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Introduction Générale 2 Généralités Population et Caract`eres Définitions Effectif Fréquence Définitions 3 Tableaux Statistiques Driss TOUIJAR
Chapitre 1
Introduction
à la statistique descriptive
Les méthodes de la statistique descriptive (statistique déductive) permettent de menerdes études à partir de données exhaustives, c"est-à-dire concernant tous les individus de
la population concernée par l"étude. Comme le rappelle André Vessereau (voir bibliogra- phie), l"idée première et toujours fondamentale de la statistique descriptive est celle de dénombrement. Quand les données ne concernent qu"un échantillon de la population, comme dans le casdes sondages, on a recours à la statistique inférentielle (statistique inductive), qui utilise la
théorie des probabilités.Globalement, la statistique reste très liée à la science du hasard, puisque les recensements
nous fournissent des fréquences d"apparition auxquelles on fait jouer le même rôle qu"à la
probabilité. Déjà, les manuscrits de Gottfried Leibniz, rédigés au début des années 1680, se
situaient, à partir des travaux de John Graunt, dans la perspective d"une " synthèse entrescience de la population et calcul des probabilités ».Ce premier chapitre présente les principales clés de lecture de la statistique. La termino-
logie usuelle y est exposée, ainsi que la forme et le contenu des tableaux de données. Deux annexes, proposées en fin de chapitre, sont consacrées à la prise en main d'Excel (annexe 1.1), ou de tout autre tableur équivalent, et de deux calculatrices graphiques, Texas Instrument et Casio (annexe 1.2) ou de toute autre calculatrice approchante. L'utilisation de ces outils facilitera la compréhension et la résolution de tous les exemplesnumériques des parties théoriques et des problèmes et exercices qui suivent.7494_Book.indb 17494_Book.indb 121/10/10 15:54:0221/10/10 15:54:02© 2010 Pearson France - Statistique descriptive, 2e éd. - Étienne Bressoud, Jean-Claude Kahané
Statistique descriptive
21. Terminologie
Comme toute science, la statistique a son vocabulaire, qu"il est primordial de définir de façon rigoureuse afin d"indiquer le groupe sur lequel porte l"étude, les caractères ou variables relevés sur chacun des individus et les différents types de caractères.La population1.1.
Le terme de population statistique est antérieur à la démographie et s"appliquait à l"origine
à des catégories d"humains. Les populations n"étaient en effet pas pensées en bloc, leurs
membres n"étant pas considérés comme égaux. Par exemple, on comptait les hommes enétat de porter des armes, les individus soumis à l"impôt, etc. La démographie est venue plus
tard, avec l"idée d"égalité des individus, qui a mené à la notion de recensement. En statistique, le terme de population est plus général et peut désigner des humains, mais aussi des objets, des villes, des pays, des entreprises, des logements, etc., l"essentiel étant, comme pour la définition d"un ensemble en mathématiques, que l"on puisse dire clairement de tout élément qu"il appartient ou n"appartient pas à la population. Les villes européennes de plus de 100 000 habitants, les voitures immatriculées en France, les départements français d"outre-mer sont autant d"exemples de population.Dé nition
La population statistique est lensemble des éléments sur lesquels porte létude. Les éléments
de la population sont appelés individus statistiques ou unités statistiques. La population consti-tue lunivers de référence de létude. Si la population comporte N individus, on notera Ω = {ω
1 N i désignant pour i variant de 1 à N les individus qui la composent. Un échantillon de taille n est un sous-ensemble formé de n individus de la population (n N).La notion d"échantillon est fondamentale, car, en règle générale, la population entière
n"est pas disponible ou observable. Dans ce cas, seul un échantillon est étudié et les résultats obtenus sont extrapolés à la population (voir P. Roger, chapitre 5). Par exemple,lorsqu"un magazine souhaite connaître la personnalité préférée des Français, il interroge
