[PDF] Université Claude Bernard Lyon 1 Semestre printemps 2018 - 2019

View - Download Université Claude Bernard Lyon 1 Semestre printemps 2018 - 2019

Previous PDF

Next PDF

Université Claude Bernard Lyon 1Semestre printemps 2018 - 2019 Préparation aux épreuves écrites du CAPESFiche 3 SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUESNotions abordées

Suites numériques

Limites de suites réelles et complexes, théorèmes d"existence

Monotonie, critères de convergence

Notion de suite extraite, suites adjacentes

Comparaison et comportement de suites de référence

Théorème de Bolzano Weierstrass

Applications : moyenne arithmético-géométrique, développement décimal d"un réel, suites géo-

métriques complexes, suites de Cauchy

Séries numériques

Critères essentiels de convergence, convergence absolue des séries, séries alternées Règles de d"Alembert et de Cauchy, théorème d"Abel

Comparaison avec une intégrale

Séries géométriques, séries de Riemann, séries de Bertrand

Applications : convergence de séries, série harmonique, constante d"Euler, formule de StirlingPARTIE I : Suites numériques

A - QUELQUES RÉSULTATS DE BASEDans cette partie on se propose d"établir certains résultats essentiels concernant l"étude des suites.

1 -

Un critère essen tielde con vergenceProposition.Toute suite convergente est bornée.2 -Un résultat de con vergence

Proposition.Si(un)est bornée et(vn)converge vers0, alors la suite(unvn)converge vers

0.3 -Caractérisation de la con vergencev iales suites extraites

Définition.Soit(un)une suite. On dit que la suite(vn)est unesous-suiteou unesuite extraitede(un)s"il existe une application':N!Nstrictement croissante telle que v n=u'(n);8n2N:Proposition.La suite(un)converge verslssi toute sous-suite de(un)converge versl.1

4 -Suites monotones

Proposition.

Si(un)est croissante et non majorée, alors elle diverge vers+1. Si(un)est croissante et majorée, alors elle converge versl= supfun; n2Ng. Si(vn)est décroissante et non minorée, alors elle diverge vers1.

Si(vn)est décroissante et minorée, alors elle converge versl= inffun; n2Ng.5 -Suites adjace ntes

Proposition.Soient(un)et(vn)deux suites telles que : -(un)est croissante et(vn)est décroissante. -(unvn)converge vers0.

Alors(un)et(vn)ont la même limite. On dit que les suites(un)et(vn)sontadjacentes.6 -Théorème de Bolzano-W eierstrass

Proposition.De toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.7 -Comparaison des suites

Définitions.Soient(un)et(vn)deux suites. On suppose quevnest non nul à partir d"un certain rang. On dit que (un)et(vn)sontéquivalentessi la suiteunv n converge vers1.

On note alorsunvn.

On dit que (un)estnégligeabledevant(vn)si la suiteunv n converge vers0.

On note alorsun=o(vn).

On dit que (un)estdominéepar(vn)si la suiteunv

n est bornée.

On note alorsun=O(vn).Proposition.Soient(un)et(vn)deux suites de termes strictement positifs. S"il existe

2[0;1[etN2Ntels que

8nN ;un+1u

nvn+1v n; alorsun=o(vn).Proposition.Soient; >0eta >1. On considère les suites de terme général : u n= (ln(n)); n2,vn=n; n1,wn=an; n0,zn=n!; n0. On aun=o(vn),vn=o(wn)etwn=o(zn).8 -Suites complexes Définition.On dit que la suite complexe(zn)converge versl2Csi

8" >0;9N2N;8nN ;jznlj ":Proposition.La suite complexe(zn)converge verslssi sa partie réelle(xn)converge vers

Re(l)et sa partie imaginaire(yn)converge versIm(l).Proposition.Si la suite complexe(zn)converge verslalors(jznj)converge versjlj.B - EXERCICES D"APPLICATION

2 Exercice 1 :Suites adjacentes - irrationalité dee On considère les suites(un)et(vn)de terme généralun=nX k=01k!etvn=nX k=01k!+1n:n!.

1 -Montrer que(un)et(vn)sont adjacentes. On noteeleur limite commune.

2 -Montrer queeest irrationnel.

