[PDF] La secció àuria i el nombre dor

View - Download La secció àuria i el nombre dor

Previous PDF

Next PDF

La secció àuria i el nombre d"or

La secció àuria. és una relació particularment estètica, de la que se n"ha fet un ampli ús en el món

de la proporció artística. Entre altres, la trobem en el pentàgon i el decàgon regular, així com en els

cossos platònics (poliedres).

Històricament, la definició de la secció àuria apareix al llibre VI, definició 3, d"Els Elements

d"Euclides (segle IV aEC), mentre que la demostració de la forma de trobar-la apareix en el llibre

II, proposició 11. Abans que Euclides, el matemàtic grec Eudoxo de Cnido (408 aEC-355 aEC) va definir la secció (àuria) com la divisió d"una línia recta en raons extrema i mitja 1. Dit d"una altra forma: Es tracta de dividir un segment AB per un punt intermig P de manera que AP sigui la mitjana proporcional entre els segments AB i BP

2, és a dir, PB

AP AP AB=.

A P B

Si diem

lAPirAB==, queda l"equació lr l l r -= que podem resoldre deixant com incògnita la proporció l r=F 111

111-F=F?-F=F?

l rlr Aquesta darrera expressió és bén fàcil de recordar.

1 També es pot definir el nombre d"or com la proporció existent entre els costats d"un rectangle que sigui el més etètic

posible. Aquest rectangle és aquell per al qual, si se li treu el quadrat màxim que conté, queda un altre rectangle

semblant al primer. llavors x xy x y-=.

2 Per fer la geomètricament la secció àuria d"un segment es pot procedir de la següent forma

Donat el segment AB, aixequem una perpendicular amb la mateixa longitud que AB i amb peu sobre el punt B, així

obtenim el punt C. Diem O el punt mig del segment BC. I amb centre O tracem una circumferència de diàmetre BC. Unim seguidament el punt A amb el centre O de la circumferència., obtenint el punt M. Amb centre A i radi AM tracem un arc que talli al segment AB donat, de manera que obtenim el punt P. El punt P és qui divideix el sement AB àuriament. Deixem de banda expressions mnemotècniques i busquem-ne el valor de F 2 51012
1

1±=F?=-F-F?-F=F

Òbviament, atenent a la natura del problema, només és vàlida la solució positiva ...61803"12

51=+=F, expressió numèrica que rep el nom de nombre d"or.

Es pot observar fàcilment que es compleix la igualtat (*)1 2+F=F A partir d"aquí deduirem dues expressions recurrents de F. Primerament, si fem l"arrel quadrada d"aquesta expressió obtenim: F+=F1 A dins del radical, podem tornar a substituir F una altre cop pel radical, obtenint:

F+++++++=F1..........1.11111

Per obtenir una segona fórmula recurrent de F, partim altre cop de (*)

F+=F?F

+F=F?+F=F11112 Si ara substituim el valor de F de l"última expressió de forma recurrent, obtenim

F++=F+=F111

111
Repetint reiteradament aquest procés obtindríem (2): F+++ +++=F 1

1...........1.................111

11 11 1 que és una expressió de F en forma de fracció contínua.

És ben curiós el fet que si en aquestes dues expressions (1) i (2) de F, a la part dreta de l"equació,

en contes de F posem "qualsevol" altre valor pel qual es puguin fer els càlculs, el resultat final

també dóna F. Per comprovar-ho empíricament, definim les successions recurrents nnnn

Agafem-ne, per exemple, 1

00==ba. Aleshores les successions seran:

