[PDF] COURS DE PHYSIQUE ET CHIMIE CLASSES MP-TECHNO AMAMI

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prof. AMAMI ipest

COURS DE PHYSIQUE ET CHIMIE

CLASSES MP-TECHNO

AMAMI MOHAMED

IPESTversion octobre

prof. AMAMI ipest qui veulent passer les concours français (ccp, mines, centrale). Pour bien proter de ce cours il faut lire chaque chapitre au moins deux fois avant d"entamner les exercices.version octobre prof. AMAMI ipest partie I : ElectromagnØtisme version octobre prof. AMAMI ipest tel:95 55 64 10PSI - Lycée BellevuePhysiqueÉlectromagnétisme - chap.I

Rappels d"électrostatique

Électromagnétisme - chap.I

Rappels d"électrostatique

ILechampélectrostatique

I.1. Définitions

Deux charges ponctuelles immobilesq1etq2, placées dans le vide en des points M

1etM2exercent l"une sur l"autre une force :

F1→2=q1q2

4π?0ω

u1→2kωM1M2k2=q1q24π?0ωM

1M2kωM1M2k3

ou, en utilisant les coordonnées sphériques ayant pour centreM1:

F1→2=q1q2

4π?0ω

urr2=q1q24π?0ω rr3

0est la permitivité du vide telle que1

4π?0= 9.109S.I

LoideCoulomb

b)

La force exercée par la charge 1 sur la charge 2 peut aussi se mettre sous la forme :ωF1→2=q2q1

4π?0ω

urr2

Cette forme est intéressante car elle comporte une partie qui ne dépend que de la charge 1 et que l"on

nomme lechamp électrostatique créé par la charge 1, notéωE1.

Définition :

Le champ électrostatique

E1créé par la chargeq1est tel que :

F1→2=q2ωE1(r) avecωE1(r) =q1

4π?0ω

urr2 On peut alors interpréter la force de Coulomb, qui est une force à distance entre deux charges comme la force due à l"action du champ électrostatique créé par une charge sur l"autre.

Remarque

Rappels d"Electrostatique

version octobre prof. AMAMI ipest tel:95 55 64 10PSI - Lycée BellevuePhysiqueÉlectromagnétisme - chap.I

Rappels d"électrostatique

I.2. Principe de superposition

Soit une distributionDde charges ponctuellesq1,q2, ...,qN. L"expérience montre que la force résultante

exercée sur une chargeqpar cette distribution est égale à la somme vectorielle desNforces exercées par

chaque chargeqisupposée seule.

On s"intéresse en particulier à la force totale exercée dansle vide sur une chargeqimmobile par une

distribution de charges immobiles. Cette force s"écrit :

ωF=P

iqωEi=qP iωE i=qωEavecωE=P iωE i Le champ électrostatique créé par la distribution de chargeest donc égal à la somme de tous les champs électrostatiques créés par chacunedes charges de la distribution.

Propriété

Figure1 -(À gauche) Superposition des forces électrostatiques exercées par une distribution de charges.

(À droite) Superposition des champs électrostatiques. I.3. Champ créé par une distribution de charges

Dans le cas d"unedistribution de charges ponctuelles, le champ total créé au pointMest donc la somme

de tous les champs créés par chacune des charges en ce point :

ωE(M) =1

4π?0N

X i=1q iωP iMkωPiMk3avecqila charge numéroisituée au pointPi b)

Dans le cas d"une distributionDde densité volumique de chargeρ, le champ total créé au pointMest

toujours la somme de tous les champs créés par chacune des charges en ce point. Cependant nous n"avons

pas affaire à des charges ponctuelles : il faut donc faire la somme de tous les champs créés par les charges

q volcontenues dans les petits volumesdautour des pointsPiavecqvol=ρ(Pi)dCette somme est continue : version octobre prof. AMAMI ipest tel:95 55 64 10PSI - Lycée BellevuePhysiqueÉlectromagnétisme - chap.I

Rappels d"électrostatique

ωE(M) =1

4π?0ZZZ

P2Dρ(P)dωPMkωPMk3=14π?0ZZZ

P2Dρ(P)ωPMkωPMk3d

ωE(M) =1

4π?0ZZ

P2D(P)dSωPMkωPMk3=14π?0ZZ

P2D(P)ωPMkωPMk3dS

ωE(M) =1

4π?0Z

P2D(P)d?ωPMkωPMk3=14π?0Z

P2D(P)ωPMkωPMk3d?

