[PDF] Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud 21/11/2013

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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat S Amérique du Sud?

21/11/2013

Exercice16 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

Soitfla fonction définie surRparf(x)=xe1-x.

1.e1-x=e×e-x=e

exdoncf(x)=e×xex.

2.limx→-∞1-x=+∞donc limx→-∞e1-x=+∞(par composition).

lim x→-∞x=-∞ lim x→-∞e1-x=+∞? =?limx→-∞xe1-x=-∞(par produit); limx→-∞f(x)=-∞.

3.On sait que limx→+∞e

x x=+∞donc limx→+∞xex=0 donc limx→+∞exex=0.

On a donc lim

x→+∞f(x)=0 ce qui veut dire que la courbe représentant la fonctionfadmet la droite d"équationy=0 comme asymptote horizontale en+∞.

4.La fonctionfest dérivable surRetf?(x)=1×e1-x+x(-1)e1-x=e1-x(1-x)

5.Pour tout réelx, e1-x>0 doncf?(x)est du signe de 1-x.

f (1)=1e0=1, d"où le tableau de variation de la fonctionf: x-∞1+∞

1-x+++0---

f?(x)+++0--- 1 f(x) -∞0

PartieB

Pour tout entier naturelnnon nul, on considère les fonctionsgnethndéfinies surRpar : g 1. (1-x)gn(x)=(1-x)?1+x+x2+···+xn? =1+x+x2+x3+···+xn -x-x2-x3-···-xn-xn+1=1-xn+1 On obtient alors, pour tout réelx?=1:gn(x)=1-xn+1 1-x.

2.Pour toutx,gn(x)=1+x+x2+···+xndoncg?n(x)=0+1+2x+···+nxn-1=hn(x).

Or, pour tout réelx?=1,gn(x)=1-xn+1

1-x; g nest une fonction rationnelle de typeu vdont la dérivée estu?v-uv?v2:

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

-(n+1)xn+nxn+1+xn+1+1-xn+1 (1-x)2=nxn+1-(n+1)xn+1(1-x)2

3.SoitSn=f(1)+f(2)+...+f(n), oùf(x)=xe1-x.

S

Orhn(x)=nxn+1-(n+1)xn+1

S n=n en+1-n+1en+1? 1-1 e? 2

On sait que lim

x→+∞e x x=+∞donc limx→+∞xex=0 donc limn→+∞nen=0 et limn→+∞n+1en+1=0.

De plus, lim

x→+∞x x+1=1 et limx→+∞x+1x=1 comme limites en+∞de fonctions rationnelles, donc lim n→+∞n n+1=1 et limn→+∞n+1n=1. n en+1=nn+1×n+1en+1; donc par produit, limn→+∞n+1n×n+1en+1=1×0=0. n+1 en=n+1n×nen; donc par produit, limn→+∞n+1n×nen=1×0=0.

Donc lim

n→+∞Sn=1 1-1 e? 2=e2 (e-1)2.

Exercice24 points

Commun à tous lescandidats

1.Dans le repère donné, A a pour coordonnées(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0)et E(0,0,1).-→AF=--→AB+-→AE donc le point F a pour coordonnées(1,0,1).

La droite

(FD)a pour vecteur directeur--→DF de coordonnées(1,-1,1); de plus elle passe par le point D (0,1,0).

La droite

(FD)a pour représentation paramétrique :???x=t y=1-toùt?R z=t

2.Soit-→nle vecteur de coordonnées(1,-1,1). Ce vecteur est un vecteur normal au plan(BGE)s"il est

orthogonal aux deux vecteurs-→EB et--→EG directeurs du plan(BGE).-→EB a pour coordonnées(1,0,-1);-→n.-→EB=1×1+(-1)×0+1×(-1)=0 donc-→n?-→EB.--→EG=--→AC=--→AB+--→AD a pour coordonnées(1,1,0);-→n.--→BG=1×1+(-1)×1+1×0=0 donc-→n?--→EG.

Donc le vecteur-→n(1,-1,1)est normal au plan(BGE).

