[PDF] Topologie et analyse différentielle

View - Download Topologie et analyse différentielle

Previous PDF

Next PDF

Topologie et analyse diff´erentielle

Benoˆıt Perthame

November 10, 2007

2 Entre le risque et la certitude, il faut choisir le risque

Jacques BREL

Car pour moi les id´ees claires sont (...) des id´ees mortes et termin´ees.

Antonin ARTAUD (le th´eˆatre et son double)

3 PR

´EFACE

Ce cours contient quelques notions de topologie et d"analyse diff´erentielle enseign´es `a l"´Ecole Normale Sup´erieure au premier semestre de la premi`ere ann´ee, ce qui correspond au niveau L3-M1. Le contenu est tr`es classique et doit beaucoup aux ouvrages de H. Cartan, L. Schwartz et H. Br´ezis que l"on trouvera dans la bibliographie. L"esprit est

toutefois diff´erent de la tradition des cours enseign´es ici, ou du moins tente de l"ˆetre, de

deux points de vue. Contrairement `a la tradition qui veut que les math´ematiques soient

enseign´es lin´eairement (telle notion vient apr`es telleautre suivant un ordre ´etabli au cours

des ann´ees), ce cours voit d"abord l"Analyse comme une immense toile o`u les diff´erentes notions sont connect´ees entre elles, admettent diff´erents niveau de compr´ehension et d"abstraction. Ensuite, il contient des exemples pour illustrer les notions abstraites et renvoyer `a d"autres th´eories qui d´epassent le niveau de ce cours. Surtout, ils tentent de montrer que les objets de l"Analyse sont avant tout des outils de mod´elisation; la plu-

part d"entre eux ont ´et´e invent´es pour d´ecrire les lois de la nature. Mˆeme si la nature

que nous recherchons aujourd"hui est diff´erente de celle que d´ecouvraient Newton, Euler, Maxwell, Boltzmann ou Riemann, les mˆemes outils de mod´elisation une fois correctement ´etendus et approfondis, servent de base pour tenter de comprendre la compression et le traitement des donn´ees, les flots de donn´ees sur Internet,les nombreuses ´echelles du vi- vant, la mati`ere dans ses nombreuses formes. En cons´equence on trouvera mentionn´es des

th´eor´emes qui peuvent ˆetre pass´es en premi`ere lecture, d"autres dont les d´emonstrations

d´epassent clairement le niveau L3-M1. Plusieurs personnes ont particip´e `a la r´edaction de certaines parties de ce cours et je

voudrais les remercier ici. O. Dudas a r´edig´e la preuve du th´eor`eme de Stone-Weierstrass

et l"approximation par les polynˆomes de Bernstein et O. Gu´eant a r´edig´e la section concer-

nant la topologie de l"espace des fonctionsC∞`a support compact (topologies de Whitney et de Schwartz). F. Kassel a relu ce cours en d´etail et corrig´e de nombreuses coquilles . P.-E. Jabin et A. Basson ont fourni pas mal d"exercices. A. Bentata et G. Raoul en ont relu des parties. Merci ´egalement `a M. Desnous (INRIA, BANG) qui a r´ealis´e la plupart des illustrations 4 Table des mati`eres1 Espaces m´etriques et distances9

1.1 Espaces m´etriques et distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 9

1.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Boules et sph`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.3 Espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 12

1.3.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Normes et distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Suites convergentes dans un espace m´etrique . . . . . . . . .. . . . . . . . 14

1.5 L"espace de Schwartz, espaces de Fr´echet . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15

2 Espaces topologiques19

2.1 D´efinition d"une topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19

2.2 Topologie d"un espace m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 20

2.3 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 Ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.3 Int´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.4 Adh´erence, densit´e, s´eparabilit´e . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 22

2.3.5 Fronti`ere, ext´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 24

2.3.6 Espaces s´epar´es ou espaces de Hausdorff . . . . . . . . . . .. . . . 24

2.3.7 Topologie induite (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.8 Point isol´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Comparaison des topologies, normes ´equivalentes . . . .. . . . . . . . . . 26

2.4.1 Topologie moins fine qu"une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

2.4.2 Cas des espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

2.4.3 Cas des espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 27

2.5 Base d"ouverts et construction de topologies . . . . . . . . .. . . . . . . . 28

2.5.1 Base d"ouverts, syst`eme fondamental de voisinages .. . . . . . . . . 28

2.5.2 Syst`eme g´en´erateur d"une topologie, pr´ebase . . .. . . . . . . . . . 28

2.5.3 Engendrer efficacement une topologie . . . . . . . . . . . . . . .. . 29

5

6TABLE DES MATI`ERES

2.6 Exemple: l"espaceD(Rd), topologies de Schwartz et de Whitney . . . . . . 29

2.6.1 Quelques propri´et´es pr´eliminaires . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 30

2.6.2 Non m´etrisabilit´e des topologiesTwetTs. . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6.3 Compl´etude deD(Rd) au sens des e. v. t. . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Continuit´e, limites, convergence37