seulement un échantillon de Français, généralement 1 000 individus, et non toute la population résidant en France métropolitaine, soit plus de 60 millions d"individus. Notion de caractère ou variable statistique1.2. Chaque individu d"une population peut être décrit relativement à un ou plusieurs carac- tères ou variables statistiques.Dé nition
Une variable statistique (on parle aussi de caractère statistique), notée X, est une application
dé nie sur une population statistique et à valeurs dans un ensemble M, a ppelé ensemble des modalités. Les modalités correspondent aux valeurs possibles de la variable statistique. Unevariable statistique dé nit une partition sur une population, chaque individu appartenant à une
et une seule modalité.Si le nombre de modalités est noté r, lensemble des modalités de la variable X sera noté :
M = {x
1 ; x 2 r TComme toute
1.7494_Book.indb 27494_Book.indb 221/10/10 15:54:0321/10/10 15:54:03© 2010 Pearson France - Statistique descriptive, 2e éd. - Étienne Bressoud, Jean-Claude Kahané
Chapitre 1 Introduction à la statistique descriptive 3Exemple 1.1 Une population statistique
Considérons les données suivantes concernant le nombre de femmes et d"hommes dans la po- pulation résidant en France métropolitaine en 2006 (en milliers) :FemmesHommes
31 44429 722
Source : Insee, recensement de la population, 2007 (champ : France métropolitaine)La population étudiée est la population résidant en France métropolitaine recensée en 2006 et
la variable étudiée est le sexe. Cette variable peut prendre deux valeurs possibles appelées mo-
dalités : féminin ou masculin. Ces modalités sont en général numérotées : si la variable étudiée,
ici le sexe, est notée X, les deux modalités seront respectivement notées x 1 (pour féminin) et x 2 (pour masculin). Une des premières opérations de la statistique consiste à recenser le nombre et/ou le pourcentage d'individus qui présentent une modalité déterminée d'une variable. C'est ainsi qu'à chaque modalité est associé un effectif et/ou une fréquence.Dé nitions
L"e ectif (aussi appelé fréquence absolue ) de la modalité x i est noté n i et désigne le nombre d"individus de la population présentant la modalité x i . L"e ectif total de la populatio est alors : n = n 1 + n 2 + + n r , soit n=n i i=1r∑ (la somme des n i pour i variant de 1 à r, et la lettre grecque sigma, , désignant la somme). La fréquence (par défaut fréquence relative) de la modalité x i est notée f i et est dé nie par : f i = n i/ N ; la fréquence exprime la proportion d"individus présentant une modalité donnée. Elle
peut s"exprimer sous la forme d"un nombre décimal (en général avec une précision de quatre
chi res après la virgule) ou sous la forme d"un pourcentage.Propriété
Soit X une variable à r modalités : 0 f
i 1 f i i=1r∑ =1(ou, en pourcentage : f i i=1r∑ =100)Exemple 1.2 E ectifs et fréquences
Reprenons l"exemple précédent sur le sexe des individus de la population résidant en France métropolitaine. Les e ectifs respectifs de ces modalités sont notés n 1 = 31 444 et n 2 = 29 722, avec n = n 1 + n 2 = 61 166 milliers, e ectif total de la population.Les fréquences sont telles que f
1 = n 1 / n = 31 444 / 61 166 = 0,5141 et f 2 = n 2 / N = 29 722 /61 166 = 0,4859, soit 51,41 % de femmes et 48,59 % d"hommes.
L'exemple 1.1 a mis en évidence une des deux natures des variables statistiques : la varia- ble qualitative. Le sexe est une variable qualitative, car ses modalités ne sont pas des nombres. Une variable quantitative est une variable dont les modalités sont numériques.7494_Book.indb 37494_Book.indb 321/10/10 15:54:0421/10/10 15:54:04© 2010 Pearson France - Statistique descriptive, 2e éd. - Étienne Bressoud, Jean-Claude Kahané
Statistique descriptive
4 Le poids d"un individu, l"âge, le nombre d"enfants par ménage, le salaire constituent des exemples de variables quantitatives.Les variables qualitatives1.3.
Dé nition
Une variable statistique est dite de nature
qualitative si ses modalités ne sont pas mesurables.Les modalités dune variable qualitative sont les di érentes catégories dune nomenclature. Ces
catégories doivent être exhaustives (chaque individu est a ecté à une modalité) et incompati-
bles (un individu ne peut être a ecté à plusieurs modalités) de façon à créer une partition.