I.4. Le champ électrostatique est il toujours défini?

Comme le calcul de champs repose sur un calcul d"intégrales,le champ créé peut ne pas être défini

dans le cas où l"intégrale ne converge pas, c"est à dire quandla somme tend vers l"infini.

Ceci ne se produit jamais dans le cas à trois dimensions (charges ponctuelles ou distribution volumique).

En effet, la distribution volumique de charge correspond à laréalité physique de l"objet considéré.ωEest

alors toujours défini et continu (pas de variation brutale) pour une distribution volumique de charge.

En revanche, les distributions surfacique et linéïque sontdes modélisations. En effet, pour la distribution

surfacique, on suppose que l"épaisseur du matériau tend vers zéro, ce qui implique que le densité volumique

de charge tend vers l"infini.Cela a pour conséquence que le champ électrostatique n"est pas défini

en un point de la distribution et n"est pas continu à l"interface de la distribution. II

Potentielélectrostatique

II.1. Circulation du champ électrostatique et potentiel

Définition :

On appelle circulation d"un vecteur (ici circulation du champ électro- statique) entre les pointsAetBla quantité : C

AB()=Z

B AωEωdravecωdrun déplacement infinitésimal le long de

Si l"on calcule la circulation du champ électrostatique créé par une charge ponctuelle, on a :

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Rappels d"électrostatique

CAB()=q4π?0

1rA1rB

On constate que cette circulation est indépendante de la courbechoisie et ne dépend que de la position des pointsAetB.

D"après le principe de superposition, le champ total créé par une distribution de charges est égal à la

somme de tous les champs créés par chaque charge. On peut appliquer le raisonnement précédent à chacun

de ces champs et on a donc la propriété suivante pour le champ total : La circulation entre 2 pointsAetBdu champ électrostatique créé par une dis- tribution de charges est indépendante de la courbechoisie pour aller du pointA au pointB.

Propriété

Définition :

Il existe une fonctionVappelée potentiel électrostatique qui ne dépend que de la position des points et telle que : C

AB()=Z

B

AωEωdr=V(A)V(B)

Pour une charge ponctuelle, on a :

V(r) =q

4π?0r+V0

Vs"exprime en volt.

II.2. Expressions du potentiel

Expression de dVÀ partir de l"expression intégrale : C

AB()=Z

B

AωEωdr=V(A)V(B)

et comme

V(A)V(B) =Z

B A dV on peut déduire uneexpression localede la relation : dV=ωEωdr version octobre prof. AMAMI ipest tel:95 55 64 10PSI - Lycée BellevuePhysiqueÉlectromagnétisme - chap.I

Rappels d"électrostatique

Rappels sur le gradientSoit un repère cartésien(O,ωux,ωuy,ωuz).

Soit une fonction des trois variables d"espacef(x,y,z). SoitMun point de coordonnées(x0,y0,z0)etM0

un point infiniment voisin de coordonnées(x0+ dx,y0+ dy,z0+ dz). On a alorsωMM0= dωOM=ωdr= dxωux+ dyωuy+ dzωuz Lorsque l"on passe deMàM0,fpasse defàf+ dfavec df=@f @x y;z dx+@f@y x;z dy+@f@z x;y dz=ωgradfωd? où ωd?= dx~ux+ dy~uy+ dz~uzet oùωgradfest appelé gradient de la fonctionf.

