[PDF] Université Lille 1 2012/2013 L1 MASS Dossier détude – FICHE 3

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Universite Lille 1 2012/2013

L1 MASS

Dossier d'etude

FICHE 3 : SUITES DE NOMBRES REELS

Exercice 1

1. Une suite non croissante est-elle decroissante? Donner des exemples de suite ni croissante ni decroissante.

Comment exprime-t-on qu'une suite n'est pas croissante?

2. Ecrire en symbolisme logique que la suite (un) est majoree; minoree; bornee; que le nombre reelaest

un majorant de cette suite.

3. Soient les suites (un) denies par :

(i)un=n2+n (ii)un= (1)n(n2+n) (iii)un= 1 +1n (iv)un= 21n (v)un=E(4nn+1); n3;E(x) designe la partie entiere dex.

Sont-elles majorees; minorees; bornees; croissantes; decroissantes? (Pour la question (v), on montrera

que pourn3,4nn+1n+1n+2).

Exercice 2

Soit (un) une suite croissante non majoree et (vn) une suite decroissante non minoree.

1.Montrer qu'il existeN12Ntel que pour toutnN1,un1.

2.Montrer qu'il existeN22Ntel que pour toutnN2,vn 1.

3.SoitN= max(N1;N2). Deduire des questions precedentes que (unvn) est decroissance a partir du rang

Net non minoree.

Exercice 3

Soit la suiteun= (1)n+1n+1. Est-elle bornee? convergente?

Exercice 4

Vrai ou Faux.Voici une liste de propositions; il s'agit de dire si chacune d'elles est vraie ou fausse.

1. Si une suite positive est non majoree, elle tend vers +1.

2. Si une suite est decroissante et minoree, elle converge vers 0.

3. (junj) est convergente si et seulement si (un) est convergente.

Exercice 5

Vrai ou Faux.Voici une liste de propositions; il s'agit de dire si chacune d'elles est vraie ou fausse.

1. Si on avnunwnpour toutn, et si (vn) et (wn) sont convergentes, alors (un) convergente.

2. Supposons que (un) tend vers`et (vn) tend vers`0; siun< vnpour toutn, alors` < `0.

3. Si la suite (un) verier :

8 >0;9N2N;8n > N;jun+1unj< ;

alors (un) est de cauchy. (On pourra considerer la suite (un) denie parun= 1 +12 +:::+1n dont on admettra qu'elle verie lim n!+1un= +1).

Exercice 6

1. Montrer que8x0; sin(x)x

2. Montrer que la suiteun= cos23

(n)sin(1n ) converge vers 0.

Exercice 7

1. Montrer que8x0; ln(x+ 1)x.

2. Montrer que la suiteun=2n

2ln(n+ 1)pnjsin(n)j+1n!converge vers 0.

Exercice 8

Etudier la convergence de la suite :

u n=anbna n+bnab >0: Exercice 9Soit (un) une suite de nombres reels telle que pour toutn2N;0un+1kunouk2]0;1[:

Montrer que la suite (un) tend vers 0.

Exercice 10Soitun=1n

2Pn k=1E(kx); x2RetE(x) la partie entiere dex.

1. Montrer que pour toutn1

1n 2n X k=1(kx1)< un1n 2n X k=1kx:

2. En deduire la limite de (un).

Exercice 11

1. Donner la denition de deux suites adjacentes.

2. Montrer queun= 1 +11!

+12! +:::+1n!etvn=un+1n!sont adjacentes.

Exercice 12

Soient (un) et (vn) deux suites de nombres reels.

Supposons queun+vnconverge versSetunvnconverge versP.

1. Expimer (unvn)2en fonction de (un+vn) etunvn.

En deduire queS24P0.

2. On suppose queS24P= 0.

Montrer que (un) et (vn) convergent et calculer leurs limites.

Exercice 13

Soit la suite (un) denie par la donnee deu01 et de u n=un1+nn+ 1; n1:

1. Montrer queun+1un=(n+1)(1un)n+2.

2. Montrer que 1un=1un1n+1. En deduire que pour toutn2N,un1.

3. Montrer que la suite (un) est monotone.

4. Montrer que la suite (un) est convergente et calculer sa limite.

(On pourra remarquer queun=un1n+1+nn+1).

Exercice 14Soitf:Rn f1g !R

x7!x+2x+1et la suite (un) denie par la donnee deu0>0 et de u n+1=funn+ 1 ; n1:

1. Etudier les variations def.

2. Supposons que la suite (un) converge vers`. Quelle est la valeur de`?

3. Montrer que 1u12.

4. Montrer que pourn2,2n+ 2n+ 2un2:

5. En deduire que la suite (un) converge vers 2.

Exercice 15

Soit (un) la suite veriantu0= 1; u1= 0 etun=un1+ 2un2;sin2: Montrer qu'il existeaetbreels tels que pour toutn2Non aitun=a2n+b(1)n. Exercice 16Soit la suite (un) veriantu0= 1;u1= 2 etun= 2un1un2;sin2:Montrer que (un) est une suite arithmetique. En deduire l'expression de (un) en fonction den.quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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