[PDF] Feuille 3 : Méthodes destimation 1 Méthode des moments

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Université de NantesAnnée 2013-2014

L3 Maths-EcoFeuille 3 : Méthodes d"estimation

1 Méthode des moments

Exercice 1SoitXune variable aléatoire réelle de loi

P(X= 0) =aa+ 1;P(X= 1) =1a+ 1;

n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,a >0est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). Déterminer un estimateur deapar la méthode des moments. Exercice 2SoientXune variable aléatoire réelle de densité f(x) =8 >>:12asix2[0;a],

12(1a)six2]a;1],

0 sinon,

n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,a2]0;1[est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). Déterminer un estimateur deapar la méthode des moments. Exercice 3SoientXune variable aléatoire réelle de densité f(x) =(+ 1)(+ 2)(1x)xsix2[0;1],

0 sinon,

n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici, >1est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). Déterminer un estimateur depar la méthode des moments. Exercice 4SoientXune variable aléatoire réelle de densité f(x) =p1p2ex22 + (1p)1p4ex24 ; x2R: n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,p2]0;1[est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). Déterminer un estimateur deppar la méthode des moments. 1

2 Méthode du maximum de vraisemblance

Exercice 5SoitXune variable aléatoire réelle de loi

P(X=k) =kk!e; k2N;

n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici, >0est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). Déterminer l"estimateur du maximum de vraisemblance de. Exercice 6La hauteur maximale en mètres de la crue annuelle d"un fleuve est une variable aléatoire réelleXde densité f(x) =( xa ex22asix>0,

0 sinon.

Soientn2Net(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici,a >0est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). 1. Déterminer l"estimateur du max imumde vraisem blancebandea.

2.Application.Une crue supérieure à6mètres serait catastrophique. Pendant8ans, on

a observé les hauteurs de crue du fleuve en mètres. Les résultats sont :2;5;2;9;1;8;

0;9;1;7;2;1;2;2;2;8. À partir de ces mesures, donner une estimation ponctuelle

deaet une estimation de la probabilité d"avoir une catastrophe une année donnée. Exercice 7Soit(Y1;:::;Yn)un vecteur denvariables aléatoires réelles telles que, pour touti2 f1;:::;ng, Y i=i +Xi; où>0et >0sont des réels connus,(X1;:::;Xn)est un vecteur denvariables

aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées suivant la loi Normale centrée

réduite, et >0est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide des(Y1;:::;Yn). 1. Déterminer la vraisem blanceet la log-vraisem blancede (Y1;:::;Yn). 2. Déterminer l"estimateur du maxim umde vraisem blance bnde. 3. Est-il sans biais ?Déterminer les v aleursde pour lesquelles l"estimateurbnconverge. Exercice 8SoientXune variable aléatoire réelle de densité f(x) =(1)xsix>1,

0 sinon,

n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Le paramètre >2est un réel inconnu. 1. Déterminer l"estimateur du maxim umde vraisem blancebnde. 2

2.On p ose=21. Déterminer l"estimateur du maximum de vraisemblancebnde

Exercice 9SoientXla variable aléatoire réelle de densité f(x) =8 :3(x)4six>1 +,

0 sinon.

n2N, et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. Ici, >0est un réel inconnu que l"on souhaite estimer à l"aide de(X1;:::;Xn). 1.

Calculer E(X)etE(X)2. En déduireE(X)etV(X).

2. Déduire du résultat de la question 1- un estimateurendeen utilisant la méthode des moments. Calculer son risque quadratique. 3. Calculer l"estimateur du maxim umde vraisem blance bnde. 4.

Calculer la fonction de répartition de

bn. En déduire sa densité. 5.

Calculer le risque quadratique de

bn. Entrebneten, quel est le meilleur estimateur delorsquenest supposé être grand? 6.

Calculer le biais de

bn, et en déduire un estimateur sans biaisbnde. Montrer, sans calcul intégral, que, lorsquenest supposé être grand,bnest un meilleur estimateur dequebn. Exercice supplémentaire.SoitX1;:::;Xndes va i.i.d. ayant des moments d"ordre 4.

On pose

S 2n=nX i=1(XiXi)2=n Le but de cet exercice est de calculer le risque quadratiqueE((S2n2)2)de l"estimateur S

2nde2=V(X1). On rappelle quePn1

i=1i=n(n1)=2. 1. Mo ntrerque l"on p eutsupp osersans p ertede gé néralitéque les Xisont centrées.

On fera cette hypothèse dans la suite.

2.

Mo ntrerque

E((S2n2)2) =V(S2n) +b2(S2n)

oùb(S2n) =E(S2n)2. 3.

Dém ontrerque :

S

2n=n1n

2n X i=1X 2i2n 2X kEn déduire queb(S2n) =2=n. 3

4.Mon trerque

C(nX i=1X 2i;X kEn déduire que :

V(S2n) =n1n

3(n1)E(X41)(n3)(E(X21))2

et calculer la valeur du risque quadratique deS2n. Exercice à rendre.SoitXune variable aléatoire réelle de loi de Bernoulli de paramètre , avec0< <1. Et(X1;:::;Xn)unn-échantillon deX. 1. Déterminer un estimateur de par la méthode des moments. 2. Déterminer l"estimateur du maxim umde vraisem blancede . 3. Les estimateurs précéden tsson t-ilsans biais ? 4. On c hercheà estimer la v ariance(1). On propose l"estimateur^V=X(1X). Etudier le biais de cet estimateur, sa convergence presque sure et la convergence en loi depn(^V(1)). 5.

Corriger l"esti mateur

^Vpour proposer un nouvel estimateur^V0de(1)qui est sans biais. Etudier sa convergence presque sure et la convergence en loi depn(^V0 (1)). 4quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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