Synthèse de trigonométrie
Cette définition est indépendante du rayon du cercle et de l'angle au centre Pour résoudre une équation trigonométrique on essaie généralement de la ...
Synthèse de trigonométrie
Cette définition est indépendante du rayon du cercle et de l'angle au centre Pour résoudre une équation trigonométrique on essaie généralement de la ...
TRIGONOMÉTRIE
La propagation des ondes par exemple
F onctions équations trigonométriques
Fonctions et équations trigonométriques Résolution d'une équation trigonométrique simple du ... Définition des fonctions trigonométriques.
Trigonométrie circulaire
l'année que vous vous retrouverez face à une formule de trigonométrie (ou de dérivée
Définition: Le cercle trigonométrique est centré à lorigine du plan
Définition: Le cercle trigonométrique est centré à l'origine du plan cartésien et son rayon est égal à 1. Équation: L'équation du cercle trigonométrique: x.
TRIGONOMÉTRIE
Définition : Sur un cercle on appelle sens direct
FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Méthode : Résoudre une équation trigonométrique Une fonction f est impaire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D.
Chapitre II : Trigonométrie I Définition
La fonction sinus notée sin est la fonction qui à tout réel ? associe son sinus
Fonction Trigo
trigonométrique tel que IOM Ensemble de définition = R . (rappel de 1er : cos ' x = - sin x ) ... III ] Equations trigonométriques.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1FONCTIONS COSINUS ET SINUS I. Rappels 1) Définitions : Dans le plan muni d'un repère orthonormé
O;i ;jet orienté dans le sens direct, on considère un cercle trigonométrique de centre O. Pour tout nombre réel x, considérons le point N de la droite orientée d'abscisse x. À ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique. On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées passant par M. Définitions : - Le cosinus du nombre réel x est l'abscisse de M et on note cosx. - Le sinus du nombre réel x est l'ordonnée de M et on note sinx. Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1)
2)3) cos2 x + sin2 x= 1 2) Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus : x 0
6 4 3 2 cosx 1 3 2 2 2 1 20 -1 sinx
0 1 2 2 2 3 2 1 0YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2II. Propriétés des fonctions cosinus et sinus 1) Périodicité Propriétés : 1)
cosx=cosx+2kπ où k entier relatif 2) sinx=sinx+2kπ où k entier relatif Démonstration : Aux points de la droite orientée d'abscisses x et x+2kπont fait correspondre le même point du cercle trigonométrique. Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période
2π. Conséquence : Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus ou de la fonction sinus, il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur
2πet de la compléter par translation. Méthode : Résoudre une équation trigonométrique Vidéo https://youtu.be/PcgvyxU5FCc Résoudre dans
l'équation cos 2 x= 1 2 cos 2 x= 1 2 ⇔cos 2 x- 1 2 =0 ⇔cosx- 2 2 cosx+ 2 2 =0 ⇔cosx= 2 2 ou cosx=- 2 2 ⇔cosx=cos 4 ou cosx=cos 3π 4Ainsi :
S= 4 +2k 1 4 +2k 2 3π 4 +2k 3 3π 4 +2k 4πaveck
iSoit :
S= 4 kπ 2 aveck∈!YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr32) Parité Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1)
cos(-x)=cosx 2) sin(-x)=-sinxRemarque : On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. Définitions : Une fonction f est paire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, -x appartient à D et
f(-x)=f(x). Une fonction f est impaire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, -x appartient à D et
f(-x)=-f(x). Conséquences : - Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine. Méthode : Etudier la parité d'une fonction trigonométrique Vidéo https://youtu.be/hrbgxnCZW_I Démontrer que la fonction f définie sur
par f(x)=sinx-sin2x est impaire. Pour tout x réel, on a : f(-x)=sin-x -sin-2x =-sinx+sin2x =-f(x). La fonction f est donc impaire. Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère. 3) Autres propriétés Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1)
cosπ+x =-cosx et sinπ+x =-sinx 2) cosπ-x =-cosx et sinπ-x =sinx 3) cos 2 +x =-sinx et sin 2 +x =cosx 4) cos 2 -x =sinx et sin 2 -x =cosxYvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 III. Dérivabilité et variations 1) Dérivabilité Propriété : Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0 et on a : cos'(0) = 0 et sin'(0)=1. - Admis - Théorème : les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur
et on a : cos'(x) = -sin(x) et sin'(x) = cos(x) Démonstration : - Soit x un nombre réel et h un nombre réel non nul.
cos(x+h)-cosx h cosxcosh-sinxsinh-cosx h =cosx cosh-1 h -sinx sinh h Or, cosinus et sinus sont dérivables en 0 de dérivées respectives 0 et 1 donc : lim h→0 cosh-1 h =0 et lim h→0 sinh h =1 donc lim h→0 cos(x+h)-cosx h =-sinx . - Soit x un nombre réel et h un nombre réel non nul. sin(x+h)-sinx h sinxcosh+cosxsinh-sinx h =sinx cosh-1 h +cosx sinh h Donc lim h→0 sin(x+h)-sinx h =cosx . 2) Variations x 0 π cos'x=-sinx0 - 0
cosx1 -1 x 0
2 sin'x=cosx1 + 0 - -1
sinx1 0 0
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 3) Représentations graphiques Fonction cosinus Fonction sinus Méthode : Etudier une fonction trigonométrique Vidéos dans la Playlist : https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCappSbh79E9sYg99vU5b_nBy On considère la fonction f définie sur
par f(x)=cos2x 1 2. 1) Etudier la parité de f. 2) Démontrer que la fonction f est périodique de période π
. 3) Etudier les variations de f. 4) Représenter graphiquement la fonction f. YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr61) Pour tout x de , on a : f(-x)=cos-2x 1 2 =cos2x 1 2 =f(x)La fonction f est donc paire. Dans un repère orthogonal, sa représentation graphique est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 2) Pour tout x de
, on a : f(x+π)=cos2x+π 1 2 =cos2x+2π 1 2 =cos2x 1 2 =f(x) On en déduit que la fonction f est périodique de période π . 3) Pour tout x de , on a f'(x)=-2sin2x . Si x∈0; 2 , alors2x∈0;π
et donc sin2x ≥0 . Donc si x∈0; 2 , alors . Ainsi f est décroissante sur 0; 2 . x 0 2 f'(x)0 - 0
f(x) 1 2 3 24) Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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