[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Exo7

Géométrie du plan

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**I(ABC)est un vrai triangle.

1. Montrer que ses médianes sont concourantes en Gl"isobarycentre de(ABC). 2. Montrer que ses médiatrices sont concourantes en Ole centre du cercle circonscrit à(ABC). 3. Montrer queseshauteurssontconcourantesenHl"orthocentrede(ABC)puismontrerlarelationd"EULER: !OH=3!OG(considérer l"homothétie de centreGet de rapport2). 4. Montrer que ses bissectrices (intérieures) sont concourantes en Ile centre du cercle inscrit. 1.

Déterminer

dBACau degré près. 2.

Déterminer l"aire du triangle (ABC).

3.

Déterminer son isobarycentre, son orthocentre, le centre de son cercle circonscrit puis une équation de

ce cercle. 4. Déterminer une équation des bissectrices de l"angle dBACpuis de la bissectrice intérieure à l"anglebA. symétrique orthogonal.

de deux droites. Déterminer l"aire du parallélogramme formé par ces deux droites et les parallèles à ces deux

droites passant parO. 1

Exercice 6**Déterminer un cercle tangent aux trois droites d"équations respectivesy=2x+1,y=2x+7 ety=12

x.

éléments caractéristiques deh0h.

2.s(resp.s0) est la symétrie centrale de centreW(resp.W0). Déterminer la nature et les éléments

caractéristiques des0s.

3.sest la symétrie centrale de centreWettest la translation de vecteur!u. Déterminer la nature et les

éléments caractéristiques dets.

tels que, pouri2 f1;:::;ng,Aisoit le milieu de[Bi;Bi+1](avec la conventionBn+1=B1) ? (Utiliser l"exercice

précédent.) 1. Déterminer une équation de la tangente au point de Cde coordonnées(2;2+p3). 2. Déterminer l"intersection de Cet du cercle de centre(1;0)et de rayon 2. (BC),(CA)et(AB)et distincts deA,BetC. Montrer que : (M;N;etPsont alignés),(MB MC :NC NAPA PB =1):

(Trouver une démonstration utilisant le théorème de THALÈS, une utilisant la composée de deux homothéties

et une utilisant des coordonnées.)

r=1p1+sin(2q)+p1sin(2q)(commencer par étudier toutes les symétries de l"ensemble considéré).

lignes d"une feuille blanche quadrillée usuelle. 2

Exercice 13*TNature et éléments caractéristiques de la transformation d"expression complexe :

1.z0=z+3i

2.z0=2z+3

3.z0=iz+1

4.z0= (1i)z+2+i

(a;b)6= (0;0),(a0;b0)6= (0;0). Soit(D)une droite. Montrer que(D),(D0)et(D)sont concourantes si et seulement si il existe(D)a une équation cartésienne de la formel(ax+by+c)+m(a0x+b0y+c0) =0, (l;m)6= (0;0). 2.

Equation cartésienne de la droite passant par le point (1;0)et par le point d"intersection des droites

d"équations respectives 5x+7y+1=0 et3x+2y+1=0 3. Pour m2R, on considère(Dm)la droite d"équation(2m1)x+(m+1)y4m1=0. Montrer que les

droites(Dm)sont concourantes en un pointAque l"on précisera. Toute droite passant parAest-elle une

droite(Dm)?

Correction del"exer cice1 N1.Soit Gl"isobarycentre du triangle(ABC). On a doncG=bar(A(1);B(1);C(1)). NotonsA0,B0etC0

les milieux respectifs des côtés[B;C],[C;A]et[A;B]. D"après le théorème du barycentre partiel,G=

bar(A(1);A0(2)). En particulier,Gest sur la médiane(AA0). De même,Gest sur la médiane(BB0)et sur

la médiane(CC0). Finalement,Gest sur les trois médianes. les trois médianes sont donc concourantes enG. 2.

Les droites (BC)et(CA)ne sont pas parallèles. Par suite, les médiatrices respectives des côtés[B;C]

et[C;A]ne sont pas parallèles. Elles sont donc sécantes en un point que l"on noteO. Par définition de

O, on aOA=OB=OC.Oest donc à égale distance deAetBet est ainsi sur la médiatrice de[A;B].

