1 Raisonnement par récurrence
23 nov. 2018 Ce document1 contient quelques exercices corrigés sur le raisonnement par récurrence. ... Soit punqnPN une suite d'éléments de Z définie par.
Raisonnement par récurrence TS
Exercice 2. On considère la suite numérique (vn) définie sur N par : Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :.
SUITES ET RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
« Un voyage de mille lieues commence toujours par un premier pas. » Lao Tseu env. -600 av. J.-C. Rappels de Première cours ? p.154. 13 exercices corrigés
Raisonnement par récurrence : Exercices Corrigés en vidéo avec le
Récurrence - suite bornée - inégalité. Soit la suite (un) définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n un+1 = un + 3. 4un + 4. On consid`ere la fonction f
Suites
Suites réelles. Pascal Lainé. Allez à : Exercice 1 : Correction exercice 2 : 1. Faisons un raisonnement par récurrence 0 ? ]1
Raisonnement par récurrence. Limite dune suite
2 oct. 2014 Démontrer par récurrence que pour tout naturel n 0 < un < 2 et que (un) est croissante paul milan. 1. Terminale S. Page 2. exercices. Exercice ...
Exercices sur le raisonnement par récurrence Terminale S Exercice
Exercice 1 ? Démontrer par récurrence la propriété suivante : (enx)/ = ne(n-1)x ?n ? 1
Suites 1 Convergence
Suites. 1 Convergence. Exercice 1. Montrer que toute suite convergente est Pour la première question et la monotonie il faut raisonner par récurrence.
ÉTAT DES CONNAISSANCES DES ÉLÈVES DE TERMINALE S
corrigés d'un même exercice de baccalauréat. Dans cette partie nous étudions la présentation du raisonnement par récurrence dans les pages.
Terminale générale - Suites numériques - Exercices - Devoirs
Suites numériques – Exercices - Devoirs. Exercice 1 corrigé disponible Montrer par un raisonnement par récurrence que l'on a pour tout n entier 3n>n .
Leçon Raisonnement par récurrence - Cours maths Terminale
Suites réelles Pascal Lainé Suites Exercice 1 : Dans cet exercice toutes les récurrences devront être faites sans considérer qu’elles sont évidentes ; Soit ( ) ?0 la suite de nombres réels définie par 0?]01]et par la relation de récurrence +1= 2 + ( )2 4 1 Montrer que : ? ?? >0 2
Raisonnement par r ecurrence : Exercices
Raisonnement par r ecurrence : Exercices Corrig es en vid eo avec le cours surjaicompris com Introduction Soit P(n) la propri et e d e nie pour tout entier n 1 par : 1 2 + 2 3 + ::::+ n (n+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2) 3 1 ) Ecrire la propri et e au rang 1 au rang 2 2 ) V eri er que la propri et e est vraie au rang 1 et au rang 2
LES SUITES (Partie 1) - maths et tiques
LES SUITES (Partie 1) I Raisonnement par récurrence 1) Le principe C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932) ci-contre que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912) On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte
1S1 : DEVOIR SURVEILLÉ N°8 (2 heures)
1 Soit (wn) la suite définie par wn = un + vn Démontrer que (wn) est une suite géométrique 2 Soit (tn) la suite définie par tn = un - vn Démontrer que (tn) est une suite arithmétique 3 Démontrer que : un = 1 2 (wn + tn) 4 Exprimer la somme suivante en fonction de n: Sn = u0 + u1 + + un Exercice 5 (7 points) On considère la
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Exercices de Mathématiques - Suites Raisonnement par récurrence Question 1 Démontrer que la suite dé?nie par u 0 = 5 et pour tout n 2N u n+1 = 1 3 u n 2 est minorée par 3 Question 2 Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que la somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls est égale à n(n+1)(2n+1) 6
Comment définir la suite d’une relation de récurrence?
- Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes. Si par exemple la relation lie u n+2, u n+1 et u n alors : l’initialisation doit porter sur les deux premiers termes et l’hérédité doit supposer la propriété vraie aux rangs p et (p+1).
Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence ?
- 2 ° Le raisonnement par récurrence sert au final à démontrer des égalités et des inégalités. Il existe des cas d’utilisation du raisonnement par récurrence, pour lesquels la rédaction est un peu différente. Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes.
Comment calculer les suites récurrentes?