Définition :

Le gradient en un pointMd"une fonction scalaire

f(M)est un champ de vecteurs , notéωgradMfet défini par df(M) =ωgradMfωd? oùdfest la différentielle defau pointMetωd?le vecteur déplacement du pointMlors d"un déplacement infinitésimal. Dans la suite, on omettra l"indiceMet l"on noteraωgradf=ωgradMf.

Remarque

En coordonnées cartésiennes, le gradient d"une fonctionf(x,y,z)a pour expres- sion gradf= @f @x! y;z ~u x+ @f@y! x;z ~u y+ @f@z! x;y ~u z

En introduisant l"opérateur nabla

r=0BBBBBB@@ @x@ @y @z1CCCCCCA on a gradf=ωrf

Propriété

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Rappels d"électrostatique

L"expression du vecteur nablaωrdépend du système de coordonnées. en coordonnées cartésiennes(x,y,z): r=0BBBBBB@@ @x@ @y @z1CCCCCCA en coordonnées cylindriques(r,,z): r=0BBBBBB@@ @r1 r@@@ @z1CCCCCCA en coordonnées sphériques (r,,?) : r=0BBBBBB@@ @r1 r@@1 rsin@@?1CCCCCCA

Propriété

Soit la surfacepour laquellef(x,y,z) =cte. Soitωd?un déplacement élémentaire sur cette surface.

Ce déplacement implique df= 0 doncωgradfest orthogonal à tout déplacementωd?sur cette surface.

De plus, sifest croissante entre deux pointsMetM0, df> 0 etωgradfest orienté dans le même sens queωd?.

ωgradfest un champ de vecteurs orthogonaux en tous points à la surface f(x,y,z) =cte; ωgradfest orienté dans le sens oùfcroît.

Propriété

Le gradient généralise la dérivée d"une fonction dans le casd"un espace à plusieurs dimensions.

Remarque

Relation locale entreEetVPar définition de la fonction gradient : dV=ωgradVωdrdoncωE=ωgradV version octobre prof. AMAMI ipest tel:95 55 64 10PSI - Lycée BellevuePhysiqueÉlectromagnétisme - chap.I

Rappels d"électrostatique

Le champ électrostatique total créé par une distribution decharges est la somme des champs créés par

chaque charge. On a alors :

ωEωdr=X

iωE iωdr=X idVi=dVavecV=X iV i Le principe de superposition est également valable pour le potentiel électrosta- tique.

Propriété

c)

L"expression du potentiel créé par les différentes distributions de charges s"obtient donc facilement à

partir de l"expression du potentiel créé par une charge ponctuelle : V=q

4π?0r+V0

-distribution discrète de charges :

V(M) =X

iq i4π?0PiM+V0 -distribution volumique de charges :

V(M) =ZZZ

P2Dq4π?0PM+V0=ZZZ

P2Dρd4π?0PM+V0

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Rappels d"électrostatique

-distribution surfacique de charges :

V(M) =ZZ

P2Dq4π?0PM+V0=ZZ

P2DdS4π?0PM+V0

-distribution linéïque de charges :

V(M) =Z

P2Dq4π?0PM+V0=Z

P2Dd?4π?0PM+V0

Le potentiel n"est pas déni en un point d"une distribution linéïque de charge et n"est pas continu

à la traversée de cette distribution.

Remarque

II.3. Énergie potentielle électrostatique

Calculons le travail de la force de Coulomb créée par un champélectrostatiqueωEsur une chargeq.

La force de Coulomb s"écrit :ωF=qωE.

Le travail élémentaire s"écrit donc :W=ωFωdr=qωEωdr.

En utilisant la relation définissant le potentiel électrostatiqueV:dV=ωE.ωdr, on obtient :

W=qdVetWA→B=q(VAVB)

On voit que le travail de la force de Coulomb est indépendant du chemin suivi. La force de Coulomb

est donc conservative et on peut définir l"énergie potentielle dont elle dérive.

