[PDF] Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

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Exercices Corriges

Matrices

Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :

A= 2 1

2 1! ; B= 1 2 24!
C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C

A; D=0

B @11 1 1 0 1

0 1 01

C

A; E= 11 1

1 0 1!

Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.

Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)

On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 1

1 1!

B= 431

2 1 1!

C= 1 2

12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 3

2 4!

B= 431

2 1 1!

C= 43 2 1!

1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.

2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.

Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :

A= 4 3

1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.

Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :

A= 22 0

4 22!

2M2;3(R); B=0

B @1 1 1 2 131
C

A2M3;2(R); C= 11

1 2!

2M2;2(R)

Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D

2(2); T3;2(3); T2;1(2):

2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).

3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.

Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!

2M2;2(R)et N= 23

46!

2M2;2(R):

Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)

1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser

son inverse :

A= 1 2

3 4!

2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.

Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!

2M2;2(R):

2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :

M= 2 1

3 2!

2M2;2(R):

Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.

Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)

SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.

Exercice 14{SoitM=0

B @2 4 1 2 5 1

1 2 11

C A.

1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice

M

1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.

2

2) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).

4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.

5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee

dans le cours.

Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)

1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :

M=0 B @1 2 3 0 1 2

0 4 61

C

A2M3;3(R):

Quelle est la valeur deM1?

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :

2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A: Exercice 16{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverse M

1de la matrice :

M=0 B @1 2 3 0 1 1

0 2 31

C

A2M3;3(R):

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.

Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :

M=0 B @1 01 2 3 4

0 1 11

C A:

1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.

2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme

produit de matrices elementaires.

3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :

(m)2 6 4x 1x3=m

2x1+ 3x2+ 4x3= 1

+x2+x3= 2m: 3

Correction de l'exercice 1 :

Le lecteur veriera que :

AB= 0 0

0 0! ; BA= 6 3 126!
CD=0 B @0 1 2 1 0 1 21 01
C

A; DC=0

B @123 2 0 2

1 0 11

C

A; AE= 12 3

12 3! Le produitCEn'a pas de sens car la taille des colonnes (a savoir 2) deEest dierent de la taille des lignes (a savoir 3) deC.

Correction de l'exercice 2 :

On trouve :

AB= 22 0

22 0!

AC= 0 0

2 0!

CA= 3 3

33!

Les deux autres produitsB2etBAn'ont pas de sens.

Correction de l'exercice 3 :

1)

AB= 2 0 2

02 2! BAn'a pas de sens car la taille des lignes deBn'est pas egale a celle des colonnes deA.

AC= 2 0

02! =2Id2:

CA= 2 0

02! =2Id2:

CB= 22157

10 7 3!

BCn'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deC. B

2n'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deB.

2) Nous avons :AC=CA=2Id2, nous en deduisons :

A(12

C) = (12

C)A= Id2:

Il en resulte que la matriceAest inversible, d'inverse : A 1=12

C= 232

112
4

De m^eme :

(12

A)C=C(12

A) = Id2:

Il en resulte que la matriceCest inversible, d'inverse : C 1=12 A= 12 32
12!

Correction de l'exercice 4 :

AB= 7 311

2 13!

La matriceBAn'a pas de sens.

A

2=AA= 139

32!

La matriceB2n'a pas de sens.

A+ 2Id2= 4 3

1 1! + 2 1 0 0 1! = 2 3 1 3!

Correction de l'exercice 5 :

AB= 02

4 14! ; BA=0 B @6 02 10 24

108 61

C

A; CA= 24 2

10 24!

BC=0 B @2 1 3 3 271
C

A; C2= 03

3 3!

Les matricesAC,CB,A2etB2ne sont pas denis.

Correction de l'exercice 6 :

T

2;1(12

) =T2;1(12 )I2=T2;1(12 ) 1 0 0 1! = 1 0 12 1! De m^eme, en utilisant les proprietes des actions a gauche par les matrices elementaires, on obtient : T

1;2(2)T2;1(12

) =T1;2(2) 1 0 12 1! = 02 12 1!

Correction de l'exercice 7 :

1.1) 5 D

2(2) =D2(2)I3=D2(2)0

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 02 0

0 0 11

C A: T

3;2(3) =T3;2(3)I3=T3;2(3)0

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 0 1 0

0 3 11

C A: T

2;1(2) =T2;1(2)I3=T2;1(2)0

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 2 1 0

0 0 11

C A: 1.2)

A=T3;2(3)D2(2)T2;1(2) =T3;2(3)D2(2)0

B @1 0 0 2 1 0

0 0 11

C A:

A=T3;2(3)0

B @1 0 0 42 0

0 0 11

C A: A=0 B @1 0 0 42 0

126 11

C A: 1.3) 6 A

1= (T3;2(3)D2(2)T2;1(2))1

=T2;1(2)1D2(2)1T3;2(3)1 =T2;1(2)D2((1=2))T3;2(3) =T2;1(2)D2((1=2))T3;2(3)0 B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A =T2;1(2)D2((1=2))0 B @1 0 0 0 1 0 03 11 C A =T2;1(2)0 B @1 0 0

0(1=2) 0

03 11 C A 0 B @1 0 0

2(1=2) 0

03 11 C A:

Correction de l'exercice 8 :

a) Les deux lignes deMsont d'ordre 1. Donc,Mest ordonnee. M

1=T2;1(12

)M= 23 0 12 B

1=T2;1(12

)I2= 1 0 12 1! B 1M=M1 La matriceM1est triangulaire (on dit aussi echelonnee). La premiere phase de l'algorithme est terminee. Les elements de la diagonale deMetant non nuls, on peut conclure queMest inversible. M

2=D2(2)M1= 23

0 1! B

2=D2(2)B1= 1 0

1 2! B 2M=M2 M

3=D1(12

)M2= 132 0 1! B

3=D1(12

)B2= 12 0 1 2! B 3M=M3 M

4=T1;2(32

)M3= 1 0 0 1! =I2B4=T1;2(32 )B3= 1 3 1 2! B

4M=M4=I2

On obtient donc :

M

1=B4= 1 3

1 2!

Soit encore en remontant les calculs :

M

1=T1;2(32

)D1(12 )D2(2)T2;1(12 7 b) Les deux lignes deNsont d'ordre 1. Donc,Nest ordonnee. N

1=T2;1(2)N= 23

0 0! B

1=T2;1(2)I2= 1 0

2 1! B 1N=N1 La matriceN1est triangulaire (on dit aussi echelonnee). La premiere phase de l'algorithme est terminee. Une ligne deN1est constituee de 0. La matriceNn'est donc pas inversible.

Correction de l'exercice 9 :

1) On a :

T

2;1(3)A= 1 2

02! D

2(1=2)T2;1(3)A= 1 2

0 1! T

1;2(2)D2(1=2)T2;1(3)A= 1 2

0 1! =I2

Ainsi,Aest inversible et

A

1=T1;2(2)D2(1=2)T2;1(3) =T1;2(2)D2(1=2)T2;1(3) 1 0

0 1! Soit A

1=T1;2(2)D2(1=2) 1 0

3 1! A

1=T1;2(2) 1 0

3=21=2!

A

1= 2 1

3=21=2!

2) On a vu :

A

1=T1;2(2)D2(1=2)T2;1(3):

Il en resulte :

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