()1"6180... 1"6179..., 1"6181..., 1"6176..., 1"6190..., 1"6153..., ,625"1,6"1...,6666"1,5"1,2,1)(1"6180..., 1"6179..., 1"6178..., 1"6174..., 1"6161..., 1"6118..., 1"5980..., 1"5537..., 1"4142..., ,1)(

nnba

Agafem ara 10

00==ba

() ...1"6181..., 1"6177..., 1"6188..., 1"6159..., 1"6235..., 1"6037..., 1"65625,1"5238..., 1"9090..., ,1"1,10)(...1"6181..., 1"6184..., 1"6192..., 1"6219..., 1"6308..., 1"6596..., 1"7543..., 2"0776..., 3"3166..., ,10)(

nnba

Provem ara amb un valor negatiu, per exemple,

10 1

00-==ba

()...1"6182..., 1"6175..., 1"6193..., 1"6146..., 1"6268..., 1"5952..., 1"68,1"4705..., 2"125, ...,8888"0,9,1"0)(...1"6179..., ,,1"6178... 1"6173... 1"6159... 1"6112..., 1"5962..., 1"5478..., 1"3959..., 0"9486..., ,1"0)(

nnba

Òbviament, si agafem F==

00ba tindríem que ambdues successions serien dues successions

constants amb tots els termes iguals a F. Empíricament, sembla que en tots els casos ambdues successions convergeixen cap a un valor a prop de 1"618...

Centran-nos ara en la successió )(

na. Observem que segons el valor del terme inicial tenim:

0a comportament de )(na

-0"1 monòtona creixent

1 monòtona creixent

F constant

10 monòtona decreixent

Per la successió )(

nbla taula resum és:

0b comportament de

)(nb termes senars termes parells -0"1 monòtona creixent monòtona decreixent a partir de 4bque

és el primer terme parell positiu

1 monòtona creixent monòtona decreixent

F constant constant

10 monòtona de decreixent monòtona creixent

Un cop comprovat empíricament, intentem ara demostrar analíticament que si

F=?----¹+=F=

n nnnn nnnblimbambbbalimaambaa

53,32,21,1,011110101

Comencem amb la successió )(

na. Seguirem els següents pasos: (i) Veurem que és monòtona i està

afitada, per tant convergent, i (ii) Un cop vist que és convergent demostrarem que el seu límit és F.

(i) Considerem la diferència entre dos termes consecutius de la successió nnnn nnnnnnnn nnnnnn nnnnaaaa aaaaaaaa aaaaaaaaaa

111111

1111
112
1

Com que el denominador és "sempre positiu"

3, arribem a la conclussió que

Nnaasigneaasigne

nnnnÎ"-=--+)()(11

Això ens asegura que la successió és sempre monòtona. Per esbrinar si és creixent o decreixent,

buscarem els valors inicials que fan que sigui constant (ni creixent, ni decreixent), és a dir, Nnaa nnÎ"=+1 2

51011122

1+=?=--?=+?=+?=

+nnnnnnnnnaaaaaaaaa(4) Deduim que si F=0a, aleshores la successió és constant com ja havíem comprovat empíricament. Aleshores tenim dos casos a estudiar: (a) [[F>F-Î00 ,1aa (b) i (a) Si [[01,100010>-+=-?F-Îaaaaa ja que la funció xxxf-+=1)( és positiva5 per valors de [[F-Î,1x. Per tant 01aa> i concloem que )(na és monòtona creixent. (b) Si 0100010<-+=-?F>aaaaa ja que la funció xxxf-+=1)( és negativa per valors de F>x. Per tant 01aa< i concloem que )(na és monòtona decreixent.

3 El denominador nnaa++1 només pot ser negatiu si [[F--Î1,1na. Però tenint en compte que la successió

està definida per

nnaa+=+11, aleshores la successió només pot tenir negatiu el primer terme. Raó per la qual cosa

podem considerar que nnaa++1 és sempre positiu.

4 La solució negativa 2

51-=
na, no és solució de l"equació irracional nnaa=+1.

5 La funció xxxf-+=1)(és una funció contínua que talla l"eix d"abscisses només en el punt F=x. Abans

d"aquest valor la funció és positiva, i posteriorment negativa. (ii) Ara veurem que aquesta successió està fitada pels dos casos (a) [[F-Î,10a i (b) F>0a. (a) Si [[F-Î,10a aleshores NnanÎ"F< ja que si hi hagués algún terme F³ka llavors tindríem que

011£-+=-+kkkkaaaa degut a que la funció xxxf-+=1)( és

negativa per valors de F>x.