Indication :On pourra raisonner par l"absurde en posante=p=qavecpetqentiers non nuls et utiliseruq< e < vq. Exercice 2 :Suites adjacentes - Moyenne arithmético-géométrique On considère les suites(un)et(vn)définies par : u0=a2R+ u n+1=pu nvnet(v0=b2R+ v n+1=un+vn2

1 -Montrer que pour tous réels positifsxety, on a2pxyx+y.

2 - (a) Montrer que(un)n1est croissante et que(vn)n1est décroissante. (b)Montrer que(un)et(vn)sont adjacentes. On noteraM(a;b)leur limite commune.

3 -DéterminerM(a;0)etM(a;a).

4 -Soit2R+. ExprimerM(a;b)en fonction deM(a;b).

Exercice 3 :Suite géométrique complexe

Soitq2C. On considère la suite de terme généralun=qn; n2N.

1 -On supposejqj>1.

(a)Montrer que pour touta0et tout entiern2N, on a :(1 +a)n1 +na. (b)En déduire que(un)diverge.

2 -On suppose à présentjqj<1. Montrer que(un)tend vers0.

Exercice 4 :Un classique

On considère une suite réelle(un)croissante, convergeant versl.

1 -Montrer que la suite(vn)n2Nde terme généralvn=1n

n X k=1u kest croissante.

2 -Montrer que pour toutn2N,v2n12

(un+vn).

3 -En déduire que(vn)n2Nconverge versl.

Exercice 5 :Un autre classique

1 -Montrer que pour toutx2R+on a

x12 x2ln(1 +x)x: 3

2 -En déduire la limite de la suite(un)de terme général

u n=nY k=1 1 +kn 2 ; n2N: Exercice 6 :Développement décimal d"un réel 1 -

Appro ximationdécimale d"un réel.

Soitx2R.

On considère les suites(un)et(vn)de terme généralun=[10nx]10 netvn=[10nx]10 n+110 n. (a)Montrer que(un)converge versxet que pour toutn2N,un(resp.vn) fournit une approximation dexà10nprès par défaut (resp. par excès). (b)On considère la suite(an)définie para0= [x]etan+1= 10n+1(un+1un)pour tout n2N. Montrer que pourn1,anest compris entre0et9. (c)Montrer que(un)et(vn)sont adjacentes. (d)Montrer que pour toutn2N,un=nX k=0a k10 k. En déduire quex=1X k=0a k10 k: Cette écriture est appeléedéveloppement décimaldexet les réelsansont leschiffresde x. 2 -

Résultats de densité.

(a)Montrer queQest dense dansR. (b)Montrer que pour tout entier relatifz,z2est pair si et seulement sizest pair. En déduire quep2est irrationnel. (c)En déduire queRnQest dense dansR. 3 -

Dév eloppementdécimal propre.

(a)Montrer que le développement décimalx=1X k=0a k10 kobtenu dans la partie1estpropre, c"est à dire que la suite(an)n"est pas stationnaire à9à partir d"un certain rang. (b)Montrer que tout nombre réel positif admet un unique développement décimal propre. 4 -

Application : Rn"est pas dénombrable.

Rappel :Un ensembleEest dénombrable s"il existe une bijection deNdansE. Indication :On montrera par l"absurde que[0;1[n"est pas dénombrable. En supposant qu"une application bijectivef:N![0;1[existe, on pourra considérer la suite(wn)oùwnest la n-ième décimale def(n)et étudier la surjectivité def.

Exercice 7 :Suites de Cauchy

Une suite(un)est dite de Cauchy si elle vérifie

8" >0;9N2N;8(p;q)2N2; p;qN) jupuqj< ":

1 - Une propriété générale : Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. 2 -

Un exemple d esuite de Cauc hynon con vergente.

On considère la suite(un)de terme généralun=nX k=01k!. 4 (a)Soientp;q2N, tels quep > q. Montrer que pour tout entierkvérifiantq+1kp, on a :1k!1(q+ 1)!1(q+ 1)k(q+1): (b)En déduire que la suite(un)est de Cauchy. (c)Montrer que(un)n"est pas convergente dansQ(on pourra se servir de l"exercice 1). 3 -

Cas des suites réelles.