D"après la relationWA→B=q(VAVB), on en déduit quel"énergie potentielle dont dérive la force

de Coulombexercée sur une chargeqest : L"énergie potentielle dont dérive la force de Coulomb est E p=qV avecVle potentiel électrostatique exercé au point où se situe la chargeq

Propriété

III

III.1. Symétries du champ électrostatique

Définition :

On dit qu"il existe une symétrie plane (pour une distribution de charges) si, quels que soient deux pointsPetP0symétriques par rap- port à un plan, on a :q(P) =q(P0) version octobre prof. AMAMI ipest tel:95 55 64 10PSI - Lycée BellevuePhysiqueÉlectromagnétisme - chap.I

Rappels d"électrostatique

Soit une distribution de charge ayant un plan de symétrie(voir figure 2). En tout pointMdu plan de symétrie, la contribution des deux éléments de volume dPet dP0 symétriques par rapport àconduit à un champ créé au pointMcontenu dans le plan.

En tout pointMextérieur au plan de symétrie, le champ créé au pointMest le symétrique du

champ créé au pointM0symétrique deMpar rapport à.

V(M) =qP

4π?0PM+q0P4π?0P0MetV(M0) =qP4π?0PM0+q0P4π?0P0M0

Or,qP=q0P,PM=P0M0etP0M=PM0doncV(M0) =V(M)

Le champ électrostatique créé en un point d"un plan de symétrie appartient à ce plan. À l"extérieur d"un plan de symétrie, le champ électrique estsymétrique par rapport

à ce plan :

siM0=sym(M) alorsωE(M0) =symωE(M) etV(M0) =V(M)

Propriété

On dit alors que

ωEest un vrai vecteur ou un vecteur polaire.

Remarque

Figure2 -(À gauche) Champ électrostatique en un point d"un plan de symétrie. (À droite) Champ en

un point extérieur à un plan de symétrie. Le champ électrostatique en un point d"un axe de symétrie estcolinéaire à cet axe.

Propriété

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Rappels d"électrostatique

Définition :

On dit qu"il existe une anti-symétrie plane (pour une distribution de charges) si, quels que soient deux pointsPetP0symétriques par rapport

à un plan, on a :q(P) =q(P0)

Soit une distribution de charge ayant un plan d"anti-symétrie(voir figure 3). En tout pointMdu plan d"anti-symétrie, la contribution des deux élémentsde volume dPet dP0 symétriques par rapport àconduit à un champ créé au pointMperpendiculaire au plan.

En tout pointMextérieur au plan de symétrie, le champ créé au pointMest l"opposé du symétrique

du champ créé au pointM0symétrique deMpar rapport à.

V(M) =qP

4π?0PM+q0P4π?0P0MetV(M0) =qP4π?0PM0+q0P4π?0P0M0

Or,qP=q0P,PM=P0M0etP0M=PM0doncV(M0) =V(M)

Figure3 -(À gauche) Champ électrostatique en un point d"un plan d"anti-symétrie. (À droite) Champ

en un point extérieur à un plan d"anti-symétrie. Le champ électrostatique créé en un point d"un plan d"anti-symétrie est perpen- diculaire à ce plan. À l"extérieur d"un plan d"anti-symétrie, le champ électrique est tel que : siM0=sym(M) alorsωE(M0) =symωE(M) etV(M0) =V(M)

Propriété

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Rappels d"électrostatique

III.2. Invariances du champ et du potentiel électrostatiques

On admet la validité du principe de Curie énoncé ci-dessous dans le cas de l"électrostatique.

Le champ et le potentiel électrostatiques possèdent les mêmes propriétés d"inva- riance que la distribution de charge qui les crée.

Propriété

a)

Définition :

On dit qu"une distribution de charges est invariante par translation d"axeOzsi elle reste inchangée par toute translation d"axeOz: quel que soit le pointP, tous les pointsP0obtenus par translation d"axeOz vérifientquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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