Finalement, les trois médiatrices sont concourantes enO. De plus,Oétant à égale distance deA,BetC,

le cercle de centreOet de rayonOApasse parBetC.

Réciproquement, un cercle passant parA,BetCa pour centre un point à égale distance de ces points

et donc nécessairement de centreOet de rayonOA. Ceci démontre l"existence et l"unicité du cercle

circonscrit au triangle(ABC): c"est le cercle de centreOet de rayonOA. 3.

Les hauteurs issues de AetBne sont pas parallèles (car perpendiculaires à deux droites non parallèles).

Elles admettent ainsi un et un seul point d"intersection. Ceci assure l"unicité d"un point commun aux

trois hauteurs. Soithl"homthétie de centreGet de rapport2. Puisque!GA=2!GA, on ah(A0) =Aet de même h(B0) =Beth(C0) =C.

Parh, l"image de la médiatrice de[B;C], c"est-à-dire de la droite passant parA0et perpendiculaire à(BC)

est la droite passant parh(A0)=Aet perpendiculaire à(BC)(car parallèle à la médiatrice de[B;C]). Cette

droite est la hauteur issue deAdu triangle(ABC). De même, les images des médiatrices de[C;A]et[A;B]

sont respectivement les hauteurs issues deBetC.

Le pointOest sur les trois médiatrices. Son image parhest donc sur les trois hauteurs (d"où l"existence

d"un point commun aux trois hauteurs). Ces trois hauteurs sont ainsi concourantes en un point notéH

et appelé l"orthocentre du triangle(ABC). De plus, l"égalitéh(O) =Hs"écrit!GH=2!GOou encore!G0+!OH=2!OGou enfin,

OH=3!OGEULER.Les trois pointsO,GetH, s"ils sont deux à deux distincts, sont en particulier alignés sur une droite

appeléedroite d"EULERdu triangle(ABC). 4.

Deux bissectrices intérieures ne sont pas parallèles (démontrez -le)et sont donc sécantes en un point Ià

égale distance des trois côtés et à l"intérieur du triangle(ABC). Ce point étant à égale distance des trois

côtés est centre du cercle tangent intérieurement aux trois côtés, le cercle inscrit.Correction del"exer cice2 N(Notez bien l"alignement des pointsG,HetO).

4

1 2 3-1-2-3-4

1234
-1

1.On a AB=p3

2+12=p10 etAC=p1+22=p5. Par suite,

cos(dBAC) =!AB:!ACAB:AC=(3)(1)+(1)(2)p5 p10 =15 p2

Par suite,

dBAC=81à un degré près. 2. aire (ABC) =12 jdet(!AB;!AC)j=12 abs(31 1 2 ) =72 3.

Notons Gl"isobarycentre du triangle(ABC).zG=13

(zA+zB+zC) =13 (1+2i2+i+4i) =13 (1+7i), et donc G(13 ;73

):Notons(x;y)les coordonnées deW, le centre du cercle circonscrit au triangle(ABC)(dans cette exercice,

la lettreOdésigne certainement l"origine du repère). WA=WB

WA=WC)(x1)2+(y2)2= (x+2)2+(y1)2

(x1)2+(y2)=x2+(y4)2)3x+y=0

2x4y=11

)x=1114 ety=3314 (d"après les formules de CRAMER); et donc

W(1114

;3314 ).Notons(x;y)les coordonnées de l"orthocentreHdu triangle(ABC).

1ère solution.

(!AH:!BC=0!BH:!AC=0)2(x1)+3(y2) =0 (x+2)+2(y1) =0)2x+3y=8 x+2y=4 )x=47 ety=167 (d"après les formules de CRAMER); et donc, H(47 ;167 ).2ème solution.Il est bien meilleur de connaître la relation d"EULER!WH=3!WGet de l"utiliser.

H=W+3!WG=1114

3314
+313
+1114
73
3314
47
167
5 Pour trouver le cercle circonscrit au triangle(ABC), on a déjà le centreWet le rayon

WA=r(1+1114

)2+(23314 )2=114 p25

2+52=514

p5

2+1=5p26

14 Il n"y a plus qu"à écrire l"équation cherchée : (x+1114 )2+(y3314 )2=32598 ou encorex2+y2+117 x337quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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