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30 mai 2013
Exercice15 points
Commun à tous lescandidats
On se place dans l"espace muni d"un repère orthonormé. On considère les points A(0; 4; 1), B(1; 3; 0), C(2 ;-1 ;-2) et D (7 ;-1 ; 4).1.Démontrons que les points A, B et C ne sont pas alignés.On a--→AB(1 ;-1 ;-1) et--→AC(2 ;-5 ;-3). On a :1
2?=-1-5.
Les coordonnées des vecteurs
--→AB et--→AC ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs--→AB et--→AC ne sont pas colinéaires : les points ne sont pas alignés.2.SoitΔla droite passant par le point D et de vecteur directeur-→u(2 ;-1 ; 3).
a.Démontrons que la droiteΔest orthogonale au plan (ABC).On a--→AB·-→u=1×2+(-1)×(-1)+(-1)×3=0 et--→AC .-→u=2×2+(-5)×(-1)+(-3)×3=0. Les
vecteurs--→AB et--→AC sont orthogonaux à-→u. La droiteΔest orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : elle est orthogo- nale au plan (ABC). b.De ce qui précède, on déduit que-→uest un vecteur normal à (ABC). Une équation cartésienne de (ABC) est de la forme 2x-y+3z+d=0. Comme le point A appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient :2×0+(4)×(-1)+(1)×3+d=0??d=1.
On en déduit une équation cartésienne du plan (ABC) : 2x-y+3z+1=0. c.Déterminons une représentation paramétrique de la droiteΔ. Comme la droiteΔa pour vecteur directeur-→u(2 ;-1 ; 3) et contient le point D (7 ;-1 ; 4), une représentation paramétrique deΔest :???x=2t+7 y= -t-1 z=3t+4,t?R. d.Déterminons les coordonnées du point H, intersection de la droiteΔet du plan (ABC). Les coordonnées de H sont les solutions du système : ?x=2t+7 y= -t-1 z=3t+42x-y+3z+1=0,t?R.
?x=2t+7 y= -t-1 z=3t+4 y= -t-1 z=3t+42(2t+7)-(-t-1)+3(3t+4)z+1=0
y= -t-1 z=3t+4 y=1 z= -2 t= -2Le point H a pour coordonnéesH(3; 1;-2)
3.SoitP1le plan d"équationx+y+z=0 etP2le plan d"équationx+4y+2=0.
a.Démontrons que les plansP1etP2sont sécants. Le planP1d"équationx+y+z=0 a pour vecteur normal-→n1(1 ; 1 ; 1). Le planP?d"équationx+4y+2=0 a pour vecteur normal-→n2(1 ; 4 ; 0).Les coordonnées des vecteurs-→n1et-→n2ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs-→n1et-→n2
ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont pas parallèles; ils sont sécants.Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Vérifionsqueladroited,intersectiondesplansP1etP2,apour représentationparamétrique???x= -4t-2
y=t z=3t+2,t?R.Considérons le système :
x+y+z=0 x+4y+2=0 y=y,t?R. ?x+y+z=0 x+4y+2=0 y=t?????z= -x-t x= -4t-2 y=t?????z=3t+2 x= -4t-2 y=t On en déduit que la droited, intersection des plansP1etP2, a pour représentation paramé- trique???x= -4t-2 y=t z=3t+2,t?R. On peut également vérifier que la droite(d)est incluse dans le planP1et également dans le planP2.En effet, on a démontré que ces deux plans étaient sécants, ils sont donc sécants suivant
une droite qui appartientsimultanément auxdeux planset cette droite est unique. -4t-2+t+3t+2=0 donc (d) est contenue dans le planP1; -4t-2+4t+2=0 donc (d) est contenue dans la planP2c.Ondéduit dela représentation paramétrique précédente queladroiteda pour vecteur direc-
teur-→u?(-4 ; 1 ; 3). Le plan (ABC) a pour vecteur normal-→u(2 ;-1 ; 3).-→u.-→u?=0.-→uet-→u?sont orthogonaux : la droitedet le plan (ABC) sont parallèles.