3.1 Fonctions continues entre espaces topologiques . . . . . .. . . . . . . . . . 37

3.1.1 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.2 Cas des espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

3.1.3 Semi-continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.4 Uniforme continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

3.1.5 Exemple: la distance au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45

3.3 Th´eor`eme de prolongement de Tietze-Urysohn . . . . . . . .. . . . . . . . 47

3.4 Applications ouvertes, ferm´ees, hom´eomorphismes . .. . . . . . . . . . . . 48

3.5 Continuit´e et constructions de topologies . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 49

3.5.1 Topologie induite (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.2 Topologie la moins fine rendant continue une application . . . . . . 49

3.5.3 Topologie initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5.4 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5.5 Groupe topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5.6 Espace vectoriel topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 54

3.5.7 Topologie finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5.8 Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.6 Th´eor`emes de Stone et de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 59

3.6.1 Quelques ´enonc´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.6.2 Ordre d"approximation et th´eor`eme de Jackson . . . . .. . . . . . 60

3.6.3 D´emonstration du th´eor`eme de Stone-Weierstrass .. . . . . . . . . 64

3.6.4 Polynˆomes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Espaces m´etriques complets, espaces de Banach 69

4.1 Suite de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Espace m´etrique complet, espace de Banach . . . . . . . . . . .. . . . . . 69

4.3 Prolongement des applications uniform´ement continues . . . . . . . . . . . 71

4.4 Th´eor`eme de point fixe de Banach, m´ethode it´erative de Picard . . . . . . 72

4.5 ´Equations d"´evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.6 Convergence normale des s´eries et topologie quotient dans un Banach . . . 76

4.7 Th´eorie de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.8 Probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

TABLE DES MATI`ERES7

5 Espaces compacts83

5.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 83

5.2 Compacit´e dans les espaces s´epar´es . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 84

5.3 Compacit´e dans les espaces m´etriques, Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass . 86

5.4 Quelques r´esultats et notations suppl´ementaires . . .. . . . . . . . . . . . 87

5.5 Th´eor`eme de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88

5.6 Quelques exemples d"applications . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 91

5.6.1 Uniforme continuit´e des fonctions continues sur un compact . . . . 91

5.6.2 Extrema des fonctions continues sur un compact . . . . . .. . . . . 91

5.6.3 Th´eor`eme de Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.6.4´Equivalence des normes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 91

5.6.5 Th´eor`emes de point fixe de Brouwer et de Schauder . . . .. . . . . 92

5.6.6 Th´eor`emes de Perron-Frobenius et de Krein-Rutman .. . . . . . . 94

5.6.7 D´ecompositionM=Q.Sdes matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.7 Quelques Th´eor`emes d"Ascoli-Arzela . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 99

5.7.1 Compacit´e des fonctions continues `a valeurs r´eelles . . . . . . . . . 99

5.7.2 Compacit´e des fonctions continues `a valeurs dans unespace m´etrique101

6 Espaces connexes105

6.1 D´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 105

6.2 Espaces connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 106

6.3 Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

6.4 Hom´eomorphismes et connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 109

7 Applications lin´eaires dans les espaces vectoriels norm´es 111

7.1 Applications lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 111

7.2 Dual topologique, th´eor`eme de Hahn-Banach . . . . . . . . .. . . . . . . . 112

7.3 Espaces vectoriels s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 114

7.4 Th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 115

7.5 Le th´eor`eme de continuit´e de l"inverse de Banach . . . .. . . . . . . . . . 116

8 Espaces de Hilbert119

8.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.2 Projection sur un convexe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 121

8.3 Dualit´e et th´eor`eme de Riesz-Fr´echet . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 124

8.4 Th´eor`emes de Lax-Milgram et Stampacchia . . . . . . . . . . .. . . . . . 125

8.5 Base hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

8.6 S´eries de Fourier, transform´ee de Fourier discr`ete,FFT . . . . . . . . . . . 131

8.6.1 S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.6.2 Transform´ee de Fourier discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 133

8.6.3 Transform´ee de Fourier Rapide (FFT) . . . . . . . . . . . . . .. . 134

8.6.4 Espaces de Sobolev p´eriodiques (probl`eme) . . . . . . .. . . . . . . 134

8.7 Probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8TABLE DES MATI`ERES

9

´Equations diff´erentielles ordinaires137

9.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.2 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 139

9.3 Explosion en temps fini, non-unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 142

9.4 Les lemmes de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.5 D´ependance r´eguli`ere en fonction des param`etres . .. . . . . . . . . . . . 146

9.6 Flot et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9.7 Equation de transport et m´ethode des caract´eristiques . . . . . . . . . . . 150

Chapitre 1Espaces m´etriques et distancesLorsque l"on se pose la question de savoir si deux objets d"unsemble sont plus ou moins

"proches", la premi`ere id´ee consiste `a essayer de construire une "distance" entre eux? Or cela n"est pas toujours suffisant; en effet, dans des espaces "trop gros", on peut d´efinir des suites convergentes sans avoir pour autant de notion de distance. Ces premiers chapitres

visent `a d´efinir des notions permettant de r´epondre `a cette question de fa¸con tr`es g´en´erale.