Tindríem doncs que

kkaa£+1 i la successió seria decreixent a partir del terme ka, la qual cosa contradiu l"apartat (a) anterior. (b) Si F>0a es pot demostrar seguint una raonament per reducció a l"absurd anàleg a l"anterior que

NnanÎ"F>.

Després de totes aquestes consideracions hem arribat a la conclusió que havíem previst de forma

aproximada empíricament: (1) Que la successió és monòtona creixent o decreixent, i (2) que està

fitada superiorment o inferior. Per la qual cosa hem demostrat que la successió definida

recurrentment per

1101-³"+=+aaann és convergent.

Però encara no hem acabat, falta demostrar que, efectivament, el límit de la successió és

F. Com

que sabem que la successió és convergent, es complirà: nnnnnnnnnnnnalimalimalimalimalimalim

Diem ara

nnalimx

¥®=, i de la última igualtat obtenim:

F=+=?=--?=+?=+2

51011122xxxxxxx (6)

Concloem doncs

F=

¥®nnalim

6 L"equació irracional xx=+1 només admet la solució positiva 2

51+=x

Falta demostrar que la successió

,...53,32,21,1,01101----¹+=+bambbb nn

També compleix

F=

¥®nnblim

Empíricament hem vist que la successió )(

nb no és monòtona, però sí que sembla ser-ho agafant

només els termes parells o els termes senars. Per la qual cosa, una demotració del tipus com la que

hem fet per la successió )( na podria ser molt feixuga. Intentarem doncs un altre tipus de demostració.

Definim la funció

xxxf1)(+=. L"equació )(xfx=té per solucions ???F-F=1x. A més,obviament, es pot definir la successió )( nb així )(1nnbfb=+ Diem F=b, que és una solució de l"equació )(xfx=. Aleshores s"acompleix que )(bfb=, i per tant, la diferència entre bi un terme de la successió és

1nnnnbbfbfbfbb-¢=-=-+x

On s"ha aplicat el Teorema del valor mig a l"interval d"entrems nbbi . El Teorema serà plicable en el cas de la funció )( xf sempre i quan el número 0 no sigui d"aquest interval.

Considerem ara

111----¢=-=-nnnnbbfbfbfbbx

Ajuntant les dues últimes igualtats obtenim

111--+-×¢×¢=-nnnnbbffbbxx

Si repetim reiteradament aquest procés arribarem a l"expressió )()(0

01bbfbb

n k kn =+Cx

Si en un entorn de

b, que contingui els valors de tots els kx, s"acompleix que 1)(<¢xf. Aleshores tindrem que

0)()()(

001=))

=¥®+¥®C n k knnn flimbbbblimx

I, per tant, haurem demostrat que )(

nb és convergent.

Com que 2111)(xxxf-=¢

+=¢. Llavors tindrem que ] [ ] [¥È¥-ÎÛ>Û<-Û<¢,11,1111)(2

2xxxxf

Llavors si

][¥Î,10b, com F=b

De manera que hem demostrat que si

[]1,10-ÎRb, aleshores la successió )(nb és convergent

sempre i quan poguem asegurar que cap terme posterior de la successió estarà entre -1 i 1. Veiem-

ne aixó: · Si 10>b aleshores NnbnÎ">1 ja que la funció 1111)(>">+=xxxf

Si 10- 01 >+=bb. Aplicant el raonament anterior tindrem que en el cas que 011

1>">?>nbbn. En canvi, si 1111110

121
>">?>+=?<Bé, ja hem demostrat que )(

nbés convergent []1,10-Î"Rb. ¿Què passarà amb els valors compresos entre -1 i 1?