Exercice25 points
CandidatsN"AYANT PASSUIVI l"enseignementde spécialitémathématiquesOn considère la suite
(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln, u n+1=? 2un.1.On considère l"algorithme suivant :
Variables :nest un entier naturel
uest un réel positifInitialisation : Demander la valeur den
Affecter àula valeur 1
Traitement : Pourivariant de 1 àn:
| Affecter àula valeur?2uFin de Pour
Sortie : Afficheru
a.On a :u0=1,u1=?2u0=?2,u2=?2u1=?2?2 et u 3=?2u2=?2?2?2=1,8340 à 10-4près.
b.Cet algorithme permet le calcul du terme de rangn.c.D"après le tableau des valeurs approchées obtenues à l"aidede cet algorithme pour certaines
valeurs den, on peut conjecturer que la suite(un)est croissante et majorée par 2.2. a.Démontrons par récurrence que, pour tout entier natureln, 0 •Initialisation On au0=1 donc 0Amérique du Nord230 mai 2013 Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
•Hérédité Soitn?N, et 0 On a : 0 2un?4??0 donc vrai au rangn+1. L"encadrement est vrai au rang 0, et s"il est vrai au rangn, il est vrai au rangn+1 : on a donc démontré par le principe de récurrence que pourn?N, 0On a :
un+1 un=? 2un un=? 2un u2n=? 2 un. Et comme on a démontré précédemment queun?2, alors2 un?1 et? 2 un?1. On en déduit que pour tout entier natureln, 0Ceci démontre que la suite
(un)est convergente. 3.On considère la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=lnun-ln2.
a.Pour tout entier natureln, parvn=lnun-ln2 donc en particulier : u 0=ln(u0)-ln2=ln1-ln2=-ln2
On a aussi pour tout entier natureln,vn+1=lnun+1-ln2, maisun+1=? 2un. Alors :vn+1=ln?
Onpeut enconclureque lasuite
(vn)estla suite géométrique deraison1 2etdepremier terme
v 0=-ln2.
b.On déduit de ce qui précède que pour tout entier natureln,vn=-ln2?1 2? n v n=ln(un)-ln2??ln?un 2? =vn??un2=evn??un=2evn.unen fonction den. c.Comme1 2?[0 ; 1], limn→+∞?
12? n =0 et limn→+∞(vn)=0 On sait que lim
x→0?ex?=1, alors par composition des limites : limn→+∞?evn?=1 et finalement : lim n→+∞(un)=2 d.L"algorithme ci-dessous permet d" afficher en sortie la pluspetite valeur dentelle queun> 1,999.
Variables :nest un entier naturel
uest un réel Initialisation : Affecter ànla valeur 0
Affecter àula valeur 1
Traitement : Tant queu?1,999
Affecter àula valeur?2u
Affecter ànla valeurn+1
Sortie : Affichern
Exercice25 points
CandidatsAYANT SUIVI l"enseignementde spécialité mathématiques PartieA
On considère l"algorithme suivant :
Amérique du Nord330 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Variables :aest un entier naturel
best un entier naturel cest un entier naturel Initialisation : Affecter àcla valeur 0
Demander la valeur dea
Demander la valeur deb
Traitement : Tant quea?b
Affecter àcla valeurc+1
Affecter àala valeura-b
Fin de tant que
Sortie : Afficherc
Affichera
1.En faisant tourner l"algorithme aveca=13 etb=4, on obtient :
Variablesabc
Initialisation0
Entrées1340
Traitement941
542
143
SortieOn affiche la valeur dec: 3
On affiche la valeur dea: 1
2.Dans cet algorithme, on retire le nombrebdu nombreaautant de fois que l"on peut et on fait
afficher le nombre de fois que l"on a retirébet ce qui reste dansa; cet algorithme fournit donc le
quotient (dansc) et le reste (dansa) de la division deaparb. PartieB
À chaque lettre de l"alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre
0 et 25.
ABCDEFGHIJKLM
0123456789101112
NOPQRSTUVWXYZ
13141516171819202122232425
On définit un procédé de codage de la façon suivante : Étape1 : À la lettre que l"on veut coder, on associe le nombremcorrespondant dans le tableau. Étape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9m+5 par 26 et on le notep. Étape3 : Au nombrep, on associe la lettre correspondante dans le tableau. 1.On va coder la lettre U.
