquets Alfred peut-il confectionner avec 60 roses ? ...........................

Entoure l'égalité te permettant de répondre à cette question.

Exercice 3 : " Combien de fois ... ? »

En utilisant une méthode similaire à celle vue dans l'exercice précédent, réponds aux questions suivantes : a) On range les 39 enfants d'une colonie de vacances par groupes de 4.

• Combien peut-il y avoir de groupes au maximum ? ....................................................

• Comme dans le 3) de l'exercice 2, écris l'égalité te permettant d'obtenir ta réponse :

b) • Quel nombre maximun de douzaines d'huîtres peut constituer un pêcheur ayant pêché

90

huîtres ?(une douzaine, c'est douze huîtres) .......................................................................

• Comme dans le a), écris l'égalité te permettant d'obtenir ta réponse :

Séquence 6— séance 1

Cned, Mathématiques 6e

192
c) Une entreprise fabrique des bougies. Elle les vend par paquets de 17. Aujourd'hui, elle a produit 664 bougies. Quel est le nombre maximum de paquets qu'elle

peut vendre ? Utilise ta calculatrice ! .............................................................................................

• Comme dans le a), écris l'égalité te permettant d'obtenir ta réponse : Prends ton cahier de cours et écris le paragraphe ci-dessous.

La division euclidienne :

L'égalité suivante traduit la division euclidienne de 60 par 7 :

60 = 7 x 8 + 4

dividendediviseurquotient euclidien resresesteeeee Important : le reste est toujours plus petit que le diviseur (ici : 4 < 7 ). j e retiens Effectue sur ton livret les 3 exercices ci-dessous.

Exercice 4

a) Complète avec les mots " petit », " quotient euclidien », " dividende », " diviseur »

et " reste » :

............................. = ( ............................. x ............................. ) + ........................

où le reste est plus ............................. que le diviseur. b) Un e division euclidienne a pour diviseur 5, pour quotient euclidien 7 et pour reste 4.

Complète :

............................. = ( ............................. x ............................. ) + ........................

Son dividende est ............................. . c) Un e division euclidienne a pour dividende 71, pour diviseur 9 et pour quotient euclidien 7. Complète :

............................. = ( ............................. x ............................. ) + ......................

Son reste est ............................. .

Exercice 5

Une division euclidienne a pour diviseur 4. Quels sont les restes possibles ? ...

Séquence 6séance 1 —

Cned, Mathématiques 6e —

193

Exercice 6

Voici une égalité : 375 = ( 21 x 17 ) + 18 Sans faire aucun calcul, réponds aux deux questions suivantes :

1- Quel est le reste de la division euclidienne de 375 par 21?

2 - a) Est-ce que 18 est le reste de la division euclidienne de 375 par 17 ? b) Q uel est le reste de la division euclidienne de 375 par 17 ? Voici pour finir cette séance un exercice que tu vas effectuer directement sur ton livret.

Exercice 7 : " Combien de fois ... ? »

Pour confectionner les costumes de ses élèves pour un gala de danse, Éléonore a commandé

98 m de tissu indien bleu. Pour chaque costume, il faut 3 m.

Combien de costumes pourra-t-elle coudre ? ...................................

a) Un des amis d'Eléonore, Jules, propose de chercher en faisant uniquement des multiplications et des additions (comme dans l'exercice 2). Combien de costumes pourra-t-elle coudre ?

Écr

is l'égalité te permettant d'obtenir ta réponse :

............................. = ( ............................. x .............................) + .........................

b) Un e autre amie, Ludivine, pose une division.

Pose la division

Ludivine trouve ............................ costumes. Il restera alors ................................ de tissu. c) Qu elle est la méthode qui te paraît la plus rapide et la plus efficace ?

Séquence 6— séance 1

Cned, Mathématiques 6e

194

Séance 2

J'effectue des divisions euclidiennes

Commençons par définir ce que veut dire : " effectuer une division euclidienne ». Prends ton cahier de cours et recopie soigneusement le paragraphe ci-dessous.

Effectuer une division euclidienne :

Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier par un entier (différent de 0), c'est trouver deux nombres appelés " reste » et " diviseur » tels que :

dividende = (diviseur x quotient euclidien) + reste où le reste est plus petit que le diviseur.

La meilleure méthode pour les déterminer est de poser et d'effectuer la division euclidienne. j e retiens

C'est depuis le milieu du XX

e siècle, qu'en l'honneur du grand mathématicien grec Euclide,

on a décidé d'appeler "division euclidienne» une division dont le dividende, le diviseur, le quotient

et le reste sont des entiers.

