[PDF] COURS ET EXERCICES DANALYSE Pour économiste Licence 1

View - Download COURS ET EXERCICES DANALYSE Pour économiste Licence 1

Previous PDF

Next PDF

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

1

COURS ET EXERCICES

Pour économiste

Licence 1

Professeur : FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

UFR SEG, Université de Cocody

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

2

AVANT-PROPOS

première année Economie- un solide programme de mathématiques. Le document est divisé en deux grandes parties : la première partie est corrigés. La première partie comporte quatre chapitres. Le cours est composé des définitions, théorèmes et propriétés nécessaires et suffisantes et de nombreux exemples. Les termes utilisés sont accessibles à tout étudiant ayant fait au moins la classe de Terminale. document Prof. FOADE Denis Joël Tongnivi, UFR-SEG, Université de Cocody-Abidjan, denis_foade@hotmail.com

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

3

SOMMAIRE

Chapitre 1 : Suites numériques et raisonnement par récurrence Chapitre 2 : Fonction numérique à une variable Chapitre 3 : Formule de Taylor, développements limités et étude de quelques fonctions usuelles Chapitre 4 : Fonction de plusieurs variables et optimisation ; courbes de niveau et calcul intégral.

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

4 CHAPITRE 1 : SUITES NUMERIQUES et RAISONNEMENT PAR

RECURRENCE.

1.1-Suites numériques

1-Définition

Une suite réelle ou complexe est une application ધ de Գ R Généralement ધ =Գ ou ધ =Գכ

2- Convergence et Limites

On dit que la suite (ܷ

rang ݊଴ (dépendant du choix de ߝ) la valeur de tout ܷ suite est

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

5 -PROPRIETES v) Soit ܷ௡ൌܽ௡൅ܾ݅௡ avec ܽ௡ǡܾ௡א

Théorème : Unicité de la limite

alors cette limite est unique.

Preuve :

En particulier pour ߝ

ସ et ࣿ൒݊଴ ou ȁܷ

En particulier pour ߝ

ସ et ࣿ൒݊ଵ֜ȁܷ

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

6

3 - Sens de variations

4 - Suites bornées

La suite (ܷ

Théorème :

i) Toute suite croissante, majorée est convergente ii) Toute suite décroissante minorée est convergente iii) Toute suite monotone et non bornée est divergente

5 - Suites extraites-sous suites

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

7 Soit une suite (ܷ௡) définie sur Գou Գכ : la suite (ܷ

D de Գ est telle que, ܷ௡ᇱ=ܷ௡, ׊Գא D, est appelée une suite extraite de (ܷ

Exemple : ܷ

(ܷ௡ᇱ) est une suite extraite de ( ܷ Soit une suite (ܷ௡) définie sur Գ et ߮ une application, ߮

6 - Suites adjacentes

Théorème : Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite. UVnn n olim

Toute suite stationnaire est convergente.

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

8

Si κ൒Ԣܷ

n

7- Suites récurrentes

Théorème :

Exemple : étude de ܷ

Posons y=ଵ

xא

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

9

Tableau de variation

( ܸ௡ ) est décroissante et minorée par ܷ௡ܸ֜

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

10

Exercice :

est convergente.

Résolution

Si la relation est vraie pour݊ൌͳǢ݊ൌʹet n = n on aura : ʹ௡൐݊

1 1

2, 2 1

2.2 2 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2

n nn nn nn avec n on a n n n n n n n

1.2- Raisonnement par récurrence

1- Définition : le raisonnement par récurrence est un procédé de démonstration

des propriétés dépendant des entiers naturels. Soit ܲ௡ une propriété où א

Pour démontrer que ܲ

a) On vérifie que ܲ b) On suppose que Pk est vraie pour Ͳ൑݇൑݊ c) On déduit de b) appelé hypothèse de récurrence que Pn +1 est vraie.

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

11 d) On conclut que ܲ௡ est vraie ׊݊א

2- Exercices

i) Démontrer par récurrence sur

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

12

3- Propriétés sur les suites

1°) soitאܽԹ, on appelle constante, une suite dont le terme générale Unൌܽ

2°) Si 2 suites convergent vers 0 alors leur somme converge vers 0.

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

13

Preuve :

Remarque :

5) Critère de majoration

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

14 et si אڊ

également vers la même limite ݈.