(a)Montrer que toute suite de Cauchy réelle est bornée. (b)Soit(un)une suite de Cauchy réelle. Pour toutn2N, on noteWn=fuk; kng: Justifier l"existence dean= inf(Wn)etbn= sup(Wn), et montrer queanunbn. (c)Montrer que(an)est croissante et que(bn)est décroissante. (d)Soit" >0. Montrer qu"il existeN2Ntel que, pourpnNon ait sup pnupun+"=2etinfpnupun"=2:

(e)En déduire que(an)et(bn)sont adjacentes, puis que(un)converge.PARTIE II : Séries numériques

Les partiesAetBregroupent les principaux résultats et théorèmes fondamentaux sur les séries nu-

mériques. Il est vivement recommandé de savoir les redémontrer.

A - QUELQUES RAPPELS DE BASEDéfinition.Soit(un)une suite réelle ou complexe. Pour toutn2Non poseSn=nX

k=0u k. On dit que la série

Punconverge si lasuite des sommes partielles(Sn)converge.1 -Un premier e xemplefondamen tal: les séries géométriquesProposition.Soitx2R. La série de terme généralxnconverge ssijxj<1. Dans le cas où

elle converge, sa somme ests=11x.2 -Critères essen tielsde con vergence

Proposition.SiPunconverge alors(un)converge vers0.Proposition.Soit(un)une suite à termes positifs. La sériePunconverge ssi(Sn)est

majorée.Proposition.On considère deux sériesPunetPvnà termes positifs à partir d"un certain

rangN. Siunvnpour toutnN, alors :

Si Pvnconverge alorsPunconverge.

Si Pundiverge alorsPvndiverge.5

3 -Comparaison a vecune in tégrale

Proposition.Soitf: [N0;+1[!Rpositive décroissante. La sériePf(n)et l"intégraleR+1 N

0f(t)dtsont de même nature. En cas de convergence, on a, pour toutNN0:

Z +1

N+1f(t)dt+1X

k=N+1f(k)Z +1 N f(t)dt:4 -Séries de Riemann Proposition.Soit2R. La série de terme général1n ; n2Nconverge ssi >1.5 -Séries alterné es Proposition.SoitPunune série alternée, telle que la suite(junj)converge vers0en décroissant. Alors Punconverge. De plus, lereste d"ordrende la sérieRn=+1X k=n+1u kest du signe deun+1et on ajRnj jun+1j:6 -Con vergenceabsolue Définition.Soit(zn)une suite complexe. On dit que la sériePznest absolument conver-

gente si la sériePjznjconverge.Proposition.Soit(zn)une suite (réelle ou complexe). SiPznest absolument convergente

alorsPznest convergente, et on a :+1X n=0z n +1X n=0jznj:B - CRITÈRES DE CONVERGENCE1 -Règle de Ca uchy Théorème.On considère une sériePunà termes positifs. On suppose que la suite npu n converge versl. Alors

Si l >1, alors la série diverge.

Si l <1, alors la série converge.2 -Règle de d "Alembert Théorème.On considère une sériePunà termes positifs non nuls à partir d"un certain rang. On suppose que la suiteun+1u n converge versl. Alors

Si l >1, alors la série diverge.

Si l <1, alors la série converge.3 -Critère d"équiv alence Théorème.On considère deux sériesPunetPvnà termes positifs à partir d"un certain rang. Siunn!+1vnalorsPunetPvnsont de même nature.4 -Théorème d"Ab el 6 Théorème.Soient(un)et(vn)deux suites numériques telles que

La suite des sommes partie lles

nX k=0v k! associée à(vn)est bornée.

La série

Pjunun+1jconverge.

La suite (un)converge vers0.

Alors la sériePunvnconverge.La démonstration repose sur les points suivants : (a) T ransformationd"Ab el.Soient(un)et(vn)deux suites numériques. Pour toutn2N on poseVn=n1X k=0v k. Montrer que pour tous entierspetqvérifiantqp0, on a : q X k=pu kvk=qX k=pu k(Vk+1Vk) =qX k=p(ukuk+1)Vk+1upVp+uq+1Vq+1: (b)

Critère de Cauc hy.On dit qu"une sérieXw

nsatisfait le critère de Cauchy si :

8" >0;9N2N;8(p;q)2N2; qpN)

q X n=pw n Soient(un)et(vn)deux suites numériques vérifiant les conditions du théorème.