Le plan

(BGE)a pour vecteur normal-→net passe par le point B; c"est l"ensemble des points M?x,y,z? tels que

-→n?--→BM.--→BM a pour coordonnées?x-1,y,z?;-→n?--→BM??1×(x-1)+(-1)×y+1×z=0??x-y+z-1=0.

L"équation cartésienne du plan

(BGE)estx-y+z-1=0.

Amérique du Sud221 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

3.Le vecteur--→DF est égal au vecteur-→nqui est normal au plan(BGE)donc la droite(FD)est perpendi-

culaire au plan (BGE). Les coordonnées?x,y,z?du point d"intersection de la droite(FD)et du plan(BGE)sont solutions du système : ?x=t y=1-t z=t y=1-t z=t y=1-t z=t 3 y=1 3 z=2 3 t=2 3

Donc la droite

(FD)est perpendiculaire au plan(BGE)au point K de coordonnées?2

3,13,23?

4.Lessegments [BE],[EG]et[BG]sonttousles troisdesdiagonalesdecarrésdecôtés1;doncBE=EG=

BG=?

2. Le triangle BEG est équilatéral de côté?2.

SoitHle milieu de [EG]; ce point est aussi le pied de la hauteur issue de B dans le triangle équilatéral

BGE de côtéa=?

2. Dans un triangle équilatéral de côtéa, la hauteur est égale àa? 3

2(relations dans un triangle rec-

tangle); donc dans le triangle équilatéral BEG, la hauteur BH=?

2×?3

2=? 6 2.

L"aire du triangle BEG vaut

EG×BH

2=?

2×?6

2 2=? 12 4=2? 3 4=? 3 2.

5.Le volume d"un tétraèdre estaire de la base×hauteur

3. D"après les questions précédentes, le volume du tétraèdre BEGD estaire(BEG)×KD 3.

Dans le repère orthonormé

A ;--→AB,--→AD,-→AE?

KD

2=(xD-xK)2+?yD-yK?2+(zD-zK)2=?

0-2 3? 2 1-13? 2 0-23? 2 =49+49+49=129donc KD=? 12 9=?

12?9=2?

3 3.

Le volume du tétraèdre est donc :

3

2×2?

3 3 3=13.

Exercice35 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.

On considère l"équation (E):z2-2z?

3+4=0.

1.On résout l"équation (E) :z2-2z?

3+4=0;Δ=?-2?3?2-4×1×4=12-16=-4.

L"équation admet donc deux solutions complexes conjuguées: z ?=-?-2?

3?+i?4

2=2? 3+2i

2=?3+i etz??=?3-i.

2.On considère la suite(Mn)des points d"affixeszn=2nei(-1)nπ

6, définie pourn?1.

a.z1=21ei(-1)1π

6=2ei-π6=2?

cos-π6+i sin-π6? =2? 3 2+i? -12? =?3-i=z??

Doncz1est solution de l"équation (E).

Amérique du Sud321 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.z2=22ei(-1)2π6=4eiπ6=4? cosπ6+i sinπ6? =4? 3

2+i12?

=2?3+2i z

3=23ei(-1)3π

6=8ei-π6=8?

cos-π6+i sin-π6? =8? 3 2+i? -12? =4?3-4i c. |z1|=2 donc le pointM1d"affixez1est situé sur le cercle de centre O et de rayon 2; de plus, la partie imaginaire dez1est-1 donc le pointM1est situé sur la droite d"équationy=-1. Pour placer le pointM2, on utilise le fait que|z2|=4 et que Im(z2)=2. Pour placer le pointM3, on utilise le fait que|z3|=8 et que Im(z3)=-4. z

4=24ei(-1)4π

6=16eiπ6; pour placer le pointM4, on utilise le fait que|z4|=16; de plus arg(z4)=π

6=arg(z2)donc les points O,M2etM4sont alignés doncM4?(OM2).

Voir la figure en annexe.

Sin?1 etnpair,(-1)n=+1, donc ei(-1)nπ

6=eiπ6=?3

2+i2=?

3

2+(-1)ni2.

Donc sin?1 pair,zn=2nei(-1)nπ

6=2n? ?3

2+(-1)ni2?

Sinimpair,(-1)n=-1, donc ei(-1)nπ

6=ei-π6=?3

2-i2=?