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

15 double égalité ܷ௡൑ܸ௡൑ܹ la borne inférieure des valeurs de la suite.

Exemple :

1.3- Limites infinies

1. Définition

2)

2. Opérations

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

16

Remarque :

forme.

Exemples : si ൜ܷ

rien dire apriori sur la limite du produit.

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

17

1. 4- Suites récurrentes

-Rappel : soit aאԹכǢܷ௡ൌܽ ii) si ȁܽȁ൐ͳǡܷ

1- Définition

Soit ؿܣ

Soit ݂ǣܣ

est définie par : ׊݊൒݌Ǣܷ௡ൌ݂൫ܷ௡ି௣ǡܷ௡ି௣ାଵǢǥǢܷ

2-Exemples

i) sans second membre

Si ܽൌͳǡܷ௡ืܷ

ii) dre un avec second membre

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

18 Posons ܷ௡ൌܸ௡൅݄֜ݐݍܸ௡ൌܸܽ

Si ܷ

iii)Suites récurrentes de 2° dégrée sans second membre

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

19

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

20

CHAPITRE 2 : FONCTIONS NUMERIQUES

1. Définitions

ide dans Թ.

Ou f de Թ ou

E Թ

x f(x)

2. Domaine de définition

la fonction ݂ǣ௫ืξଷି௫ Exercice : Déterminer, le domaine de définition

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

21

3. Parité et périodicité

4. Limites

Définition

Limite à droite en un point

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

22

Limite à gauche en un point

f admet une limite

à gauche en ݔ଴ et on note :

Remarques :f admet une limite en un point ݔ଴ si et seulement si , elle admet une

limite à gauche enݔ଴ ; une limite à droite en ݔ଴ et la limite à gauche est égale à la

limites à droite.

Limites infinies en un point

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

23

5- Opérations sur les limites

Théorème :

6- Formes indéterminées

7- continuité

Définition : une fonction numérique ݂ est continu en ݔ଴ si ݂ est définie en ݔ଴ et

- ݂ est continu à droite en ݔ଴ si ݂ est définie en ݔ଴ et - ݂ est continu à gauche en ݔ଴ si ݂ est définie en ݔ଴ et Soit ݂ une fonction définie sur ή݂ est continue sur continue en tout point de

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

24

8- Prolongement par continuité

Soit ݂, une fonction définie sur D et admettant une limite , en un point ݔ଴ ׊ݔא la fonction g est définie sur ׫ continuité de ݂ en ݔ଴.

La fonction g ainsi définie est unique.

8.1-Théorème des valeurs intermédiaires

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

25
compris entre -

8-2.Théorème des fonctions continues bornées

de

9)Continuité et composition des fonctions

Proposition : Soit ݂ et

des fonctions continues alors ל݂ et ݂ל

Preuve : soit ݔ଴ un point où ל

9.1-Dérivées

et ݔ଴

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

26

On dit que ݂ est dérivable au point ݔ଴ , ݔืݔ଴฻ݔെݔ଴ืͲ฻݄ൌݔെݔ଴

ݔ଴. En admet une dérivé au point ݔ଴ alors La réciproque est fausse ; il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables.

9.2-Fonction dérivées Dérivées successives

La valeur de la dérivée en ݔ଴ dépend de ݔ଴ݔ଴. Si cette fonction ݂ᇱ est aussi dérivabl

9-3.Dérivée à droite Dérivée à gauche

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

27

Théorème : ݂ est dérivable en ݔ଴, si et seulement si elle est dérivable à gauche et

9.4-Calcul des dérivées

9.5- Soient ݑ une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant ݔ଴ et ݂

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

28

10) Différentielle

Remarque :

Թ : si ݔ଴א

V de tel que un intervalle ouvert, cependant ݔ଴ et inclus dans V. Exemple ൌൣξʹǡ͵൧ sont voisinage de 2. Car par exemple ʹא൧͵ʹൗǡ͵ൣ൧͵ʹൗǡ͵ൣؿ : étant donné une fonction

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

29

10-1.Variations des fonctions numériques

Fonctions constantes par intervalles

Définitions : une fonction ݂ ܽ

La fonction ݂ est monotone dans un intervalle si sur cet intervalle, elle est soit croissante soit décroissante, soit constante.

