[PDF] CORRECTION OFFICE DU BACCALAUREAT. Séries :

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C O R R E C T I O N

Correction de l"exercice 1.

1. a.En d´esignant parble terme central de la progression arithm´etique et parrsa raison, on

peut ´ecrire :a=b-retc=b+r. Les autre donn´ees se traduisent alors par :??? k?? -1,1,2?p(X=k) = 1

E(X) = 1c"est `a dire?ea+ eb+ ec= 1

1.ea-1.eb+ 2.ec= 1Soit?ebe-r+ eb+ eber= 1

e be-r-eb+ 2eber= 1 En faisant la diff´erence membre `a membre et en simplifiant par eb, on trouve er= 2 soitr= ln2.

La premi`ere ´equation devient alors :

1 2 + 1 + 2)eb= 1 c"est `a dire eb=2 7 ?b= ln2 7

Ensuitea=b-r= ln2

7 -ln2?a= ln1 7 etc=b+r= ln2 7 + ln2?c= ln4 7 Pour calculer la variance, calculons d'abordE(X2).

E(X2) = 12ea+ (-1)2eb+ 22ec=1

7 +2 7 + 44 7 =19 7

AlorsV(X) =E(X2)-(E(X))2=19

7 -1?V(X) =12 7

2. a.xG=1

7 (1.xA+ 2xB+ 4xC) = 1 doncG=A. b.?(G) =1 7 -→GA2+ 2--→GB2+ 4--→GC2?

Soit, en se souvenant queG=A:

?(G) =1 7

2--→AB2+ 4-→AC2?

=1 7 (2.4 + 4.1)??(G) =12 7 =V(X) On peut ecrire en utilisant la relation de Schales et en developpant : ?(M) =1 7 (--→MG+-→GA)2+ 2(--→MG+--→GB)2+ 4(--→MG+--→GC)2? ?(M) =1 7 ?(M) =--→MG2+1 7 -→GA2+ 2--→GB2+ 4--→GC2? +1 7 .2--→MG.?--→MG+ 2--→GB+ 4--→GC? UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR1/ 1208 G 18bis A 02

Duree : 4 heures

OFFICE DU BACCALAUREAT Series : S1-S3 - Coe. 8

BP 5005-DAKAR-Fann-Senegal

Serveur Vocal : 628 05 59

Telefax (221) 864 67 39 - Tel. : 824 95 92 - 824 65 81Epreuve du 1ergroupe

M A T H E M A T I Q U E S

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4M A T H E M A T I Q U E S

4 /1208 G 18 bis A 02

Correction propos´ee par les auteursS´eries : S1-S3

Epreuve du 1

ergroupe Le troisi`eme du second membre est nul parce queGest le barycentre du syst`eme? (A,1),(B,2),(C,4)?

Donc,?(M) =--→MG

2+?(G).

La relation?(G) = 3 est alors ´equivalente `a :--→MG

2=97ouMG= 3⎷

7 7.

Par cons´equent

(Γ) =?M

1,M2?o`uM

1etM2sont les deux points de (Δ)

dont la distance au pointAest-3⎷7

7et 3⎷

7 7

Correction de l"exercice 2.

1. a.On a, pour tout r´eelxcompris entreketk+ 1 :1

Puis en int´egrant :

?k+1 k1 k+1 k1 k+1 k1 kdx. c"est `a dire 1 k+1 k1 b. k+1 k1 xdx=? lnx? k+1 k= ln(k+ 1)-lnk= lnk+ 1k=1k-f(k).

2. a.En r´eduisant le deuxi`eme membre au mˆeme d´enominateur, on obtient :

a x+bx+ 1=(a+b)x+ax(x+ 1) Doncaetbsont tels que?x?= 0 et-1, (a+b)x+a= 1. Alorsa+b= 0 eta= 1; ce qui entraˆıne b=-1.

Par cons´equent1

x(x+ 1)=1x-1x+ 1

3. a.On aU

n= 2n? k=n 1 k(k+ 1)= 2n? k=n ?1 k-1k+ 1? 2n? k=n k-αk+1 avecα k=1k.

Donc en proc´edant `a une itt´eration :U

n=αn-α2n+1=n+ 1n(2n+ 1). Ensuite limn?→+∞Un= 0.

b.Dans les in´egalit´es de la question1.a., rempla¸cons l"int´egrale par sa valeur tir´ee de la question

1.b.1 ce qui permet d"encadrerf(k) :

k-1k+ 1Puis sommons membre `a membre ces in´egalit´es depuisk=n`a 2n, on obtient la relation de-

mand´ee : 2n? k=n 2n? k=n 1 k-1k+ 1=Un

Comme limn?→+∞Un= 0, le th´eor`eme des gendarmes permet de conclure que limn?→+∞2n

k=n f(k) = 0. c.La relation ´etablie dans la question1.b.donne par sommation :

M A T H E M A T I Q U E S5 /1208 G 18 bis A 02

Correction propos´ee par les auteursS´eries : S1-S3

Epreuve du 1

ergroupe 5 2n k=n ?k+1 kdx x= 2n? k=n 1 k- 2n? k=n f(k) ou en faisant intervenir la relation de Schales pour les int´egrales :? 2n+1 ndx x=Sn- 2n? k=n f(k)

Ensuite en int´egrant :

ln(k+ 1)-lnk=S n- 2n? k=n f(k)

Finalement

2n? k=n f(k) =Sn-ln2n+ 1n.

Puisque lim

n?→+∞2n k=n f(k) = 0 et limn?→+∞ln2n+ 1n= ln2, on en d´eduit que limn?→+∞Sn= ln2

Correction de l"exercice 3.

1. a.Le pointP

?est tel que f(P) =t◦r(P) =t(P) =P

Donc le pointP

?est enti`erement d´efini par la relation--→PP?=-→JQ; P ?est tel queJPP?Qsoit un parall´elogramme.

Le pointQ

?est tel que f(Q) =t◦r(Q) =t(R) =Q

Donc le pointQ

?est enti`erement d´efini par la relation--→RQ?=-→JQ; Q ?est tel queJQQ?Rsoit un parall´elogramme. La droite (IJ) est une droite des milieux pour le trianglePQR, doncJIRa mˆeme nature quequotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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