Étape1 : La lettre U correspond àm=20.
Étape2 : 9m+5=9×20+5=185; le reste de la division de 185 par 26 estp=3. Étape3 : Au nombrep=3, on associe la lettre D.
Donc la lettre U se code en D.
2.Onmodifie l"algorithme delapartie Apour qu"à une valeur dementrée par l"utilisateur, il affiche
la valeur dep, calculée à l"aide du procédé de codage précédent : Amérique du Nord430 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Variables :mest un entier naturel
pest un entier naturel Initialisation : Demander la valeur dem
Affecter àpla valeur 9m+5
Traitement : Tant quep?26
Affecter àpla valeurp-26
Fin de tant que
Sortie : Afficherp
PartieC
1.On sait que 9×3=27≡1 [26]; donc pourx=3, on a 9x≡1 [26].
2.9m+5≡p[26]=?27m+15≡3p[26]??27m≡3p-15 [26]
Or 27≡1 [26] donc 27m≡m[26]
27m≡3p-15
27m≡m[26]?
=?m≡3p-15 [26] Réciproquement :
m≡3p-15 [26]??m+15≡3p[26]=?9m+135≡27p[26] Or 27≡1 [26] donc 27p≡p[26]; de plus 135=5×26+5 donc 135≡5 [26]. 135≡5 [26]=?9m+135≡9m+5 [26]
9m+135≡9m+5 [26]
27p≡p[26]
9m+135≡27p[26]???
=?9m+5≡p[26] On peut donc dire que : 9m+5≡p[26]??m≡3p-15 [26]. 3.Pour décoder une lettre, on procèdera donc ainsi :
Étape1 : À la lettre que l"on veut décoder, on associe le nombrepcorrespondant dans le tableau. Étape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 3p-15 par 26 et on le notem. Étape3 : Au nombrem, on associe la lettre correspondante dans le tableau. Pour décoder la lettre B :
Étape1 : À la lettre B, on associe le nombrep=1. Étape2 : 3p-15=-12≡14 [26] doncm=14.
Étape3 : Au nombrem=14, on associe la lettre O.quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
•HéréditéSoitn?N, et 0 On a : 0 2un?4??0 donc vrai au rangn+1. L"encadrement est vrai au rang 0, et s"il est vrai au rangn, il est vrai au rangn+1 : on a donc démontré par le principe de récurrence que pourn?N, 0On a :
un+1 un=? 2un un=? 2un u2n=? 2 un. Et comme on a démontré précédemment queun?2, alors2 un?1 et? 2 un?1. On en déduit que pour tout entier natureln, 0Ceci démontre que la suite
(un)est convergente. On a : 0 2un?4??0 donc vrai au rangn+1. L"encadrement est vrai au rang 0, et s"il est vrai au rangn, il est vrai au rangn+1 : on a donc démontré par le principe de récurrence que pourn?N, 0On a :
un+1 un=? 2un un=? 2un u2n=? 2 un. Et comme on a démontré précédemment queun?2, alors2 un?1 et? 2 un?1. On en déduit que pour tout entier natureln, 02un?4??0 donc vrai au rangn+1. L"encadrement est vrai au rang 0, et s"il est vrai au rangn, il est vrai au rangn+1 : on a donc démontré par le principe de récurrence que pourn?N, 0On a :
3.On considère la suite(vn)définie, pour tout entier natureln, parvn=lnun-ln2.
a.Pour tout entier natureln, parvn=lnun-ln2 donc en particulier : u0=ln(u0)-ln2=ln1-ln2=-ln2
On a aussi pour tout entier natureln,vn+1=lnun+1-ln2, maisun+1=? 2un.Alors :vn+1=ln?
Onpeut enconclureque lasuite
(vn)estla suite géométrique deraison12etdepremier terme
v0=-ln2.
b.On déduit de ce qui précède que pour tout entier natureln,vn=-ln2?1 2? n v n=ln(un)-ln2??ln?un 2? =vn??un2=evn??un=2evn.unen fonction den. c.Comme12?[0 ; 1], limn→+∞?