Le sexe, la profession, l"état matrimonial sont quelques exemples de variables qualitati- ves. Pour ses enquêtes auprès des ménages, l"Insee utilise la nomenclature des Professions et catégories socioprofessionnelles (PCS-2003).Les modalités d"une variable qualitative peuvent être classées sur deux types d"échelle :
nominale ou ordinale. À ces deux types d"échelle correspondent deux types de variables qualitatives.Variables qualitatives nominales
Les variables qualitatives nominales ne se mesurent pas. Cependant, leurs modalités peuvent être codées. L"ordre et l"origine de la codification sont arbitraires, cette codifi- cation pouvant être numérique, alphabétique ou alphanumérique. Les individus d"une même catégorie sont réputés " équivalents » pour la variable étudiée.Dé nition
Une variable statistique qualitative est dite dé nie sur une échelle nominale si ses modalités ne
sont pas naturellement ordonnées. Exemple 1.3 Codage dune variable qualitative nominaleLe tableau suivant indique les di érentes catégories de la variable nominale Professions et caté-
gories socioprofessionnelles (CSP) :CodeCatégorie
1 Agriculteurs exploitants
2 Artisans, commerçants et chefs d"entreprise
3 Cadres et professions intellectuelles supérieures
4 Professions intermédiaires
5 Employés
6Ouvriers
7 Retraités
8 Autres personnes sans activité professionnelle
Source : Insee, PCS-2003 (niveau 1 de la nomenclature)Dans cet exemple, il ny a pas dordre naturel entre les huit catégories, ou modalités, qui sont de
simples étiquettes ; la variable qualitative " CSP » est dé nie sur une échelle nominale.
7494_Bookεindb 47494_Bookεindb 421Δ10Δ10 15:54:0521Δ10Δ10 15:54:05© 2010 Pearson France - Statistique descriptive, 2e éd. - Étienne Bressoud, Jean-Claude Kahané
Chapitre 1 Introduction à la statistique descriptive 5Variables qualitatives ordinales
Une échelle ordinale suppose l"existence d"une relation d"ordre total entre les catégories, c"est-à-dire que l"on peut opérer un classement de l"ensemble des catégories, de la plus petite à la plus grande (ou, inversement, de la plus grande à la plus petite). Contrairement à ce qui se passe avec une échelle nominale, les expressions telles que" plus grand que », " précède », " se place après », etc. prennent un sens dans une échelle
ordinale. La codification peut être numérique, alphabétique ou alphanumérique, en association avec un sens de lecture. En cas de codage numérique, les opérations mathématiques sont dénuées de sens et l"écart entre les valeurs ne revêt aucune signification.Dé nition
Une variable statistique qualitative est dite dé nie sur une échelle ordinale si lensemble de ses
modalités peut être doté dune relation dordre.Les variables quantitatives1.4.
Toute variable qui n"est pas qualitative ne peut être que quantitative. Les différentes modalités d"une variable quantitative constituent l"ensemble des valeurs numériques que peut prendre la variable.Dé nition
Une variable statistique est dite de nature quantitative si ses modalités sont mesurables. Lesmodalités dune variable quantitative sont des nombres liés à lunité choisie, qui doit toujours
être précisée.
Il existe deux types de variables quantitatives : les variables discrètes et les variables continues. Ces variables ont en commun des modalités clairement ordonnées, pour lesquellesl"écart entre les valeurs possède une signification, et sur lesquelles il est possible de réa-
liser des opérations mathématiques telles que des calculs de moyennes, etc. Néanmoins, elles ont des propriétés et des traitements spécifiques qui nécessitent une étude séparée.Variables quantitatives discrètes
Lorsque les modalités sont des valeurs numériques isolées, comme le nombre d"enfants par ménage, on parle de variable discrète 1Dé nition
Une variable statistique quantitative est dite
discrète si lensemble de ses modalités est unensemble ni ou dénombrable. Ainsi, lensemble des modalités peut être donné sous la forme
dune liste de nombres, M = {x 1 ; x 2 i Cependant, une variable discrète peut prendre des valeurs non entières.1. Du latin
discretus, qui signifi e " séparé » ; dans un ensemble discret, on peut séparer les éléments.
7494_Bookεindb 57494_Bookεindb 521Δ10Δ10 15:54:0521Δ10Δ10 15:54:05© 2010 Pearson France - Statistique descriptive, 2e éd. - Étienne Bressoud, Jean-Claude Kahané
Statistique descriptive
6Variables quantitatives continues
Lorsque la variable, par exemple la taille d"un individu, peut prendre toutes les valeurs d"un intervalle, ces valeurs peuvent alors être regroupées en classes, et on parle dans ce cas de variable continue.Dé nitions
Une variable statistique quantitative est dite
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