10-2.Dérivées de fonctions usuelles

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

30

Fonction ݂ Fonction dérivée డ௙

C (constante) 0

ݔ 1

10-3.Sens de variation des fonctions

Théorème : soit ݂ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I

1) si ݂ admet sur I une fonction dérivée ݂ᇱ൐Ͳ pour toute valeur ݔ (ou nulle pour

des valeurs isolées de Գǡ) la fonction ݂ est croissante sur I des valeurs isolées de ݔ) la fonction ݂ est décroissante sur I

3) si ݂ admet sur I une fonction dérivée ݂ᇱൌͲ pour toute valeur ݔ, la fonction ݂

est constante sur I.

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

31

11) Maximum

Une fonction ݂ admet un maximum au point ݔ଴ sur lequel elle est définie si pour tout ݔ puis sur cet intervalle et au voisinage de ݔ଴, Une fonction ݂ admet un minimum au point ݔ଴ sur lequel elle est définie si pour tout ݔ puis sur cet intervalle et au voisinage de ݔ଴, Une fonction ݂ admet un extremum (Maximum ou Minimum) lorsque sa

12) Plan

Pour étudier une fonction numérique, quelle que soit sa forme, on peut suivre le plan suivant :

1) Déterminer le domaine de définition ݂ de la fonction

: si la fonction est paire ou impaire,

3) Déterminer la dérivée et étudier son signe

4) Rechercher pour quelles valeurs de la variable, la fonction présente un

extremum et calculer cet extremum

5) Dresser u

intervalles de définition intervalles de définition.

7) Eventuellement, rechercher les asymptotes

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

32
la droite ݕൌκ représentant ݂ asymptote oblique y=ax+b.

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

33
CHAPITRE 3 : FORMULE DE TAYLOR, DEVELOPPEMENTS

LIMITES ET ETUDE DE QUELQUES FONCTIONS USUELLES.

3.1-Formule de Taylor, développement limité

La formule de Taylor est une généralisation de la formule des accroissements finis. a) Théorème de Rolle a1) Avant de donner ce théorème, énonçons le théorème de Rolle : Soit ݂ une b) Théorème des accroissements finis Si on pose ܽൌݔ et b ൌݔ൅݄ , ܿൌݔ൅ߠ݄ où אߠ Théorème : Soit une fonction numérique, définie dans un intervalle

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

34

Le dernier terme est appelé reste de Lagrange.

d)

Où ߝ

appliquée a ݂.

݂ est dérivable ; indéfiniment sur

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

35
Reste

Maclaurin : on remplace ܽ

Avec ܿൌߠݔǡאߠ

f- Développement limités Soit une fonction ݂ définie au voisinage de 0. ௡ de degré ൑݊ et une fonction réelle ߝ Unicité : si une fonction admet un d.l ݊ au voisinage de 0, celui-ci est unique.

Preuve :

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

36

Si ݔืͲǡܽ׷଴ൌܾ

De proche en proche on montre que ܽ௜ൌܾ௜ǡ׊݅ߝଵൌߝ d.l :

3.2-Quelques développements limités

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

37

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

38

1-Procédé permettant de trouver des développements limités.

a) Procédés de substitution

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

39
c) Procédé de dérivation d) Procédé de multiplication Trouver le d.l ݁௫ݔ au voisinage de 0. Dans la e) Procédé de division

Trouver le d.l ݔൌୱ୧୬௫

On effectue la division euclidienne suivante de puissance croissante de ݔ de

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

40
f) Procédé de translation ou d.l au voisinage de ࢇ്૙

Trouver le d.l ݁௫

On pose ݑൌݔെͳǡݔืͳ֜ de 0 est :

2-Application des développements limités

Cela revient à étudier le signe de

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

41
change de signe avec . La courbe traverse sa tangente au point ଴. On dit alors que ଴

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

42
et ݕᇱᇱᇱൌ͸ b) Applications du dl aux calculs des limites

Soit à calculer ௫՜଴

଴ forme indéterminée

Ln(1+ x) = x + ߝ

c) simultanément en un point a. alors ௫՜௔

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

43
d-Convexité Soit f une fonction définie sur un intervalle I

IR et (C) sa courbe.

f est convexe si la concavité est dirigée vers les y positifs

3.3 Fonctions usuelles

a- Fonctions logarithme i-Fonctions logarithme népérienne On appelle fonctions logarithme népérienne et on note x > ln x, la fonction définie de ܴܫାכ