- Suites récurrentes un+1=f(un) Suites récurrentes u n 1 f Guillaume CONNAN Lycée Jean PERRIN (Lycée Jean PERRIN) 1 / 54 Sommaire 1 Une relation u n 1 f dé nit-elle toujours une suite ? 2 Quelles sont les limites p ossibles d'une suite récurrente ? 3 Le secret de l'étude des suites du t yp e u n
Quelle est la raison de la suite ?
- peuvent se ramener à une suite définie par une fonction. C’est le cas des suites arithmétiques. r étant une constante, et donc indépendante de n. r est appelé la raison de la suite. Autrement dit, il faut montrer que la différence : un+1 - un est constante. Cette différence étant alors la raison de la suite.
Raisonnement par recurrence : Exercices
Corriges en video avec le cours sur
jaicompris.comIntroduction
SoitP(n) la propriete denie pour tout entiern1 par :12 + 23 +::::+n(n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)3
1)Ecrire la propriete au rang 1, au rang 2.
2) Verier que la propriete est vraie au rang 1 et au rang 2.
3)Ecrire la propriete au rangn+ 1
4) Demontrer par recurrence que pour tout entiern1, la proprieteP(n) est vraie.Somme des n premiers entiers
Demontrer par recurrence que pour tout entiern1
1 + 2 + 3 +:::+n=n(n+ 1)2
Somme des carres
Demontrer par recurrence que pour tout entiern1
12+ 22+ 32+:::+n2=n(n+ 1)(2n+ 1)6
Somme des cubes
Demontrer par recurrence que pour tout entiern1
13+ 23+ 33+:::+n3=n2(n+ 1)24
Recurrence - suite bornee
On considere la suite (un) denie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1=pu n+ 11) Demontrer que pour tout entier natureln, 0< un<2
2) Demontrer que pour tout entier natureln,unun+1
Que peut-on deduire?Recurrence - suite croissante, decroissante On considere la suite (un) denie paru0= 10 et pour tout entier natureln,un+1=12 un+ 11) Calculer les 4 premiers termes de la suite.
2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de (un).
3) Etudier les variations de la fonctionfdenie surRparf(x) =12 x+ 14) Demontrer la conjecture par recurrence.Soit la suite (hn) denie parh0= 80 et pour tout entier natureln,hn+1= 0:75hn+ 30.
1) Conjecturer les variations de (hn).
2) Demontrer par recurrence cette conjecture.Soit (un) la suite denie paru1= 0;4 et pour tout entiern1,un+1= 0;2un+ 0;4.
Demontrer que la suite (un) est croissante.1
Recurrence - suite bornee - inegalite
Soit la suite (un) denie paru0= 0 et pour tout entier natureln,un+1=un+ 34un+ 4 On considere la fonctionfdenie sur ]1;+1[ parf(x) =x+ 34x+ 41)Etudier les variations def.
2) Demontrer que pour tout entier natureln, 0un1.Recurrence et suite
On considere la suite (un) denie paru02]0;1[ et pour tout entier natureln,un+1=un(2un)Soit la fonctionfdenie sur [0;1] parf(x) =x(2x).
1) On a trace la courbe defci-dessous.Representer les premiers termes de la suite.
Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de (un).2)Etudier les variations de la fonctionfdenie sur [0;1] parf(x) =x(2x)
3) Demontrer que pour tout entier natureln, 0un1
4) Demontrer que la conjecture du 1).Recurrence - arithmetique
Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln, 7n1 est divisible par 6.Erreur classique dans les recurrences
Pour tout entier natureln, on considere les deux proprietes suivantes : P n: 10n1 est divisible par 9 Q n: 10n+ 1 est divisible par 91) Demontrer que siPnest vraie alorsPn+1est vraie.
2) Demontrer que siQnest vraie alorsQn+1est vraie.
3) Un eleve arme : " DoncPnetQnsont vraies pour tout entier natureln.
Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
4) Demontrer quePnest vraie pour tout entier natureln.
5) Demontrer queQnest fausse pour tout entier natureln.
On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.SoitP(n) la propriete denie surNpar : 4 n+ 1 est divisible par 31) Demontrer que siP(n) est vraie alorsP(n+ 1) est vraie.
2) Que peut-on conclure?2
Recurrence et arithmetique
Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln, 32n1 est un multiple de 8.Recurrence et inegalite
Demontrer que pour tout entiern2, 5n4n+ 3n.Demontrer que pour tout entiern4, 2nn2.On considere la suite (un) denie paru0= 2 et pour tout entier natureln,un+1=un+ 2n+ 5.