Si ] ]1111,0

010 >+=?Îbbb i es poden aplicar els resultats anteriors a la successió a partir del segon terme.

Si []0,10-Îb. En aquest interval hi ha infinits valors que fan que la successió no estigui

definida, ja que en algun moment s"ha de dividir per 0. Aquests valors de

0bsón els que fan que

3210,,,bbbb o algun nb sigui igual a 0. Per tant són els valors que formen part de la successió

"inversa" de )( nb, és a dir, 111-=+ nnxx amb 00=x nx Aixó ens pot portar a fer les següents definicions:

Donada una successió recurrent )(

nb, direm família de la successió, )(nbF, al conjunt format per totes les successions, sigui quin sigui el seu valor inicial.

Donada una succesió recurrent )(

nb, direm domini de la successió, )(nbDom al conjunt de valors que pot prendre el terme inicial

0b, pels quals tota la successió està definida. En el nostre cas:

nnxRbDom-= És curiós observar que la successió )( nxestà formada pel quocient negatiu de dos termes consecutius de la successió de Fibonacci 1+ nnaa i per tant és convergent a F-=F-11. I per aquest valor, la successió )( nb és convergent a F-1. De fet és constant ja que si fem F-= F -+=F-+=+=?F-=1111111111

010bbb

Per tant, la successió )(nb no sempre tendeix a F. Però tot aixó em fa pensar que possiblement

nb ha de ser convergent )(0nxRb-Î". Efectivament:

Suposem 01

0< 11111
12+ nn nn n nbb bb bb i la funció =)(xf11++x x és estrictament creixent tindrem que F-=F->=1)1()(

02fbfb. Per tant, tots els termes parells

seran majors que F-1. Arribarà un moment en que 02>+nb ja que en cas contrari, si 02£+nb sempre, tindríem que ))1(()()1()()1(

2F--×¢=F--=F--+nnnnbffbfbx amb ][nnb,1F-Îx

Com que

1)()1(1)(2>¢?+=¢nfxxfx i arribaríem a que

=+¥®F--×¢=F-- n k kn bfb

002))1(()()1(x

Per tant ¥®

+2nb, la qual cosa es contradiu la suposició que 02£+nb sempre.

Per tant, arribat el moment que 0

2>+nb, a partir d"aquí la successió serà convergent com s"ahavia

deduit abans.

En el cas que F-<<-11

0b tindrem que F-=F-<=1)1()(02fbfb. Per tant, tots els termes

parells seran menors que F-1. Arribarà un moment en que 12-<+nb ja que en cas contrari, si 1

2-³+nb sempre, tindríem que

))1(()()1()()1(

2F--×¢=F--=F--+nnnnbffbfbx amb ][nnb,1F-Îx

Com que

1)()1(1)(2>¢?+=¢nfxxfx i arribaríem a que

=++-¥®?-¥®F--×¢=F-- n k nkn bbfb

0202))1(()()1(x

la qual cosa contradiria la suposició que 1

2-³+nb.

Per tant, arribat el moment que 1

2-<+nb, a partir d"aquí la successió serà convergent com s"ahavia

deduit abans. Amb els termes senars de la successió es pot fer una demostració anàloga.

Per tant, hem demostrat que )(

nb és convergent )(0nxRb-Î".Podem fer la següent definició:

Donada una succesió recurrent )(

nb, direm domini de convergència de la successió, )(nbDomCon, al conjunt de valors que pot prendre el terme inicial

0b, pels quals tota la successió està definida i és

convergent. En el nostre cas veurem que nnxRbDomCon-= Fins ara hem demostrat que )(nbés convergent )(0nxRb-Î". Ara només falta veure que n nn

Sigui )(

0nbDomConbÎ. Aleshores

nnnnn nnnnnnnblimblimblimblimblimblim +?=1111 1 Diem b el límit de )(nb. Llavors, fent servir la última igualtat tenim: ((F-F=?=--?=+101112bbbbb com volíem demostrar.quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23