3

2+(-1)ni2.

Donc sinimpair,zn=2nei(-1)nπ

6=2n? ?3

2+(-1)ni2?

Donc pour tout entiern?1,zn=2n?

3

2+(-1)ni2?

3.4.M1M2=|z2-z1|=??2?

3+2i-??3-i???=??2?3+2i-?3+i??=???3+3i??

??3?2+32=?3+9=?12=2?3 M

2M3=|z3-z2|=??4?

?2?3?2+(-6)2=?12+36=?48=4?3=22?3 Pour la suite de l"exercice, on admet que, pour tout entiern?1,MnMn+1=2n? 3.

5.On note?n=M1M2+M2M3+···+MnMn+1.

a.D"après la question 4,?n=2?

La suite

(2n)définie pourn?1 est géométrique de raisonq=2 et de premier terme 21=2; la somme S de ses premiers termes consécutifs est donnée par la formule :

S=premier terme×1-raisonnombre de termes

1-raison

donc 2+22+···2n=2×1-2n

1-2=2×2n-12-1=2(2n-1)

n=?2+22+···+2n??

3=2?3(2n-1)

b.?n?1000??2? La fonction ln est strictement croissante sur ]0,+∞[, donc n?1000??ln(2n)?ln?1000

2?3+1?

??nln2?ln?10002?3+1?

Or ln2>0 donc

Amérique du Sud421 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

?n?1000??n?ln?10002?3+1? ln2??n?8,18.

Le plus petit entierntel que?n?1000 est 9.

On peut vérifier que?8=510?

3≈883<1000 et?9=1022?3≈1770>1000.

Amérique du Sud521 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

ANNEXE

À rendreavecla copie

Exercice3 : Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité -2 -4 -6 -82 468

2 4 6 8 10 12 14 16

O M1-1 M2 M3 M4

Amérique du Sud621 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Exercice35 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

1.D"après la formule des probabilités totales :

a

Si, après lan-ième navigation, l"internaute est sur la page no1 (évènementAn), il ne reste pas sur

cette page doncPAn(An+1)=0.

Si, après lan-ième navigation, l"internaute est sur la page no2 (évènementBn), il ira sur la page no1

avec une probabilité de 1

2doncPBn(An+1)=12.

Si, après lan-ième navigation, l"internaute est sur la page no3 (évènementCn), il ira sur la page no1

avec une probabilité de 1

2doncPCn(An+1)=12.

De plusP(An)=an,P(Bn)=bnetP(Cn)=cn.

Doncan+1=an×0+bn×1

2+cn×12=12bn+12cn

On aurait pu aussi construire un arbre pondéré pour représenter la situation.

On admet que, de même,bn+1=1

4an+14bn+14cnetcn+1=34an+14bn+14cn.

2.D"après la question précédente :

?a n+1=0×an+1

2bn+12cn

b n+1=1

4an+14bn+14cn

c n+1=3

4an+14bn+14cn??(((((((((a

n+1 b n+1 c n+1))))))))) =(((((((((0 1 212
1 41414
3

41414)))))))))

a n b n c n)))))))))

Donc en prenantM=(((((((((0

1 212
1 41414
3

41414)))))))))

on aUn+1=MUn.

SoitPnla propriétéUn=MnU0.

• Pourn=0,M0U0=U0carM0est la matrice identité((1 0 00 1 00 0 1))

Donc la propriété est vraie au rang 0.

• On suppose que la propriété est vraie au rangpquelconque avecp?0, c"est-à-direUp=MpU0.

On sait que, pour tout entier natureln,Un+1=MUndoncUp+1=MUp. Or, d"après l"hypothèse de récurrence,Up=MpU0, doncup+1=M×MpU0=Mp+1U0.

Donc la propriété est vraie au rangp+1.

• La propriété est vraie au rang 0; elle est héréditaire, doncelle est pour toutn?0.

Donc, pour tout entier natureln,Un=MnU0.

3.Soit la matrice colonneU=((x

y z)) telle que :x+y+z=1 etMU=U.

Amérique du Sud721 novembre2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

MU=U??(((((((((0

1 212
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