Demontrer que pour tout entier naturel n,un> n2.On considere la fonction denie sur ]0;+1[, parf(x) =x2
+1x1)Etudier les variations def.
2) On considere la suite denie paru0= 5 et pour tout entier natureln,un+1=f(un)
a) Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln,p2un+1un5 b) Que peut-on conclure?Recurrence - inegalite de Bernoulli xest un reel positif. Demontrer que pour tout entier natureln, (1 +x)n1 +nxRecurrence et geometrieOn placenpoints distincts sur un cercle, etn2.
Demontrer que le nombre de segments que l'on peut tracer avec cesnpoints estn(n+ 1)2Recurrence et somme des angles dans un polygone
Demontrer par recurrence que la somme des angles dans un polygone non croise vaut (n2)radian.Recurrence - formule explicite d'une suite
Soit la suite (un) denie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1=p2 +un21) Determiner les quatre premiers termes de la suite.
2) Conjecturer l'expression deunen fonction den.
3) Demontrer cette conjecture.On considere la suite (un) denie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1=12
un+ 3.Demontrer que pour tout entier natureln,un=52
n+ 6Recurrence et derivation Rappel: siuetvsont deux fonctions derivables sur un intervalle I alors8 :uvest derivable sur I et (uv)0=u0v+uv0Soitfune fonction derivable sur un intervalle I.
1) Demontrer par recurrence que pour tout entiern1,fnest derivable sur I et que (fn)0=nf0fn1.
2) Appliquer ce resultat a la fonctionfdenie surRparf(x) =xnounest un entier naturel non nul.Algorithme pour calculer la somme d'une suite
Soit la suiteudenie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1= 2un+ 1 +n.Ecrire un algorithme pour calculer la sommeSn=u0+u1+:::+unen utilisant la boucle "Tant que ...".3
Sens de variation d'une suite par 2 methodes - Exercice tres classique On considere la suite denie paru0= 1 et pour tout entier natureln,un+1=unu n+ 2.1) Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln,un>0.
2) En deduire le sens de variation de (un).
3) On considere la fonctionfdenie sur ]2;+1[ parf(x) =xx+ 2.
a)Etudier les variations def.
b) Refaire la question 2) par une autre methode.Piege classique - Algorithme et suiteOn considere les suites (un) et (vn) denies par :
u0= 1 etv0= 0 et pour tout entier natureln,un+1= 3un+ 4vnetvn+1= 2un+ 3vn.
On chercheunetvnqui soient tous les deux superieurs a 1000.Ecrire un algorithme qui ache le premier couple (un;vn) qui verie cette condition, en
utilisant une boucleTant Que.Determiner les termes d'une suite a l'aide d'un tableur 1. Soit la suite ( un) denie paru0= 3 et pour tout entier naturelnparun+1= 2un+ 5. A l'aide d'un tableur, on obtient les valeurs des premiers termes de la suite (un). Quelle formule, etiree vers le bas, peut-on ecrire dans la cellule A3 pour obtenir les termes successifs de la suite (un)? 2. Soit la suite ( vn) denie parv0= 3 et pour tout entier naturelnparvn+1= 2nvn+ 5. A l'aide d'un tableur, determiner les premiers termes de la suite (vn).A 1u n23 311427
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Suite et algorithmique - Completer un algorithme - Un piege tres classique! On considere la suite (un) denie paru0= 1 et pour tout entier naturel n,un+1=n+ 12n+ 4 u n.
On admet la limite de la suite (un) vaut 0.
Completer l'algorithme ci-contre, an qu'il ache la plus petite valeur denpour laquelleun6105.n 0U 1Tant que:::n :::U :::Fin Tant que AchernRaisonnement par recurrence - Erreur classique - Surtout a ne pas faire!Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant :
SoitPnla proprieteMn=PDnP1.
P1MP=D,PP1MP=PD,MP=PD,MPP1=PDP1
,M=PDP1. Donc la proprietePnest vraie au rang 1. On suppose que pour tout entierp>1 la propriete est vraie, c'est-a-dire queMp=PDpP1. D'apres l'hypothese de recurrenceMp=PDpP1et on sait queM=PDP1donc : MDonc la propriete est vraie au rangp+ 1.
La propriete est vraie au rang 1; elle est hereditaire pour toutn>1 donc d'apres le principe de recurrence la propriete
est vraie pour toutn>1.Donc, pour toutn>1,Mn=PDnP1.4
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