Euclide a vécu au III

e siècle avant Jésus-Christ. Il est surtout célèbre pour ses travaux en géométrie. Voici comment on pose une division euclidienne. Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. j e comprends la méthode Poser et effectuer la division euclidienne de 598 par 7 1-

5 9 8 7diviseur

quotient euclidien resresesteeeee dividende 2-

55968 7

8 3-

55-963 88 7

8 4-

55-9633858 7

85

Je pose la divisionComme 7 est plus grand

que 5, je me pose la question : " En 59, combien a-t-on de fois 7 ?

Réponse : 8 fois car

8 x 7 = 56 et 8 x 8 = 64

J'écris 56.J'effectue 59 moins 56.

Il reste 3.

J'" abaisse » le 8.Je me pose la question :

" En 38 combien a-t-on de fois 7 ? »

Réponse : 5 fois car

5 x 7 = 35 et 6 x 7 = 42.

J'écris 35.

5- 55-
-9633 8 5 38 7
8 5 6- 55-
-9633 8 538 7
8 5 quotient euclidien resteeeee

7- Vérification :

5 938=( )7x+8 55 9 5 + 3 =

Cette égalité est ce que l'on appelle

l'écriture en ligne de la division euclidienne.

J'effectue 38 moins 35.

Il reste 3. Il n'y a plus

de chiffre de 598 à abaisser. O n " arrête » la division.J'ai donc trouvé : • le quotient : 85 • le reste : 3.Je calcule (7 x 85 )+ 3

Je vérie que : (7 x 85 )+ 3 = 598

Séquence 6séance 2 -

Cned, Mathématiques 6e -

195
Effectue l'exercice ci-dessous sur ton cahier d'exercices.

Exercice 8

Effectue les divisions ci-dessous en remplissant chaque case par un chiffre. 8- 0 7 75
59
3- 6 3 35
545-
1 4 47
721
Prends ton cahier d'exercices et effectue l'exercice ci-dessous.

Exercice 9

Effectue les divisions euclidiennes suivantes :

a) 726 par 31 b) 937 par 45 c) 4 017 par 13 d) 3 095 par 19 Écris la preuve.Vérie cette preuve à l'aide de la calculatrice.

Dorénavant, tu n'écriras plus les soustractions intermédiaires de tes divisions, comme cela est fait

dans l'exercice suivant. Effectue-le sur ton cahier d'exercices.

Exercice 10

Effectue la division euclidienne de 1 335 par 16 (n'écris plus les soustractions intermédiaires !).

Effectue l'exercice suivant sur ton livret.

Exercice 11

opération de Ludivine 457
43
61
5 5 3 418
18 opération de Pauline 443
40
11 5 5 22
17 opération de Léonie 108
122
8 1 1 5 5 1 276
29

Cned, Mathématiques 6e

196

Séquence 6— séance 2

1- Écris les preuves des trois divisions ci-dessous. Écris " faux » sous les divisions fausses.

2 - Co rrige en rouge sur ton livret la (ou les) divisions fausses. Certaines calculatrices permettent d'obtenir directement le quotient et le reste d'une division euclidienne. Reporte-toi aux pages calculatrices en fin de livret. Pour finir cette deuxième séance, effectue l'exercice ci-après sur ton livret.

Exercice 12

Effectue les divisions " à trous » suivantes : a) 4 49 7

6b) 4

47
8

Séance 3

J'effectue des petits problèmes

Effectue les cinq problèmes ci-dessous sur ton cahier d'exercices.

Exercice 13

Lors du tournoi de football du collège, on répartit l'ensemble des 6e, soit 124 élèves, en équipes de 7 élèves. Combien y aura-t-il d'équipes ? Combien d'élèves seront des " remplaçants » ?

Exercice 14 : " Combien de fois ... ? »

Monsieur Ketch doit transporter une cargaison de 1 235 kg de tomates au marché ! En un trajet, il ne peut transporter que 28 kg de tomates car il n'a pas beaucoup de place dans sa camionnette. Combien va-t-il faire de trajets au total ? Quelle masse de tomates tranportera-t-il lors de son dernier trajet ?

Séquence 6séance 2 —

Cned, Mathématiques 6e —

197

Séquence 6séance 4 —

Cned, Mathématiques 6e —

199
Tu viens de voir sur un exemple la notion de diviseur et celle de nombre " divisible par ».

Recopie le paragraphe ci-dessous.

DIVISIBILITE

La notion de divisibilité :

148 9907

2 7On effectue la division euclidienne de 189 par 7. Le reste de la division euclidienne de 189 par 7 est égal à 0.Dans ce cas on dit que :• 189

est un multiple de 7

• 189

est divisible par 7

• 7 e

st un diviseur de 189 j e retiens

Attention !