Monter queXu

nvnvérifie le critère de Cauchy. Conclure.(Nous admettrons ici qu"une série numérique converge si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy.) C - EXERCICES D"APPLICATIONExercice 1 :Convergence de séries Etudier la convergence des séries de terme général :

1 -un=1(ln(n))n; n2Nn f0;1g:2 -un=n2

n; n2N:3 -un= sinn2 ; n2N:

4 -un=2nn

2sin()2n; n2N; 2R:5 -un=(1)nln(

pn+ 1); n2N:

Exercice 2 :Autour du critère d"équivalence

1 -On considère(un)une suite de réels strictement positifs et on pose, pour toutn2N,vn=un1 +un.

(a)Montrer queun!n!+10si et seulement sivn!n!+10, et que dans ce cas,unn!+1vn. (b)En déduire que les sériesPunetPvnsont de même nature.

2 -On considère les séries de terme général :

u n=(1)npn ; n2Netvn=(1)npn +1n ; n2N: Montrer que(un)et(vn)sont équivalentes mais que les séries associées ne sont pas de même nature. 7

Exercice 3 :Séries de Bertrand

Soient,deux réels. Pour toutn2Nn f0;1g, on poseun=1n (lnn). On étudie les séries de la forme Pun, communément appeléesséries de Bertrand.

1 -On considère le cas >1. On pose

=1 +2 . Montrer que la suite(n un)converge vers0.

En déduire quePunconverge.

2 -Montrer que si <1, la sériePundiverge.

3 -On considère à présent le cas= 1. On considère la fonction

f : ]1;+1[!R x7!1x(lnx): (a)Montrer quefest décroissante à partir d"un certain rang. (b)Etudier la convergence dePundans les cas <1, >1et= 1. Indication :On pourra penser à utiliser les résultats de comparaison avec une intégrale. Exercice 4 :Série harmonique - constante d"Euler

Pour toutn2N, on poseEn=nX

k=11k 1 - (a) Montrer queZ k+1 k1t dt1k pour toutk1et que1k Z k k11t dtpour toutk2. (b)En déduire que pour tout entiern1, on a :ln(n+ 1)En1 + ln(n), puis queEnn!+1ln(n): 2 - (a) Pour toutn2N, on poseun=Enln(n). Montrer que la suite(un)n2Nconverge vers un réel compris entre0et1. La constante est appeléeconstante d"Euler. (b)Pour toutn2N, on posevn=Enln(n+1). Montrer que les suites(un)n2Net(vn)n2N sont adjacentes, de limite (c)Pour toutn2N, on posewn=un+1un. Montrer que la série de terme généralwn converge. (d)En déduire que = 1 ++1X n=2 1n lnnn1

Exercice 5 :Formule de Stirling

On considère la suite(un)n2Nde terme généralun=n!pn en n:

1 -Pour toutn2N, on posevn= ln(un). Montrer quevn+1vn=O1n

2 . En déduire que la série de terme généralvn+1vnconverge.

2 -En déduire que(vn)n2Net(un)n2Nconvergent. On notella limite de(un)n2N.

3 -Montrer quen!n!+1lpn

ne n:

4 -On rappelle le résultat suivant (obtenu via les intégrales de Wallis - voir ficheINTÉGRATION) :

= limn!12

4n(n!)4n[(2n)!]2:

montrer quel=p2. 8quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

[PDF] suite , fonction, propabilité

[PDF] Suite , Révsions

[PDF] Suite / récurrence 2

[PDF] suite 1ere s

[PDF] Suite 2

[PDF] suite 2 sujet de réflexion réseaux sociaux !!

[PDF] Suite 3

[PDF] Suite 3 sujet de réflexion réseaux sociaux !!

[PDF] Suite 5

[PDF] Suite : LA BOÎTE

[PDF] Suite : Oral sur les notions

[PDF] Suite : sens de variation et limite

[PDF] suite ? incorrect

[PDF] Suite ? La Parure

[PDF] suite ? ou ? la suite de grammaire