On introduit ainsi la notion de "topologie g´en´erale" qui s"appuie sur des notions purement ensemblistes. L"esprit de la topologie g´en´erale est doncassez proche de la th´eorie de la mesure qui vise `a construire le "volume" des sous-ensembles et ceci doit passer par une "mesure" et plus g´en´eralement par la connaissance des ensembles "mesurables". Ces deux th´eories sont donc totalement entrelac´ees et les liens sont nombreux .

1.1 Espaces m´etriques et distances

1.1.1 D´efinitions

D´efinition 1.1On appelle espace m´etrique(E,d)la donn´ee d"un ensembleEet d"une application, appel´ee distanced:E×E→R+telle que (i) (positivit´e)d(x,y)≥0etd(x,y) = 0??x=y, (ii) (sym´etrie)d(x,y) =d(y,x),

Une des cons´equences, souvent utile, de (iii) et (ii) estl"in´egalit´e triangulaire g´en´eralis´ee:

9

10CHAPITRE 1. ESPACES M´ETRIQUES ET DISTANCES

1.1.2 Exemples

1. SurE=Rd, ouCd, la distance classique est induite par la norme euclidienne: pour

x= (x1,x2,...,xd),y= (y1,y2,...,yd), elle est donn´ee par d

2(x,y) =????

d? i=1(xi-yi)2.

2. La distance discr`ete sur un ensembleEquelconque est d´efinie par

d(x,y) =?1 pourx?=y,

0 pourx=y.

Un ensemble muni de cette distance est appel´e "ensemble discret".

3. On introduira plus tard la notion de ferm´e, mais on peut d`es `a pr´esent mentionner la

distance de Hausdorffentre deux ferm´es, d´efinie par d

H(F1,F2) = maxx?F1d(x,F2) + maxy?F2d(y,F1).

4. Un grapheG= (V,E) est un ensemble finiV("vertices", noeuds) et une ensemble

non-videEde "edges" (paires non-ordonn´ees)e={i,j}aveci?=j?V. Deux noeudsi,j sont connect´es s"il existe un chemin (de longueurn+ 1 ici) (i,i1), (i1,i2) ... (in,j) form´e

d"´el´ements deE. Un graphe est connect´e si tous les noeuds sont connect´es entre eux. On

d´efinit alors d(i,j) ={nombre de "edges" dans le chemin le plus court}.

C"est une distance.

1.1.3 Exercices

Exercice1. Sur une espace m´etrique (E,d), on d´efinit aussi des distances (born´ees) par les formules

˜d(x,y) = min(1,d(x,y)),¯d(x,y) =d(x,y)

1 +d(x,y).

Exercice2. Soient (di)i?Nune famille d´enombrable de distances. Montrer qued1+d2 est aussi une distance. De mˆeme pour i?N2 -idi(x,y)

1 +di(x,y),sup

i?N[min(1i+ 1,di(x,y))]. Exercice3. (Distance riemanienne) SurRd, soitA(x)?Md×ddes matrices d´efinies positives d´ependant dexde fa¸con r´eguli`ere. On d´efinit d a(x,y) = inf??1 0 |A(x(t)).x(t)|dt;x(0) =x, x(1) =y?

1.2. BOULES ET SPH`ERES11

o`u l"infimum est pris sur toutes les trajectoiresx(·)? C1([0,1];Rd). Montrer quedaestquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

[PDF] le bourgeois gentilhomme résumé

[PDF] le bourgeois gentilhomme les personnages

[PDF] bourgeoisies marchandes négoces internationaux traites négrières et esclavage au xviiie siècle

[PDF] bourgeoisie marchandes négoces et traites négrières

[PDF] bourgeoisie marchande négoces internationaux et traite négrière

[PDF] controle bourgeoisies marchandes

[PDF] bourgeoisies marchandes négoces internationaux et traites négrières quiz

[PDF] grand commerce bourgeoisie et esclavage au xviiie siècle

[PDF] négoces internationaux

[PDF] traites négrières et esclavage au xviiie siècle

[PDF] fiche de demande de bourse uir

[PDF] www.uir.ac.ma bourse

[PDF] uir bourse d'excellence

[PDF] uir bourse 2017

[PDF] logement uir