12? n =0 et limn→+∞(vn)=0On sait que lim
x→0?ex?=1, alors par composition des limites : limn→+∞?evn?=1 et finalement : lim n→+∞(un)=2 d.L"algorithme ci-dessous permet d" afficher en sortie la pluspetite valeur dentelle queun>1,999.
Variables :nest un entier naturel
uest un réelInitialisation : Affecter ànla valeur 0
Affecter àula valeur 1
Traitement : Tant queu?1,999
Affecter àula valeur?2u
Affecter ànla valeurn+1
Sortie : Affichern
Exercice25 points
CandidatsAYANT SUIVI l"enseignementde spécialité mathématiquesPartieA
On considère l"algorithme suivant :
Amérique du Nord330 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Variables :aest un entier naturel
best un entier naturel cest un entier naturelInitialisation : Affecter àcla valeur 0
Demander la valeur dea
Demander la valeur deb
Traitement : Tant quea?b
Affecter àcla valeurc+1
Affecter àala valeura-b
Fin de tant que
Sortie : Afficherc
Affichera
1.En faisant tourner l"algorithme aveca=13 etb=4, on obtient :
Variablesabc
Initialisation0
Entrées1340
Traitement941
542143
SortieOn affiche la valeur dec: 3
On affiche la valeur dea: 1
2.Dans cet algorithme, on retire le nombrebdu nombreaautant de fois que l"on peut et on fait
afficher le nombre de fois que l"on a retirébet ce qui reste dansa; cet algorithme fournit donc le
quotient (dansc) et le reste (dansa) de la division deaparb.PartieB
À chaque lettre de l"alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre
0 et 25.
ABCDEFGHIJKLM
0123456789101112
NOPQRSTUVWXYZ
13141516171819202122232425
On définit un procédé de codage de la façon suivante : Étape1 : À la lettre que l"on veut coder, on associe le nombremcorrespondant dans le tableau. Étape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9m+5 par 26 et on le notep. Étape3 : Au nombrep, on associe la lettre correspondante dans le tableau.1.On va coder la lettre U.
Étape1 : La lettre U correspond àm=20.
Étape2 : 9m+5=9×20+5=185; le reste de la division de 185 par 26 estp=3.Étape3 : Au nombrep=3, on associe la lettre D.
Donc la lettre U se code en D.
2.Onmodifie l"algorithme delapartie Apour qu"à une valeur dementrée par l"utilisateur, il affiche
la valeur dep, calculée à l"aide du procédé de codage précédent :Amérique du Nord430 mai 2013
Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
Variables :mest un entier naturel
pest un entier naturelInitialisation : Demander la valeur dem
Affecter àpla valeur 9m+5
Traitement : Tant quep?26
Affecter àpla valeurp-26
Fin de tant que
Sortie : Afficherp
PartieC
1.On sait que 9×3=27≡1 [26]; donc pourx=3, on a 9x≡1 [26].
2.9m+5≡p[26]=?27m+15≡3p[26]??27m≡3p-15 [26]
Or 27≡1 [26] donc 27m≡m[26]
27m≡3p-15
27m≡m[26]?
=?m≡3p-15 [26]Réciproquement :
m≡3p-15 [26]??m+15≡3p[26]=?9m+135≡27p[26] Or 27≡1 [26] donc 27p≡p[26]; de plus 135=5×26+5 donc 135≡5 [26].135≡5 [26]=?9m+135≡9m+5 [26]
9m+135≡9m+5 [26]
27p≡p[26]
9m+135≡27p[26]???
=?9m+5≡p[26] On peut donc dire que : 9m+5≡p[26]??m≡3p-15 [26].3.Pour décoder une lettre, on procèdera donc ainsi :
Étape1 : À la lettre que l"on veut décoder, on associe le nombrepcorrespondant dans le tableau. Étape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 3p-15 par 26 et on le notem. Étape3 : Au nombrem, on associe la lettre correspondante dans le tableau.Pour décoder la lettre B :
Étape1 : À la lettre B, on associe le nombrep=1.Étape2 : 3p-15=-12≡14 [26] doncm=14.
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