[PDF] Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Sud 16 novembre 2011

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?Corrigé du baccalauréat ES Amérique du Sud?

16 novembre 2011

L"utilisation d"une calculatrice est autorisée.

EXERCICE14points

Commun à tous les candidats

1. a.u?(1)=e est faux; on au?(1)=0 (tangente horizontale)

b.limx→-∞u(x)=0. Vraie c.limx→3u(x)=+∞. Vraie d.L"équationu(x)=1 admet exactement trois solutions. Vraie

2.Soitfla fonction définie et dérivable sur ]-1 ; 2[ telle quef=ln(u).

On notef?sa fonction dérivée.

On a doncf?(x)=u?

u. a.Sur l"intervalle ]-1 ; 0[,fchange de signe.xvarie de-1 exclu à 0, doncuvarie de 0 à 2; donc lnuvarie de-∞à ln(2)>0 en passant par ln1=0, donc effectivement en changeant de signe. Vraie. b.f?(1)=1 e.f?(1)=u?(1)u(1)=0. Fausse. c.L"équationf(x)=2 n"admet aucune solution.f(x)=2??lnu=2??u=e2≈7,4>2. Vraie d.limx→-1f(x)=0. Fausse on a vu que limx→-1f(x)=-∞.

EXERCICE24points

Commun à tous les candidats

1.Par lecture graphique répondre aux questions suivantes :

a.Il n"y a saturation que pourx=4 heures de travail quotidiennes. b.La fonction est croissante, donc il y a envie sur [0; 4[. c.La fonction est décroissante, donc il y a rejet sur l"intervalle ]4; 8]. d.v(4)=f?(4)0

On a doncv(x)=ax+baveca?Retb?R.

Maisv=f?signifie quefest une primitive dev.

Doncf(x)=ax2

2+bx+c, avecc?R.

Orf(0)=0??c=0;

f(4)=100??8a+4b=100 et f(8)=0??32a+8b=0. Donc :?8a+4b=100

32a+8b=0???16a+8b=200

32a+8b=0?(par différence)

16a=-200??a=-25

2, puis 4b=100-8a=100+100=200??b=50.

Finalementv(x)=-25

2x+50.

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

2.3.On a doncf(x)=-252x

22+50x

4.Équation :f(x)=75?? -25

2x

22+50x=75?? -25x2+200x=300??

-25x2+200x-300=0??x2-8x+12=0 Résolvons cette équation du deuxième degré :Δ=64-48=16=42>0.

Cette équation a donc deux solutions :

8+4

2=6 et8-42=2

Les 75% de satisfaction sont atteints pourx=2 etx=6.

EXERCICE35points

Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

1.p(C)=0,60;

p

C(H)=23etpC(B)=1-14=34.

2. C 0,6H 2 3 B 1 3 C0,4H 1 4 B 3 4

3.p(H)=p(C∩H)+p?

C∩H?

=0,6×23+0,4×14=0,4+0,1=0,5.

4.On calculep(C∩H)+p?

C∩B?

=0,4+0,4×34=0,4+0,3=0,7.

5.On a une épreuve de Bernoulli avecn=3 etp=1-0,7=0,3 probabilité de sortir de son

véhicule. La probabilité qu"aucun des trois ne sortent du véhicule est0,73=0,343. Donc la probabilité qu"au moins l"un des conducteurs soit contraint de descendre de son vé- hicule pour saisir son ticket est égale à 1-0,343=0,657.

EXERCICE35points

Pour lescandidats ayantsuivi l"enseignementde spécialité

1. a.La probabilité que Franck joue le deuxième jour est 0,9.

b.La probabilité qu"il ne joue pas le deuxième jour est 0,1. 2. a.

DE0,4 0,10,60,9

Amérique du Sud216 novembre2011

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

b.La matrice de transitionMassociée à ce graphe estM=?0,4 0,60,9 0,1?

3. a.P2=P1×M=(0 1)×?0,4 0,60,9 0,1?

=(0,9 0,1). b.Pn+1=Pn×?0,4 0,60,9 0,1? ???dn+1en+1?=?dnen?×?0,4 0,60,9 0,1? ?dn+1=0,4dn+0,9en e n+1=0,6dn+0,1en c.En particulier donc :?dn+1=0,4dn+0,9en d

4. a.Onadoncun+1=dn+1-0,6=-0,5dn+0,9-0,6=-0,5dn+0,3=-0,5(dn-0,6)=-0,5un.

u n+1=-0,5unsignifie que la suiteuest une suite géométrique de raison-0,5 de premier termeu1=-0,6. b.On sait qu"alors pour tout naturel supérieur à zéro :un=-0,6×(-0,5)n-1=-0,6

Orun=dn-0,6??dn=un+0,6=1,2×(-0,5)n.

c.Comme-1<-0,5<0, on sait que limn→+∞(-0,5)n=0, donc limn→+∞un=0,6. À terme la probabilité que Franck joue est égale à 0,6.

EXERCICE47points

Commun à tous les candidats

PartieA - Modélisationpar une fonctionaffine

1.La calculatrice donne avec des coefficients au centième près

q=-0,87t+9,44

2.Voir sur l"annexe.

3.Avecx=12, on obtientq=9,44-0,87×12=9,44-10,44=-1.

Ce résultat est stupide, donc si ce modèle est correct au boutde 12 heures la quantité de mé-

dicament dans le corps est nulle.

PartieB - Autremodélisation

1.Voir l"annexe.

2. a.La calculatrice donney=-0,067t+1.

b.Ob ay=-0,067t+1=ln?q?

Or ln10×(-0,067)≈0,15, donc finalement :

q=10e-0,15t.

3. a.La fonctiont?-→ -0,15test décroissante et la fonctionu?-→euest croissante, donc la

composée est décroissante sur [0; 12]. On peut aussi calculerf?(t)=10×(-0,15)e-0,15t=-1,5e-0,15t<0 : la dérivée est négative, la fonction est donc décroissante sur [0; 12].

Amérique du Sud316 novembre2011

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

b.On aq(12)=f(12)=10e-0,15×12=10e-1,8≈1,7. c.Si l"on pense qu"il reste encore du médicament dans le corps au bout de douze heures le deuxième modèle exponentiel est le plus adapté.

PartieC - Valeurmoyenne

1.F?(t)=-200

3×(-0,15)e-0,15t=10e-0,15t=f(t) :Fest donc une primitive defsur [0; 12].

2.I=? 10 0 f(t)dt=[F(t)]100=F(10)-F(0)= -200 200

3?1-e-1,5?≈51,79.

3.La valeur moyennemde médicament dans le sang dans les 10 heures suivant l"injection est

égale à :

m=1 10-0? 10 0 f(t)dt=110×2003?1-e-1,5?=203?1-e-1,5?≈5,2 mg.

Amérique du Sud416 novembre2011

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

Annexe de l"exercice 4

PartieA

t(en heures)q(en mg) O

PartieB

ti(en heures)02468 yi(au centième près)10,880,740,590,48

Amérique du Sud516 novembre2011

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