Comme tu l'as vu dans l'exercice 18, il ne faut pas confondre un diviseur d'un nombre et le diviseur d'une division euclidienne. Prends ton cahier d'exercices et effectue les quatre exercices suivants.

Exercice 19

1- Effectue les divisions euclidiennes suivantes :

a)

396 par 6b) 102 par 17c) 713 par 31

2- Recopie et complète les phrases suivantes par " multiple » ou " diviseur »

a ) 1

02 est un ................................ de 6.

b) 31 est un .................................. de 713. c) 6 est un .................................... de 396 et de 102. d) 66 est un .................................. de 396. e) 71

3 est un ................................ de 23 et 31.

Exercice 20

1- Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont multiples de 6 ?

12 45 54

61 6 666

2- 56 est-il divisible par 7 ; 9 ; 28 ou 112 ?

3- P armi les nombres suivants lesquels admettent 7 comme diviseur :

57 63 70773140

Cned, Mathématiques 6e

200

Exercice 21

1- a) Écris les onze premiers multiples de 12 (n'oublie pas 0 !).

b) Co mment passe-t-on d'un multiple de 12 à son suivant ?

2- Écris tous les multiples de 17 compris entre 101 et 174.

Tu justifieras chacune de tes réponses.

Exercice 22

1- Détermine les quinze premiers multiples de 6.

2- Dé

termine les dix premiers multiples de 15. 3 - D étermine le plus petit multiple commun à 6 et 15 différent de 0.

Séance 5

Je découvre les critères de divisibilité

Prends ton cahier d'exercices et effectue l'exercice ci-dessous.

Exercice 23

1- Pour une kermesse, un premier chocolatier dispose de 970 chocolats et les place dans

le maximum de petits sacs contenant chacun deux chocolats. Une fois qu'il les aura tous répartis, lui restera-t-il un chocolat ?

2- Un deuxième chocolatier dispose également de 970 chocolats et les place dans

le maximum de petits sacs contenant chacun cinq chocolats. Une fois qu'ils les aura tous répartis, combien lui restera-t-il de chocolats ? Prends ton cahier de cours et note ce qui suit à la suite.

Critères de divisibilité

• Un nombre entier est divisible par 2 (on dit encore : " pair ») si son chiffre des unités

est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8. Exemples : 21 976 est divisible par 2, mais 793 ne l'est pas. Les nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 2 sont appelés nombres impairs. Ainsi, 0, 2, 4, 6, 8 ... sont pairs et 1, 3, 5, 7 ... sont impairs. • Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Exemples : 390 est divisible par 5, mais 1 983 ne l'est pas. j e retiens Effectue sur ton cahier d'exercices les quatre exercices ci-après.

Séquence 6 - séance 5

Cned, Mathématiques 6e -

201

Exercice 24

Parmi les entiers : 26 ; 35 ; 144 ; 120 ; 1 002 ; 2 025 ; 18 280 ; 55 558. Que ls sont ceux qui sont divisibles par 2 ? par 5 ?

Exercice 25

Trouve tous les entiers de trois chiffres divisibles par 2 s'écrivant avec les chiffres 4, 9 et 8 (aucun chiffre n'est répété).

Exercice 26

Détermine le plus grand entier de 3 chiffres divisible par 5.

Exercice 27

Le nombre de quatre chiffres ®31® est pair et divisible par 5. Déterminer toutes les valeurs

possibles de cet entier.

Peut-être te demandes-tu s'il existe d'autres critères de divisibilité, que ceux que nous venons de

rappeler ? Effectue l'exercice ci-dessous sur ton livret.

Exercice 28

1- Peut-on partager 100 bonbons, 600 bonbons, 1 300 bonbons en quatre parts égales ?

2- a) Amaury doit partager 636 bonbons en quatre parts égales. Il a l'idée de séparer

ses bonbons en deux paquets : un paquet de 600 bonbons et un paquet de 36
bonbons. Amaury partage alors le paquet de 600 bonbons en quatre parts égales. Combien

met-il de bonbons dans chaque part ? ......................................................................

Ama ury partage ensuite le paquet de 36 bonbons en quatre parts égales. Combien

met-il de plus de bonbons dans chaque part ? ...........................................................

Amaury peut-il partager en quatre parts égales les 636 bonbons ? ............................ b) En utilisant la méthode d'Amaury, détermine si on peut partager en quatre parts

égales 1 348 puis 618 bonbons.

c ) R ecopie et complète la conjecture :

Un entier est divisible par 4 si ...................................................................................

Avant de continuer, note sur ton cahier de cours, à la suite, l'encadré ci-après.quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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