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

44
ii-Propriétés algébriques iii. Dérivées La concavité de la courbe est dirigée vers les y négatifs. ௫ = 1

On utilise le d

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

45
v- Graphique b- Fonction puissance i-Définition, soit ܴܫאߙ de ܴܫାכ ii- Propriétés algébriques

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

46
iii. Dérivée : iv)graphique c) Croissance comparée des fonctions (puissance) i ௘ೣ = 0 ii)

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

47
iii

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

48

CHAPITRE 4 : FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

4.1- Définition et généralités

1- définition : on appelle fonction de plusieurs variables, une fonction deԹ௡ dans

variables.

2 - Domaine de définition

Pour les fonctions f et g ci-dessus, on a :

Soit P le plan à 2 dimensions

Distance entreܯ݁ݐܯ

On appelle disque fermé de centre M0 et de rayon r, l'ensemble des points M du plan P tels que d(M, M0) < r . On appelle disque ouvert de centre M0 et de rayon r, l'ensemble des points M du plan P tels que d(M, M0) < r.

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

49
a)Définition : Un domaine D de R2 est dit ouvert (ou domaine ouvert) si pour tout point M de D, il existe un disque ouvert de centre M et de rayon r, contenu dans D.

3 Dérivées partielles

a) On appelle dérivée partielle de f par rapport à x en M0 la limite, lorsqu'elle existe ௛ lorsque h = x - x0 tend vers zéro. On la note Exercice : Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 des fonctions suivantes b)

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

50
Exercice : Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 des fonctions précédentes

4- Dérivées d'une fonction composée

Théorème : Si u et v sont des fonctions réelles, à dérivées continues dans un Exercice : Déterminer les dérivées partielles de la fonction composée 5- sont définies et continues dans le domaine D. On appelle différentielle totale au point ܯ Exercice : Déterminer la différentielle totale de la fonction f(x, y) = e3xy2

6- Fonctions homogènes

Définition : Une fonction f(x, y) est homogène de degré

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

51

Exemple :

La fonction f est homogène de degré 2.

4.2 - Extremum d'une fonction de plusieurs variables sans contrainte

1- Fonctions de deux variables

Définition : On dit qu'une fonction f de deux variables (x, y) définie sur un voisinage du point A (a, b) présente en ce point un maximum relatif (respectivement minimum relatif) au sens large s'il existe un disque ouvert B de centre A tel que : Théorème : Une condition nécessaire mais non suffisante pour qu'une fonction de plusieurs variables pourvue de dérivées partielles atteigne un extremum un point est que toutes les dérivées partielles du 1er ordre prennent en ce point la valeur zéro. En effet, si A est un maximum relatif : ׊x : M(x, b) א La fonction f(x, b) de la seule variable x, atteint un maximum pour x = a. Sa

dérivée en ce point est nulle. Cette dérivée est par définition la dérivée partielle

par rapport à x de f(x, y) au point A (a, b). Donc :

Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI

52
Mais cette condition n'est pas suffisante : f(a, b) peut être à la fois un maximum de f(x,b) et un minimum de f(a, y). Dans ce cas f(a, b) n'est ni un minimum ni un maximum de f(x, y). Le point (a, b) est appelé un col ou un point selle.

2-Généralisation

Condition nécessaire et non suffisante d'existence d'un extremum au point A :

Ce qui peut s'écrire en notant ݃ݎܽ

Extremums d'une fonction de plusieurs variables libres, condition du second ordre ou condition suffisante.

2.1-Fonctions de 2 variables

Posons x = a + h et y = b + k

Si f( :

quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] analyse 4 exercices corrigés pdf

[PDF] analyse 4 exo7

[PDF] analyse 4 pdf

[PDF] analyse 5

[PDF] analyse 5 pdf

[PDF] analyse chapitre 4 il était fois vieux couple heureux

[PDF] analyse chimique du vin

[PDF] analyse comportement humain pdf

[PDF] analyse de document exemple

[PDF] analyse de document iconographique tcf

[PDF] analyse de document la guerre d'algérie

[PDF] analyse de la clientèle

[PDF] analyse de la concurrence exemple

[PDF] analyse de la conjoncture économique cours

[PDF] analyse de la conjoncture économique cours pdf